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专题 13 二次函数
考点总结
【思维导图】
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【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
概念：一般地，形如y = ax2 +bx + c（a ， b ， c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
注意：二次项系数a ≠ 0，而b ， c可以为零．
二次函数y = ax2 +bx + c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2．
⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
1．（2017·甘肃中考模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y = 1 - 2x2②y = 1
x2③y = x(1 - x)④y = (1 - 2x)(1 + 2x)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【详解】
①y=1− 2x2=− 2x2+1，是二次函数；
②y= 1
x2，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数；
④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，3
故答案选 C.
2．（2013·湖南中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y = 2x +1 B．y = -2x +1 C．y = x2 +2 D．y = 1
2x -2
【答案】C
【详解】
根据二次函数的定义，形如y = ax2 + bx + c（其中 a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函
数中是二次函数的是y = x2 +2。故选 C。
3．（2018·安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y = (x - 1)(x + 2) B．
C．y = 1 - 3x2 D．
【答案】D
【详解】
把每一个函数式整理为一般形式，
A、y = (x - 1)(x + 2)=x2+x-2，是二次函数，正确；
B、 =1
2x2+x+1
2，是二次函数，正确；
C、y = 1 - 3x2，是二次函数，正确；
D、 =2x2+12x+18-2x2=12x+18，这是一个一次函数，不是二次函数，
故选 D.
4．（2018·上海中考模拟）下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2x2﹣1
【答案】D
【详解】
A、y=2x﹣2，是一次函数，
B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函数，
C、当 a=0 时，y=a（x﹣1）2 不是二次函数，
D、y=2x2﹣1 是二次函数．
故选 D．
( )21y x 12
= +
( )2 2y 2 x 3 2x= + −
( )21y x 12
= +
( )2 2y 2 x 3 2x= + −4
考查题型一 待定系数法求二次函数解析式
1．（2018·广东中考模拟）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数 y 的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下 B．当 x＞－3 时，y 随 x 的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线 x＝－5
2
【答案】D
【详解】
将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数 y=ax2+bx+c 中，
得：{0 = 16a - 4b + c
0 = a - b + c
4 = c
,解得：{a = 1
b = 5
c = 4
，
∴二次函数的解析式为 y=x ²+5x+4.
A. a=1>0，抛物线开口向上，A 不正确；
B. − b
2a=−5
2,当 x⩾−5
2时，y 随 x 的增大而增大，B 不正确；
C. y=x²+5x+4=(x+5
2) ²−9
4,二次函数的最小值是−9
4，C 不正确；
D. − b
2a=−5
2,抛物线的对称轴是 x=−5
2，D 正确.
故选 D.
2．（2018·上海中考模拟）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值
如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么关于它的图象，下列判断正确的是( )
A．开口向上
B．与 x 轴的另一个交点是(3，0)
C．与 y 轴交于负半轴5
D．在直线 x＝1 的左侧部分是下降的
【答案】B
【详解】
A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为 y=a（x﹣1）2+4．
将（﹣1，0）代入，得
a（﹣1﹣1）2+4=0，
解得 a=﹣2．
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故本选项错误；
B、抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是 x=1，则抛物线与 x 轴的另一个交点是（3，0），故
本选项正确；
C、由表格知，抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，3），即与 y 轴交于正半轴，故本选项错误；
D、抛物线开口方向向下，对称轴为 x=1，则在直线 x=1 的左侧部分是上升的，故本选项错误；
故选：B．
考查题型二 根据二次函数的定义求参数值
1．（2012·山东中考真题）抛物线y = ax2 + bx -3经过点（2，4），则代数式8a +4b +1的值为（ ）
A．3 B．9 C．15 D． -15
【答案】C
【详解】
∵抛物线y = ax2 + bx -3经过点（2，4），∴4 = 4a +2b -3，即4a +2b = 7。
∴8a +4b +1 = 2(4a +2b) + 1 = 2 × 7 + 1 = 15。故选 C。
2．（2018·安徽中考模拟）已知函数 y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求 m 的值；
（2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？
【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0 且 m≠1.
