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专题 08 整式的乘除和因式分解
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 整式乘法
幂的运算性质（基础）：
am·an＝am＋n （m、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【同底数幂相乘注意事项】
1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为 1 的情况。
3）乘数 a 可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。2
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
1．（2018·河北中考真题）若 2n+2n+2n+2n=2，则 n=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．
【答案】A
【详解】∵2n+2n+2n+2n=2，
∴4×2n=2，
∴2×2n=1，
∴21+n=1，
∴1+n=0，
∴n=﹣1，
故选 A．
2．（2012·江苏中考真题）若 3 × 9m × 27m= ，则 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
∵3 × 9m × 27m=3 × 32m × 33m=31+2m+3m
∴1+2m+3m=21
∴m=4
故选 B
3．（2019·山东中考模拟）化简(﹣a2)•a5 所得的结果是( )
A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10
【答案】B
【详解】
(-a2)·a5=-a7.
故选 B.
(am)n＝amn （m、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
1．（2019·浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6﹣a2＝a4 D．a5+a5＝a10
1
43
【答案】B
【详解】
A、a2•a3=a5，错误；
B、（a2）3=a6，正确；
C、不是同类项，不能合并，错误；
D、a5+a5=2a5，错误；
故选 B．
2．（2019·辽宁中考模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4
【答案】C
【详解】A、a2•a2=a4，错误；
B、a2+a2=2a2，错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、a8÷a2=a6，错误，
故选 C．
3．（2018·浙江中考模拟）计算（﹣a3）2 的结果是（ ）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【答案】C
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则可得：（﹣a3）2=a6．故选 C．
(ab)n＝anbn （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．
1．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
A、错误．应该是 x3•x3=x6；
B、错误．应该是 x8÷x4=x4；
C、错误．（ab3）2=a2b6．
D、正确．
故选 D．
3 3 9·x x x= 8 4 2x x x÷ = ( )23 6ab ab= ( )3 32 8x x=4
2．（2018·贵州中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3•a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1
【答案】C
【详解】
解：A. （﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；
B. a3•a5=a8 ，故此选项错误；
C.（﹣a2b3）2=a4b6 ，正确；
D. 3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；
故选：C．
am ÷an＝am－n （a≠0，m、n 都是正整数，且 m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．
【同底数幂相除注意事项】
1.因为 0 不能做除数，所以底数 a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为 1 的情况，如 x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将 x 的指数当做 0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l．
1．（2016·江苏中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a3 + a2 = a5 B．a3 ⋅ a2 = a5 C．(2a2)3 = 6a6 D．a6 ÷ a2 = a3
【答案】B
【详解】
A 选项：a2、a3不是同类项，不能合并，故是错误的；
B 选项：a2 ⋅ a3 = a5，故是错误的；
C 选项：(a3)2 = a6，故是正确的；
D 选项：a8 ÷ a4 = a6，故是错误的；
故选 C.
2.．（2018·丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是( ).
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
2 2 4x x x+ = 8 2 4x x x÷ = 2 3 6x x x⋅ = 2 2( ) 0x x− − =5
A 选项中，因为 ，所以 A 中计算错误；
B 选项中，因为 ，所以 B 中计算错误；
C 选项中，因为 ，所以 C 中计算错误；
D 选项中，因为 ，所以 D 中计算正确.
故选 D.
3．（2016·福建中考模拟）下列运算正确的是( )
A．2a2+a=3a3 B．(m2)3=m5 C．(x+y)2=x2+y2 D．a6÷a3=a3
【答案】D
【详解】
A、2a2 与 a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（m2）3=m2×3=m6，故本选项错误；
C、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误；
D、a6÷a3=a6-3=a3，故本选项正确．
故选 D．
考查题型一 幂的运算法则的应用
1．（2019·浙江杭州外国语学校中考模拟）若 2m＝5，4n＝3，则 43n﹣m 的值是( )
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】
∵2m＝5，4n＝3，
∴43n﹣m= = = =
故选 B.
2．（2019·海口市长流中学中考模拟）已知 x+y﹣4=0，则 2y•2x 的值是( )
A．16 B．﹣16 C． D．8
【答案】A
【详解】
∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16.
