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专题 16 相交线与平行线
考点总结
【思维导图】
【知识要点】2
知识点一 相交线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直
线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
表示方法：
如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．
记作：a ⊥ b 于点Ｏ．
【注意事项】
1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。
2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的画法：一落、二移、三画。
注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向
延长线或线段的延长线上。
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
注意：
1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【典型例题】
1．（2016·福建中考模拟）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）3
A．一定有一个锐角
B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角
D．一定有一个不是钝角
【答案】D
【解析】
因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：
①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故 A、B 错误；
②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以 C 错误；
综上所述，D 正确．
故选 D．
2．（2018·天津中考模拟）有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；
②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；
④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．
故选 D.
3．（2018·湖南中考模拟）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线
有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有
一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C4
【详解】在同一平面内，
①过两点有且只有一条直线，故①正确；
②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；
③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，
综上所述，正确的有①③④共 3 个，
故选 C．
4．（2019·贵州中考真题）如图，△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，CM 是 AB 边上的中线，点 C 到边 AB 所在直
线的距离是( )
A．线段 CA 的长度 B．线段 CM 的长度
C．线段 CD 的长度 D．线段 CB 的长度
【答案】C
【详解】
点 C 到边 AB 所在直线的距离是点 C 到直线 AB 的垂线段的长度，而 CD 是点 C 到直线 AB 的垂线段，
故选 C.
5．（2018·安徽中考模拟）下列说法正确的是( )
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
D．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】试题解析：A. 两点之间的距离是两点间的线段的长度，故此选项错误；
B. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；
C. 与同一条直线垂直的两条直线平行，故此选项错误；5
D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项正确.
故选 D.
考查题型一 垂线性质的应用方法
1．（2017·湖南中考模拟）如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为 G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）.
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【解析】
先根据对顶角相等求出∠1 的对顶角，然后根据两直线平行，同位角相等，求出直角三角形的一个内角，然
后可求得∠E=90°-50°=40°.
故选：C
2．（2018·广西中考模拟）如图，O 为直线 AB 上一点，OE 平分∠BOC，OD⊥OE 于点 O，若∠BOC=80°，则∠
AOD 的度数是（ ）
A．70° B．50° C．40° D．35°
【答案】B
【解析】
∵OE 是∠BOC 的平分线，∠BOC=80°，
∴∠COE= ∠BOC= ×80°=40°，
∵OD⊥OE
∴∠DOE=90°，
∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°，
∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.
故选 B.
3．（2015·河北中考模拟）如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1=145°，则∠3 的度数为
1
2
1
26
（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】
试题分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°，
∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，
∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°；
故选 C．
4．（2019·湖南中考模拟）如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，则∠AOC 的大
小为（ ）
A．25° B．35° C．65° D．115°
【答案】A
【详解】
∵OE⊥CD，∠BOE＝65°，
∴∠BOD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠AOC＝∠BOD＝25°．
故选 A．
5．（2017·重庆中考模拟）如图， ，点 在 上， 分别交 于点 ，且
， ，则 的度数为（ ）
/ /EF GH A EF { }|2 4 x x≤ ≤ GH B C、
AP AQ⊥ 035PBG∠ = FAC∠7
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：∵EF∥GH，∠PBG=35°，
∴∠EAP=∠PBG=35°，
∵AP⊥AQ，
∴∠BAC=90°，
∵∠EAP+∠BAC+∠FAC=180°，
∴∠FAC=180°-∠EAP-∠BAC=180°-35°-90°=55°．
故选 C.．
考查题型二 判断两条直线是否垂直
1．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，已知 DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，试说明：CD⊥AB．
【答案】证明见解析.
【解析】
∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
045 050 055 0608
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.
∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直的定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直的定义）．
考察题型三 利用垂线段最短，解决实际问题
1．（2018·贵州中考模拟）如图，计划把河水 l 引到水池 A 中，先作 AB⊥l，垂足为 B，然后沿 AB 开渠，
能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．过一点只能作一条直线
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【详解】计划把河水 l 引到水池 A 中，先作 AB⊥l，垂足为 B，然后沿 AB 开渠，能使所开的渠道最短，这
样设计的依据是垂线段最短，故选 B．
考查题型四 相交线交点的判断
1．（2013·湖北中考真题）两条直线最多有 1 个交点，三条直线最多有 3 个交点，四条直线最多有 6 个交
点，…那么六条直线最多有( )
A．21 个交点 B．18 个交点 C．15 个交点 D．10 个交点
【答案】C
【解析】
由题意两条直线最多有 个交点，三条直线最多有 个交点，四条直线最多有
个交点，根据这个规律即可求得结果.9
由题意得六条直线最多有 个交点，故选 C.