【详解】
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得 m=0 或 m=16
又∵m﹣1≠0 即 m≠1；
∴当 m=0 时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得 m1≠0，m2≠1
∴当 m1≠0，m2≠1 时，这个函数是二次函数．
知识点 2：二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的基本表现形式：
①y = ax2；②y = ax2 +k；③y = a(x - h)2；④y = a(x - h)2 +k；⑤y = ax2 +bx + c.
第一种：二次函数y = ax2的性质（最基础）
1.（2019·辽宁中考模拟）下列关于二次函数 的说法正确的是( )
A．它的图象经过点( - 1, - 2)
B．它的图象的对称轴是直线x = 2
C．当 时，y随x的增大而减小
D．当x = 0时，y有最大值为 0
【答案】C
【详解】
A. 它的图象经过点( -1,2)，A 错误；
B. 它的图象的对称轴是直线x = 0，B 错误；
C. 当x < 0时，y随x的增大而减小，正确；
D. 当x = 0时，y有最小值为 0,D 错误.
2．（2019·山东中考模拟）给出下列函数：①y＝2x﹣3；②y＝1
x；③y＝2x2；④y＝﹣3x+1．上述函数中符
合条件“当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小”的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
【答案】C
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
a > 0 向上 (0 ， 0) y轴
x > 0时，y随x的增大而增大；x < 0时，y随x的增大而减
小；x = 0时，y有最小值0．
a < 0 向下 (0 ， 0) y轴
x > 0时，y随x的增大而减小；x < 0时，y随x的增大而增
大；x = 0时，y有最大值0．
22y x=
0x 0 向上 (0 ， c) y轴
x > 0时，y随x的增大而增大；x < 0时，y随x的增大而减
小；x = 0时，y有最小值c．
a < 0 向下 (0 ， c) y轴
x > 0时，y随x的增大而减小；x < 0时，y随x的增大而增
大；x = 0时，y有最大值c．8
A、a=2，则抛物线 y=2x2-3 的开口向上，所以 A 选项错误；
B、当 y=0 时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与 x 轴有两个交点，所以 B 选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线 x=0，所以 C 选项错误；
D、当 x=2 时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以 D 选项错误，
故选 B．
3．（2019·山东中考真题）已知抛物线 y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与 x 轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是 y 轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个
D．2 个
【答案】B
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令 y=0，则-x2+1=0，解得 x1=1，x2=-1，所以，抛物线与 x 轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题
正确；
③抛物线的对称轴x = - b
2a=0，是 y 轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共 4 个．
故选 B．
4．（2018·河北中考模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2x．点 D（n，y1），E（3，y2）在
抛物线上，若 y1＜y2，则 n 的取值范围是（ ）
A．n＞3 或 n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3 或 n＜1
【答案】A
【详解】9
解：∵抛物线 y＝﹣x2+2x 的对称轴为 x＝1，
E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2），
∵抛物线开口向下，
∴y1＜y2 时，n＞3 或 n＜﹣1，
故选：A．
第三种：二次函数y = a(x - h)2的性质
1（2019·四川中考模拟）对于函数 y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x = 3 C．最大值为 0 D．与 y 轴不相交
【答案】D
【详解】
对于函数 y=-2(x-3)2 的图象，
∵a=-2＜0，
∴开口向下，对称轴 x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值 0，
故选项 A、B、C 正确， 选项 D 错误，
故选 D．
2（2019·湖北中考模拟）关于二次函数 y＝1
2 (x+1)2 的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
【答案】D
【详解】
二次函数 y＝1
2 (x+1)2 中 a=1
2>0，所以抛物线开口向上，
当 x=0 时，y=1
2，所以图象不经过原点，
a的符号
开口方
向
顶点坐标 对称轴 性质
a > 0 向上 (h ， 0) X=h
x > h时，y随x的增大而增大；x < h时，y随x的增大而减
小；x = h时，y有最小值0．
a < 0 向下 (h ， 0) X=h
x > h时，y随x的增大而减小；x < h时，y随x的增大而增
大；x = h时，y有最大值0．10
因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，
由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，
所以选项 A、B、C 是错误的，D 是正确的，
故选 D.