2 2 22x x x+ =
8 2 6x x x÷ =
2 3 5x x x× =
2 2 2 2( ) 0x x x x− − = − =
9
10
27
25
34
4
n
m
3
2
(4 )
(2 )
n
m
3
2
3
5
27
25
1
86
故选 A.
3．（2012·山东中考真题）若3x = 4, 9y = 7，则3x-2y的值为（ ）
A．4
7 B．7
4 C． D．2
7
【答案】A
【详解】
∵3x = 4, 9y = 7，
∴3x-2y = 3x
32y = 3x
9y = 4
7;
故选 A。
4．（2018·江苏中考模拟）若 ，则 的值分别为( )
A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．6，12
【答案】B
∵（ambn）3=a9b15，
∴a3mb3n=a9b15，
∴3m=9，3n=15，
∴m=3，n=5，
故选 B．
5．（2018·湖南中考模拟）已知 am=2，an=3，则 a3m+2n 的值是（ ）
A．24 B．36 C．72 D．6
【答案】C
【详解】
∵am=2，an=3，
∴a3m+2n
=a3m•a2n
=（am）3•（an）2
=23×32
=8×9
=72．
故选 C.
3 9 15( )m na b a b= ,m n7
考查题型二 运用幂的原酸法则比较大小
1．（2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟）若 ， ，则下列结论正确是（ ）
A．a＜b B． C．a＞b D．
【答案】B
【详解】
，
故选 B.
2．（2017·湖北中考模拟）已知 则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：
故选 A.
知识点二 整式乘除
单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含
有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
【注意】
1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。
1．（2017·安徽中考模拟） 不等于（ ）
9
99
99
9a =
9
90
11
9b =
a b= 1ab =
( )99 9 9 9
99 90 9 9 90 90
9 1199 9 11 11= = =9 9 9 9 9a b+
× ×= = ×
31 41 6181 27 9a b c= = =， ， ， a b c、 、
a b c＞ ＞ a c b＞ ＞ a b c＜ ＜ b c a＞ ＞
31 124 123 61 122a 81 3 b 3 c 9 3 a b c.= = = = = > >， ， ，
2( ) ( )m m ma a⋅8
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
= · = .
A 中， = ，故 A 正确；
B 中， =（ ）m= , 故 B 正确；
C 中， = ，故 C 错误；
D 中， = = , 故 D 正确.
故选 C.
2．（2018·山东中考模拟）计算：（−x）3·2x 的结果是
A．−2x4 B．−2x3 C．2x4 D．2x3
【答案】A
【详解】
（﹣x）3•2x=﹣x3•2x
=﹣2x4．
故选：A．
3．（2018·湖南中考模拟）如果单项式－3x4a－by2 与 x3ya＋b 的和是单项式，那么这两个单项式的积是
（ ）
A．3x6y4 B．－3x3y2 C．－3x3y2 D．－3x6y4
【答案】D
【详解】
由同类项的定义，得
，
解得 ．
所以原单项式为：-3x3y2 和 x3y2，其积是-3x6y4．
2( )m ma + 2( )m ma a⋅ 2 2m ma + 3 1( ) ( )m m ma a −⋅
( ) ( )2mm ma a⋅ 2ma 2ma 2 2m ma +
( )2 mma + 2 2m ma +
( )2 mma a⋅ 2ma + 2 2m ma +
2 2m ma + 22ma
( ) ( )3 1 mm ma a −⋅ 23m m ma a −⋅ 2 2m ma +
4 3
2
a b
a b
−
+
＝
＝
1
1
a
b
＝
＝
9
故选：D．
单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
【单项式乘以多项式注意事项】
1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
1.（2018·湖北中考真题）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（ ）
A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6
【答案】B
【详解】
（a﹣2）（a+3）=a2+3a-2a-6=a2+a﹣6，
故选 B．
2．（2019·山东中考真题）计算 的结果是（ ）
A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5
【答案】A
【详解】
原式=4m2•2m3
=8m5，
故选 A．
3．（2019·广西中考真题）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解： ；
故选：B．
多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【多项式乘以多项式注意事项】
2 2 3( 2 ) ( 3 )m m m m− ⋅ − ⋅ +
2( 1)x x − =
3 1x − 3x x− 3x x+ 2x x−
2 3( 1)x x x x− = −10
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包
括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
1．（2018·内蒙古中考模拟）计算 的结果为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：原式
故选 B.
2．（2018·湖北中考模拟）计算（x－2）（x+5）的结果是
A．x2+3x+7 B．x2+3x+10 C．x2+3x－10 D．x2－3x－10
【答案】C
【详解】
(x - 2)(x + 5) = x2 +5x - 2x - 10 = x2 +3x - 10.
故选：C.
3．（2015·广东中考真题）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则 m+n=（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
【答案】C
【详解】
依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）= +x﹣2 = +mx+n，然后对照各项的系数即可求
出 m=1，n=﹣2，所以 m+n=1﹣2=﹣1．
故选：C
乘法公式
① 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： a2+ b2 = (a + b)2 - 2ab
a2 + b2 = (a - b)2
+2ab
扩展二： (a + b)2+ (a - b)2 = 2(a2+ b2)
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
( 1)( 2)x x+ +
2 2x + 2 3 2x x+ + 2 3 3x x+ + 2 2 2x x+ +
2 22 2 3 2.x x x x x= + + + = + +
2x 2x11
扩展三： a2+ b2+ c2= (a + b + c)2-2ab-2ac-2bc
② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公
式．
2.公式中的字母 a、b 可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、
多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
1．（2018·河北中考真题）将 9.52 变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【详解】
9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或 9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有 C 选项符合，
故选 C．
2．（2018·四川中考模拟）已知 x2+mx+25 是完全平方式，则 m 的值为（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
【答案】B
【详解】
∵x2+mx+25 是完全平方式，
∴m=±10，
故选：B．
3．（2018·甘肃中考模拟）已知一个圆的半径为 Rcm，若这个圆的半径增加 2cm，则它的面积增加（ ）
A．4πcm2 B．（2πR+4π）cm2 C．（4πR+4π）cm2 D．以上都不对
【答案】C
【详解】
半径为 Rcm 的圆的面积是 S1=πR2，若这个圆的半径增加 2cm，则其面积是 S2=π（R+2）2，用增加后的圆的
面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可．
详解：∵S2﹣S1=π（R+2）2﹣πR2=π（R+2﹣R）（R+2+R）=4πR+4π，12
∴它的面积增加 4πR+4πcm2．
故选 C．
4．（2019·上海中考模拟）下列各式的变形中，正确的是( )
A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2 B．1
x－x＝1 - x
x
C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1 D．x÷(x2＋x)＝1
x＋1
【答案】A
【详解】
根据平方差公式可得 A 正确；根据分式的减法法则可得：B=1 - x2
x ；根据完全平方公式可得：C=(x - 2)2－1；
根据单项式除以多项式的法则可得：D= 1
x + 1．
单项式÷单项式
一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它
的指数作为商的一个因式.
【同底数幂相除注意事项】
1.因为 0 不能做除数，所以底数 a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为 1 的情况，计算时候容易遗漏或将 x 的指数当做 0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
1．（2018·陕西中考模拟）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．2x+3y=5xy B．x6÷x2=x3
C．（﹣2x3y）3=﹣8x9y3 D．x2y•x3y=x5y
【答案】C
【详解】
2x+3y= 2x+3y≠5xy，故 A 错误. x6÷x2=x4，故 B 错误，x2y•x3y=x5y2，故 D 错误.选 C.
2．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
2 3 5a b ab+ = 2 2( )ab a b− = 2 4 8a a a⋅ =
6
3
3
2 2a aa
=13
A、2a 与 3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、原式=a2b2，故本选项错误；
C、原式=a6，故本选项错误；
D、原式=2a3，故本选项正确．
故选：D．
3.（2019·江苏中考真题）如图，数轴上有 、 、 三点，O 为 原点， 、 分别表示仙女座星
系、M87 黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点 表示的数最为接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
A. （ ）÷（ ）=2，观察数轴，可知 A 选项不符合题意；
B. ÷（ ）=4，观察数轴，可知 B 选项不符合题意；
C. ÷（ ）=20，观察数轴，可知 C 选项不符合题意；
D. ÷（ ）=40，从数轴看比较接近，可知 D 选项符合题意，
故选 D．
多项式÷单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
【解题思路】
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
1．（2019·河南中考模拟）下列运算结果正确的是（ ）
A．（x3﹣x2+x）÷x=x2﹣x B．（﹣a2）•a3=a6
C．（﹣2x2）3=﹣8x6 D．4a2﹣（2a）2=2a2
【答案】C
【详解】
A、（x3-x2+x）÷x=x2-x+1，此选项计算错误；
B、（-a2）•a3=-a5，此选项计算错误；
C、（-2x2）3=-8x6，此选项计算正确；
D、4a2-（2a）2=4a2-4a2=0，此选项计算错误.