3（2019·山东中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y = a(x - h)2（a ≠ 0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
二次函数 （a ≠ 0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在 x 轴上，
故选 D．
第四种：二次函数y = a(x - h)2 +k的性质
二次函数y = ax2 +bx + c用配方法可化成：
y = a(x - h)2 +k的形式，其中h = - b
2a，k = 4ac - b2
4a .
1.2019·广东中考模拟）关于抛物线y = 2(x - 1)2 +1，下列说法错误的是（ ）．
A．开口向上 B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x = 1 D．当x > 1时，y随x的增大而增大
【答案】B
【详解】
解：A、a＝2＞0，抛物线开口向上，所以 A 选项的说法正确；
B、当y＝0时，即2（x﹣1）2 +1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与 x 轴没有交点，所以 B 选项的说法
a的符号
开口方
向
顶点坐标 对称轴 性质
a > 0 向上 (h ， k) X=h
x > h时，y随x的增大而增大；x < h时，y随x的增大而减小；
x = h时，y有最小值k．
a < 0 向下 (h ， k) X=h
x > h时，y随x的增大而减小；x < h时，y随x的增大而增大；
x = h时，y有最大值k．
2( )y a x h= −11
错误；
C、抛物线的对称轴为直线x＝1，所以 C 选项的说法正确；
D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，则当x＞1时，y 随 x 的增大而增大，所以 D 选项的说法
正确．
故选：B．
2.2019·广西中考模拟）将y = x2 -6x + 1化成y = （x - h）2 +k的形式，则h +k的值是( )
A．-5 B．-8 C．-11 D．5
【答案】A
【详解】
解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8，
∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k，
∴a=1，h=3，k=-8，
∴h+k=3+（-8）=-5．
故选：A．
3（2019·江苏中考模拟）已知二次函数 y=（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况
下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（ ）
A．1 或﹣5 B．﹣1 或 5 C．1 或﹣3 D．1 或 3
【答案】B
【详解】
∴①若 h＜1≤x≤3，x=1 时，y 取得最小值 5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1 或 h=3（舍）；
②若 1≤x≤3＜h，当 x=3 时，y 取得最小值 5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5 或 h=1（舍）．
综上，h 的值为﹣1 或 5，
故选：B．
二次函数图象的平移
平移步骤：
将抛物线解析式转化成顶点式y = a(x - h)2 +k，确定其顶点坐标(h ， k)；12
保持抛物线y = ax2的形状不变，将其顶点平移到(h ， k)处，具体平移方法如下：
平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
【概括】左加右减，上加下减
1．（2019·辽宁中考模拟）将抛物线y = 3x2向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线
的解析式为（ ）
A．V = - 1
2x +94 B．P = Vx = ( - 1
2x + 94)x = - 1
2x2 +94x
C． - 1
2(x - 94)2 +4418 D．
【答案】A
【详解】
将抛物线y = 3x2向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式
为V = - 1
2x +94，故答案选 A．
2．（2017·邹平镇第三中学中考模拟）把抛物线 y＝－1
2x2 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长
度，得到的抛物线解析式为( )
A．y＝－1
2 (x＋1)2＋1 B．y＝－1
2 (x＋1)2－1
C．y＝－1
2 (x－1)2＋1 D．y＝－1
2 (x－1)2－1
【答案】B
【详解】
23( 2) 3y x= − −13
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：y = －1
2（x + 1）2
-1.
3．（2017·广东中考模拟）把抛物线 y＝x2＋4 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的
表达式为( )
A．y＝(x＋1)2＋7 B．y＝(x－1)2＋7 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x＋1)2＋1
【答案】D
【详解】
把抛物线y = x2 +4先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位所得新抛物线的解析式为：y = (x + 1)2 +1.