O A B O OA OB
B
65 10× 710 75 10× 810
65 10× 62.5 10×
710 62.5 10×
75 10× 62.5 10×
810 62.5 10×14
故选：C．
2．（2017·海南中考模拟）已知长方形的面积为 18x3y4＋9xy2－27x2y2，长为 9xy，则宽为( )
A．2x2y3＋y＋3xy B．2x2y2－2y＋3xy
C．2x2y3＋2y－3xy D．2x2y3＋y－3xy
【答案】D
由题意得：
长方形的宽
故选 D．
3．（2015·福建中考真题） 下列运算正确的是（ ）
A．(a2)3 = a5 B．a2 + a4 = a6
C．a3 ÷ a3 = 1 D．(a3 -a) ÷ a = a2
【答案】C
【详解】
A．(a2)3 = a6，故错误；
B．a2与a4布什同类项，不能进行合并；
C．a3 ÷ a3 = 1，正确；
D．(a3 -a) ÷ a = a2 -1，故错误，
故选 C．
整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
1．（2017·安徽中考模拟）设 M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则 M 与 N 的关系为( )
A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定
【答案】B
【详解】
解：∵M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21，
N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16，
M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5，
∴M>N．
故选 B．
( ) ( )3 4 2 2 2 2 3 2 318 9 27 9 9 2 3 9 2 3x y xy x y xy xy x y y xy xy x y y xy= + − ÷ = + − ÷ = + − ．15
2．（2018·广西中考模拟）点 A（a，3）与点 B（4，b）关于 y 轴对称，则（a+b）2017 的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．72017
【答案】B
【详解】
解：由题意，得
a=-4，b=3．
（a+b）2017=（-1）2017=-1，
故选：B．
3．（2018·江苏中考真题）计算：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ ）0；（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）
【答案】（1）11；（2）3x+1．
【详解】
（1）（-2）2×|-3|-（ ）0
=4×3-1
=12-1
=11；
（2）（x+1）2-（x2-x）
=x2+2x+1-x2+x
=3x+1．
考查题型三 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法
1．（2018·山东中考模拟）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含 x 的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2a﹣b﹣
1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b 的值．
【答案】59.
【详解】
解：（x﹣2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x﹣2b，
∵（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含 x 的二次项和一次项，
∴a﹣2=0 且 b﹣2a=0，
解得：a=2，b=4，
(2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b
6
616
=(2a)2﹣(b+1)2﹣（a2﹣4b2）+2b
=4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b
=3a2+3b2﹣1，
当 a=2，b=4 时，
原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59．
考查题型四 乘法公式的合理运用
1．（2019·乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算：
（1）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）
（2）已知 6x﹣5y＝10，求[（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷4y 的值．
【答案】（1）a2﹣4b2+4bc﹣c2；（2）5.
【详解】解：
（1）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）]
=a2﹣（2b﹣c）2
=a2﹣（4b2﹣4bc+c2）
=a2﹣4b2+4bc﹣c2
（2）当 6x﹣5y=10 时，
∴3x﹣2.5y=5
原式=[4x2﹣y2﹣（4x2﹣12xy+9y2）]÷4y
=（12xy﹣10y2）÷4y
=3x﹣2.5y
=5
考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用
1．（2018·浙江中考模拟）计算：（﹣2018）2+2017×（﹣2019）．
【答案】1.
【详解】
（﹣2018）2+2017×（﹣2019）
=20182﹣（2018﹣1）×（2018+1）
=20182﹣20182+1
=1．17
考查题型六 乘法公式的变形在解题中的应用
1．（2019·甘肃中考模拟）已知 x+ =6，则 x2+ =（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
【答案】C
【详解】把 x+ =6 两边平方得：（x+ ）2=x2+ +2=36，
则 x2+ =34，
故选：C．
2．（2018·四川中考真题）已知实数 a、b 满足 a+b=2，ab= ，则 a﹣b=（ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
【答案】C
【详解】
∵a+b=2，ab= ，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2= ，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
3．（2017·江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则 xy 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【详解】
根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的 2 倍，分别化简可知
（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得 4xy=4，解得 xy=1.