故选 D.
4．（2018·山东中考模拟）将二次函数 y=x2+2x﹣1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到的函数表达
式是（ ）
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
【答案】D
【详解】
∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2，
∴二次函数 y=x2+2x-1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）
2-2，
故选 D．
5．（2019·浙江中考模拟）将抛物线 y＝2（x﹣4）2﹣1 先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长
度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【答案】A
【详解】抛物线 y=2（x-4）2-1 先向左平移 4 个单位长度，得到的抛物线解析式为 y=2（x-4+4）2-1，即
y=2x2-1，再向上平移 2 个单位长度得到的抛物线解析式为 y=2x2-1+2，即 y=2x2+1；
故选：A
抛物线y = ax2 +bx + c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）14
公式法：y = ax2 +bx + c = a(x + b
2a)2
+ 4ac - b2
4a ，
∴顶点是（ - b
2a，4ac - b2
4a ），对称轴是直线x = - b
2a.
配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x - h)2 +k的形式，得到顶点为(h,k)，对称
轴是直线x = h.
【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的
对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
抛物线y = ax2 +bx + c中，a,b,c与函数图像的关系（灵活掌握）
二次项系数a
二次函数y = ax2 +bx + c中，a作为二次项系数，显然a ≠ 0．
⑴ 当a > 0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑶ 当a < 0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小．
一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在a > 0的前提下，
当b > 0时， - b
2a < 0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b 同号）；
当b = 0时， - b
2a = 0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b < 0时， - b
2a > 0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b 异号）．
⑵ 在a < 0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b > 0时， - b
2a > 0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b 异号）；
当b = 0时， - b
2a = 0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b < 0时， - b
2a < 0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b 同号）．
【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
常数项c
⑴ 当c > 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c < 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
总之，只要a ， b ， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
1（2018·天津中考模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线 x=1，如果关于 x 的方程15
ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为 4，那么该方程的另一个根为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【答案】B
【详解】
∵关于 x 的方程ax2 +bx - 8 = 0有一个根为 4，
∴抛物线y = ax2 +bx - 8与 x 轴的一个交点为（4，0），
抛物线y = ax2 +bx + 3(a ≠ 0)的对称轴为直线x = 1，
∴ 抛物线y = ax2 +bx - 8的对称轴也是 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为( -2，0)，
∴方程的另一个根为x = -2．
故选 B．
2（2019·许昌实验中学中考模拟）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式ax2
+bx + c < 0的解集是（ ）
A． -1 < x < 5 B．x > 5 C．x < -1且x > 5 D．x＜－1 或 x＞5
【答案】D
2y=ax +bx+c16
【详解】
利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2 +bx + c < 0的解集：
由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0），
∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（－1，0）。
由图象可知：ax2 +bx + c < 0的解集即是 y＜0 的解集，
∴x＜－1 或 x＞5。故选 D。
3（2019·广东中考模拟）已知函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的根的
情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】
∵函数的顶点的纵坐标为 4，
∴直线 y＝4 与抛物线只有一个交点，
∴方程 ax2+bx+c﹣4＝0 有两个相等的实数根，
故选 A．
考查题型三 二次函数函数值大小的判断方法
1．（2019·湖北中考真题）已知点A( -1,m),B(1,m),C(2,m - n)(n > 0)在同一个函数的图象上，这个函数
可能是（ ）
A．y＝x B．y = - 2
x C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【答案】D
【详解】
A( -1,m),B(1,m)
∴ 点A与点B关于y轴对称；17
由于y＝x，y＝ - 2
x的图象关于原点对称，因此选项A,B错误；
∵ n＞0，
∴ m﹣n＜m；
由B(1,m),C(2,m - n)可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a < 0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴ D选项正确
故选D．
2．（2019·江苏中考模拟）已知二次函数y = a(x - 2)2 +c，当x = x1时，函数值为y1；当x = x2时，函数
值为y2，若|x1 - 2| > |x2 -2|，则下列表达式正确的是（ ）
A．y1 + y2 > 0 B．y1 - y2 > 0 C．a(y1 - y2) > 0 D．a(y1 + y2) > 0
【答案】C
【详解】
解：①a＞0 时，二次函数图象开口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0 时，二次函数图象开口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
a（y1﹣y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是 a（y1﹣y2）＞0．
故选：C．
3．（2019·河南中考模拟）点P1( -1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y = - x2 +2x + c的图象上，
则y1，y2，y3的大小关系是______．
【答案】y1 = y2 > y3
【详解】
解： ∵ y = - x2 +2x + c，
∴ 对称轴为x = 1，
P2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，18
∵ 3 < 5，
∴ y2 > y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1( -1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，
故y1 = y2 > y3，
故答案为：y1 = y2 > y3．
考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法
1．（2019·浙江中考模拟）关于抛物线y = 1
2(x + 2)2 +3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是直线x = 2，y有最小值是3 B．对称轴是直线a = - 1，y有最大值是3
C．对称轴是直线x = 2，y有最大值是3 D．对称轴是直线a = - 1，y有最小值是3
【答案】D
【详解】
解：抛物线 y=1
2（x+2）2+3 的图像开口向上
∵函数图像对称轴为直线 x=-2，
∴x=-2 时有最小值 3，
故选：D．
2．（2016·浙江中考模拟）对于二次函数 y＝（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，2）
C．对称轴是 x＝﹣1 D．与 x 轴有两个交点
【答案】B
【详解】
A、y=（x﹣1）2+2，知 a=1＞0，因此图象的开口向上，此选项错误；
B、y=（x﹣1）2+2 顶点坐标是（1，2），此选项正确；
C、对称轴是直线 x=1，此选项错误；
C、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程无解，与 x 轴没有交点，故本选项错误．
D、由 y=（x﹣1）2+2=x2-2x+3，可得△=b2-4ac=4-12=-8，没有交点，故本选项错误.
故选：B
3．（2019·江苏中考模拟）关于函数 y＝﹣（x+2）2﹣1 的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点（2，﹣1）
C．与 y 轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线 x＝﹣219
【答案】D
【详解】
∵ 函数y = - (x + 2)2 - 1，
∴ 该函数图象开口向下，故选项 A 错误，
顶点坐标为( -2, - 1)，故选项 B 错误，
当x = 0时，y = - 5，即该函数与 y 轴的交点坐标为(0, - 5)，故选项 C 错误，
对称轴是直线x = - 2，故选项 D 正确，
故选：D
4．（2019·山东中考模拟）抛物线y = mx2 +2mx + 1（m为非零实数）的顶点坐标为_____________.
【答案】( -1,1 - m)
【详解】y=mx2+2mx+1
=m(x2+2x)+1
=m(x2+2x+1-1)+1
=m(x+1)2 +1-m，
所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m），
故答案为（-1，1-m）.