故选：B
4．（2019·浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则 m2+n2=（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
1
x 2
1
x
1
x
1
x 2
1
x
2
1
x
3
4
5
2
5
2
3
4
5
218
【详解】
由题意得 ，
把两式相加可得 ，则
故选 C.
5．（2015·湖南中考真题）已知 a+b=3，ab=2，则 a2+b2 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
根据完全平方公式得出 a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5．
考查题型七 整式的化简求值
1．（2019·辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中 x＝5，y＝ ．
【答案】2x2﹣7xy，43
【详解】
原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy，
当 x＝5，y＝ 时，原式＝50﹣7＝43．
2．（2017·江苏中考模拟）先化简，再求值：2 ＋( ＋ )( －2 )－( － ，其中 ＝－3， ＝
.
【答案】ab-b2 ； ；
【详解】
原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2)
=ab-b2 ；
当 a=-3，b= 时，
原式=
考查题型八 乘法公式和几何图形相结合的应用方法
1
5
1
5
2b a b a b a 2)b a b
1
2
7
4
−
1
2
2ab b−
7
4
= −19
1．（2019·浙江中考模拟）如图，将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边
长为 n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含 m 或 n 的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．
【答案】（1）矩形的周长为 4m；（2）矩形的面积为 33．
【详解】
（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；
（2）矩形的面积为 S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当 m=7，n=4 时，S=72-42=33．
2．（2018·浙江中考真题）有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘
米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【答案】见解析.
【详解】20
详解：由题意可得：
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2+ + = =a2+2ab+b2=（a+b）2．
知识点四 因式分解（难点）
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A. ，故 A 选项错误；
B. ，故 B 选项错误；
C. ，故 C 选项正确；
[ ( )]
2
a a b b+ + [ ( )]
2
a a b b+ + 2 2 21 1
2 2a ab b ab b+ + + +
2 4 ( 4)x x x x− + = − + 2 ( )x xy x x x y+ + = +
2( ) ( ) ( )x x y y y x x y− + − = − 2 4 4 ( 2)( 2)x x x x− + = + −
( )2 4 4x x x x− + = − −
( )2 1x xy x x x y+ + = + +
( ) ( ) ( )2x x y y y x x y− + − = −21
D. =（x-2）2，故 D 选项错误，
故选 C.
2．（2018·江苏中考模拟）把多项式 x2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则 a、b 的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【答案】B
【详解】
（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以 a=2，b=-3，
故选 B．
3．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）
A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2
C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）
【答案】A
【详解】A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；
B、2x2﹣4xy+9y2 无法分解因式，故此选项错误；
C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误，
故选 A．
4．（2019·山东中考模拟）多项式 4a﹣a3 分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2
【答案】B
【详解】
4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．
故选：B．
5．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A．a2-1
2 4 4x x− +22
B．a2+a
C．a2+a-2
D．(a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【详解】
先把四个选项中的各个多项式分解因式，即 a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式 a+1 的是选项 C；故答
案选 C．
考查题型九 利用公式法解决代数式求值问题的方法
1．（2018·河南中考模拟）已知 a﹣b=1，则 a3﹣a2b+b2﹣2ab 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选 C．
2．（2017·陕西中考模拟）已知实数 x 满足 ，那么 的值是（ ）
A．1 或﹣2 B．﹣1 或 2 C．1 D．﹣2
【答案】D
【详解】
∵x2+ =0
∴（x+ ）2-2+x+ =0，
∴[（x+ ）+2][（x+ ）﹣1]=0，
∴x+ =1 或﹣2．
∵x+ =1 无解，
∴x+ =﹣2．
故选：D．
3．（2019·江苏中考模拟）若 x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则 m 的值为( )
2
2
1 1 0x xx x
+ + + = 1x x
+
2
1 1xx x
+ +
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x23
A．-5 B．5 C．-2 D．2
【答案】C
【详解】
∵x2+mx-15=（x+3）（x+n），∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，
∴3n=-15，m=n+3，解得 n=-5，m=-5+3=-2．
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