考查题型五 抛物线对称性的应用
1．（2018·普定县白岩镇白岩中学中考模拟）将抛物线 y=x2﹣1 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交
点之间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【详解】将抛物线 y=x2-1 向下平移 8 个单位长度，
其解析式变换为：y=x2-9
而抛物线 y=x2-9 与 x 轴的交点的纵坐标为 0，
所以有：x2-9=0
解得：x1=-3，x2=3，
则抛物线 y=x2-9 与 x 轴的交点为（-3，0）、（3，0），
所以，抛物线 y=x2-1 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为 6
故选 B20
2（2018·山东中考模拟）若二次函数α,β的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0 或 2 C．2 或﹣2 D．0，2 或﹣2
【答案】D
【详解】
当函数为一次函数时，则 m=0；当函数为二次函数时，则(m + 2)2 - 4m(1
2m + 1) = 0，解得：m=±2．综上
所述，m=0 或 2 或－2．
3．（2014·黑龙江中考真题）如图，抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问
题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长．
注：抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；
（2）BD= ．
【详解】
（1）∵抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A（0，3），B（﹣1，0），
∴将 A 与 B 坐标代入得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；
（2）由 D 为抛物线顶点，得到 D（1，4），21
∵抛物线与 x 轴交于点 E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在 Rt△BED 中，根据勾股定理得：BD= ．
考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法
1．（2019·陕西中考模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若 n＜
m，则（ ）
A．a＞0 且 4a+b=0 B．a＜0 且 4a+b=0
C．a＞0 且 2a+b=0 D．a＜0 且 2a+b=0
【答案】A
【详解】
∵图像经过点（0,m）、（4、m）
∴对称轴为 x=2，
则 - b
2a = 2,
∴4a+b=0
∵图像经过点（1，n），且 n＜m
∴抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
故选 A.
2．（2019·广东中考模拟）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A(﹣5，0)，对称轴为
直线 x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点 B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)为函数图象上的两点，
则 y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正确结论的个数是( )22
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
由图象可知：开口向下，故 a＜0，
抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，故 c＞0，
∵对称轴 x＝﹣ b
2a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴为 x＝﹣2，
∴﹣ b
2a＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正确；
当 x＜﹣2 时，
此时 y 随 x 的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y1＞y2，故③正确；
∵图象过点 A(﹣5，0)，对称轴为直线 x＝﹣2，
∴点 A 关于 x＝﹣2 对称点的坐标为：(1，0)
令 x＝1 代入 y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正确
故选：C．
4．（2013·广西中考真题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；
②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）23
【答案】①②⑤
【详解】
①由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac。故①正确。
②抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线的对称轴为x = - b
2a = 1，b=﹣2a，故 b＜0；
抛物线交 y 轴于负半轴，得：c＜0；
所以 abc＞0。故②正确。
③∵抛物线的对称轴为x = - b
2a = 1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故 2a﹣b=0。故③错误。
④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当 x=﹣2 时，y＞0；即 4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误。
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当 x=﹣1 时，y＜0，所以当 x=3 时，也有 y＜0，即 9a+3b+c＜0。故⑤正确。
综上所述，结论正确的有①②⑤。
知识点三 抛物线与x轴的交点
二次函数y = ax2 +bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2 +bx + c = 0的
两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔Δ > 0⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ = 0⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔Δ < 0⇔抛物线与x轴相离.
考查题型七 利用二次函数与 x 轴的交点判断字母的值范围的方法
1．（2018·湖北中考真题）已知二次函数 y=x2﹣x+1
4m﹣1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A24
【详解】∵二次函数 y=x2﹣x+1
4m﹣1 的图象与 x 轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×(1
4 m-1)≥0，
解得：m≤5，
故选 A．
考查题型八 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法
1．（2012·江苏中考模拟）若二次函数y = (x - m)2 - 1，当x ≤ 1时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取
值范围是（ ）
A．m = 1 B．m > 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1
【答案】C
【详解】
∵二次函数的解析式 y=（x-m）2-1 的二次项系数是 1，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），
∴该二次函数图象在 x＜m 上是减函数，即 y 随 x 的增大而减小，且对称轴为直线 x=m，
而已知中当 x≤1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故选 C．
2．（2017·江苏中考模拟）若二次函数 y=（x﹣m）2﹣1，当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范
围是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【答案】C
【详解】
∵a=1>0，
∴在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
∵y=（x﹣m）2﹣1 的对称轴是 x=m，
∴m≥3.
故选 C.25
3．（2019·四川中考真题）如图，抛物线y = ax2 +bx + c(a ≠ 0)过点( - 1,0)，(0,2)，且顶点在第一
象限，设M = 4 a + 2 b + c，则 M 的取值范围是___．
【答案】 - 6 < M < 6.
【详解】
将( - 1,0)与 代入y = ax2 +bx + c，
∴0 = a - b + c，2 = c，
∴b = a + 2，
∵ - b
2a > 0，a < 0，
∴b > 0，
∴a > - 2，
∴ - 2 < a < 0，
∴M = 4a + 2(a + 2) + 2
= 6a + 6
= 6(a + 1)
∴ - 6 < M < 6，
故答案为： - 6 < M < 6.
考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法
1．（2019·内蒙古中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
(0,2)26
解：∵一次函数和二次函数都经过 y 轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于 y 轴上的同一点，故 B 选项错误；
当 a＞0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故 C 选项错误；
当 a＜0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故 A 错误，D 选项正确；
故选：D．
2．（2018·安徽中考模拟）二次函数y = a(x + m)2 +n的图象如图，则一次函数y = mx + n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】C
【详解】
∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0。∴m＜0，
∴一次函数y = mx + n的图象经过二、三、四象限。故选 C。
3.（2018·山东中考模拟）已知二次函数 y＝(x+m)2﹣n 的图象如图所示，则一次函数 y＝mx+n 与反比例函
数 y＝mn
x 的图象可能是( )
A． B．
C． D．27
【答案】D
【详解】
由二次函数的图象，得﹣m＞0，﹣n＜0，
化简，得 m＜0，n＞0，
y＝mx+n 图象经过一二四象限，y＝mn
x 图象位于二四象限，
故选：D．
4．（2019·安徽中考模拟）二次函数 y＝a(x﹣m)2﹣n 的图象如图，则一次函数 y＝mx+n 的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【详解】
解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函数 y＝mx+n 的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）
三点式（带入）
1，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3，0），B（2 3，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=a(x-1)２+4 ， 经过点 A（2，3），求抛物线的解析式。
顶点式（顶点坐标（- b
2a，4ac - b2
4a ））
1，已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1），求抛物线的解析式。
2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
交点式（带入）
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线 y=1
2a(x-2a)(x-b)的解析式。
定点式28
1， 在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线y = - 1
2x2 + 5 - a
2 x + 2a - 2经过 x 轴上一定点 Q ，直线
y = (a - 2)x + 2经过点 Q,求抛物线的解析式。
2.抛物线 y= x2 +(2m-2)x-4m 与 x 轴的交点一定经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
解：抛物线与 X 轴相交，Y=0
x2+(2m-2)X-4m=0
x2-2X+2mx-4m=0
X(X-2)+2m(X-2)=0
(X-2)(X+2m)=0
所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得 m=-4
3
Y= x2-11
3 x+8
3
3，抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。
直线 y=mx-2m+2
y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与 m 的取值无关，所以
x-2=0 y=2
即定点坐标为 A（2,2）
所抛物线 y=ax2+ax-2 过(2,2)
2=6a-2
6a=4
a=2
3
知识点五 通过二次函数解决实际问题
考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题
1．（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m)与小球运动时间t (单位：
)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 ；②小球抛出 3 秒后，速度越来
越快；③小球抛出 3 秒时速度为 0；④小球的高度h = 30m时，t = 1.5s．其中正确的是( )
s 40m29
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【详解】
①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ；故①错误；
②小球抛出 3 秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0；故③正确；
④设函数解析式为：h = a(t - 3)2 +40，
把O(0,0)代入得0 = a(0 - 3)2 +40，解得a = - 40
9 ，
∴函数解析式为h = - 40
9 (t - 3)2 +40，
把h = 30代入解析式得，30 = - 40
9 (t - 3)2 +40，
解得：t = 4.5或t = 1.5，
∴小球的高度h = 30m时，t = 1.5s或4.5s，故④错误；
故选：D．
2．（2018·重庆中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运
动，当球运动的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高
度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是 y=﹣1
5x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
40m30
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是 2m
【答案】A
【详解】
解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为 y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣1
5，
∴y=﹣1
5x2+3.5．
故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm，
因为（1）中求得 y=﹣0.2x2+3.5，
∴当 x=﹣2.5 时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面 2.25m．
故本选项错误．
故选：A．
考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题
1．（2017·甘肃中考模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶
（拱桥洞的最高点）离水面 2 m，水面宽 4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x231
C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
【答案】C
【详解】
由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，
故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选 C．
2．（2019·山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面下降
2m，则水面宽度增加（ ）
A．(4 2 + 4)m B．4 2m C．(4 2 - 4)m D．4m
【答案】C
【详解】
解：以 AB 所在的直线为 x 轴，向右为正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，向上为正方向，建立如图所
示的平面直角坐标系，
抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，
2），设顶点式 y=ax2+2，代入 A 点坐标（-2，0），
得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2，
把 y=-2 代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，
解得：x=±2 2，
所以水面宽度增加到 4 2米，比原先的宽度当然是增加了（4 2-4）米，
故选：C．
考查题型十二 利用二次函数求最大面积
1．（2017·江西南昌二中中考模拟）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另32
外三边用长为 30 米的篱笆围成，已知墙长为 18 米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米.
(1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x；
(2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小
值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围.
【答案】(1) x=12；(2)苗圃园的面积最大为 112.5 平方米，最小为 88 平方米；(3) 6≤x≤10.
【详解】
解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
x(30－2x)＝72，即 x2－15x＋36＝0．
解得 x1＝3，x2＝12．
又∵30－2x≤18，即 x≥6，
∴x=12
(2)依题意，得 8≤30－2x≤18．解得 6≤x≤11．
面积 S＝x(30－2x)＝－2(x－15
2 )2＋225
2 (6≤x≤11)．
①当 x＝15
2 时，S 有最大值，S 最大＝225
2 ；
②当 x＝11 时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88．
(3)令 x(30－2x)＝100，得 x2－15x＋50＝0 ．
解得 x1＝5，x2＝1
∴x 的取值范围是 5≤x≤10．
考查题型十三 利用二次函数求最大利润
1．（2013·辽宁中考真题）某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3
万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满
足一次函数关系．
（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
【答案】（1）y = - 10000x + 80000（2）当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为
40000 元33
【详解】解：（1）由题意，可设 y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得：{5k + b = 30000
6k + b = 20000，解得：{k = -10000
b = 80000。
∴y 与 x 之间的关系式为：y = - 10000x + 80000。
（2）设利润为 W，则
W = (x - 4)( -10000x + 80000) = - 10000(x2 - 12x + 32) = - 10000(x - 6)2 +40000，
∴当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元。
答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元。
考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题
1．（2019·云南中考模拟）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB
向点 B 以 1cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，若 P，Q 两点分别从 A，B
两点同时出发，P 点到达 B 点运动停止，则△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，
则△PBQ 的面积 S＝1
2PB•BQ＝1
2（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，
故△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故选：C．34
2．（2019·河南中考模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从点 A
向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 P→D→Q 运动，点 E、F 的运动速度相
同．设点 E 的运动路程为 x，△AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
当 F 在 PD 上运动时，△AEF 的面积为 y=1
2AE•AD=2x（0≤x≤2），
当 F 在 DQ 上运动时，△AEF 的面积为 y=1
2AE•AF= = （2＜x≤4），
图象为：
故选 A．
3．（2019·河南中考模拟）如图，在RtΔABC中，∠C = 90°，AB=10cm,BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C
以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止）。则四边
形 PABQ 的面积 y(cm2)与运动时间 x(s)之间的函数图象为（ ）
1 ( 2)2 x x − 21
2 x x−35
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC= AB2 - BC2=6cm,
设运动时间为 x（0≤x≤4），则 PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
∴S 四边形 PABQ=S△ABC-S△CPQ
=1
2AC∙BC-1
2PC∙CQ
=1
2×6×8-1
2×（6-x）×2x
=x2-6x+24
=（x-3）2+15.
根据函数解析式可得函数图象应为：C.
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