2．观察如图图形，并阅读相关文字：那么 10 条直线相交，最多交点的个数是( )
A．10 B．20 C．36 D．45
【答案】D
【详解】
2 条直线相交，只有 1 个交点，3 条直线相交，最多有 3 个交点，4 条直线相交，最多有 6 个交点，…，n
条直线相交，最多有 个交点，n=10 时， 45．
故选 D．
3．（2017·温江区期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
【答案】C
【解析】分四种情况：①三条直线平行，有 0 个交点；②三条直线相交于同一点，有 1 个交点；③一条直
线截两条平行线有 2 个交点；④三条直线两两相交有 3 个交点．故选 C．
知识点二 相交线中的角
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角
∠1 与∠2
有公共顶点 ∠1 的两边与∠
2 的两边互为反
向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
1
2
n n −（ ） 10 9
2
× =
10
邻补角
∠3 与∠4
有公共顶点 ∠3 与∠4 有一
条边公共，另一
边互为反向延长
线.
∠3+∠4=180°
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α 与∠β 是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α 与∠β 不一定是
对顶角；
（3）如果∠α与∠β 互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β
不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角：在两条直线的上方，又在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）
如：∠1 和∠5。
内错角：在在两条直线之间，又在直线 EF 的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）
如：∠3 和∠5。
同旁内角：在在两条直线之间，又在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）
如：∠3 和∠6。
三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角 4 对，内错角有 2 对，同旁内角
有 2 对，同旁内角有 2 对。
考查题型五 同位角、内错角与同旁内角的判断
1．（2019·浙江中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1 是∠2 的同旁内角，∠2 是∠3 的内错角．
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（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3 的度数．
【答案】(1)见解析；(2) 36°
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
故 x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3 的度数为 36°．
2．（2019·福建中考模拟）如图，与∠1 是同旁内角的是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】D
【解析】
解：A．∠1 和∠2 是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误；
B．∠1 和∠3 是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；
C．∠1 和∠4 是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；
D．∠1 和∠5 是同旁内角，故本选项正确．
故选 D．
3．（2019·甘肃中考模拟）如图，下列四个选项中， 与 是内错角的是( )1∠ 2∠12
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的
两旁，则这样一对角叫做内错角．
只有 B 符合条件．
故选 B．
考查题型六 利用对顶角的性质求角的度数
1．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O，EO⊥CO，OF 平分∠AOE，且 OF
在∠COE 的内部．
(1)若∠COF＝15°，求∠BOD 的度数．
(2)若∠BOD＝x°，则∠COF＝__________°(用含 x 的代数式表示)．
【答案】（1）∠BOD＝60°；（2） .
【详解】
解：(1)∵ CO⊥EO，∴ ∠COE＝90°．
∴ ∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－15°＝75°．
∵ OF 平分∠AOE，∴ ∠AOF＝∠EOF＝75°，
∴ ∠AOC＝∠AOF－∠COF＝75°－15°＝60°，
075 x− 013
∴ ∠BOD＝∠AOC＝60°．
(2)由（1）可知道∠AOF =75°，∠BOD＝∠AOC ，
∴∠COF =∠AOF－∠BOD =75°－x°．
2．（2017·河南中考模拟）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC＝70°，∠2＝40°，则∠1 的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．70°
【答案】A
【解析】
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝70°，
∵∠2＝40°，
∴∠1＝70°−40°＝30°，
故选：A．
考查题型七 利用对顶角、邻补角的性质求角的度数
1．（2012·北京中考真题）如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。
由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。
由射线 OM 平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。
∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选 C。14
2．（2012·四川中考模拟）如图， ， ，点 B、O、D 在同一直线上，则 的度数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为∠1=15°，∠1+∠COB=90°所以∠COB=90°-15°=75°又∵∠2+∠COB=180°∴∠2=180°-75°=105°
故 B 正确．
3．（2018·河南中考真题）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°，则∠BOC 的度数
为_____．
【答案】140°
【解析】
∵直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC 的度数为：180°-40°=140°．
故答案为：140°．
知识点三 平行线
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线 与直线 互相平行，记作 ∥ ，读作 a 平行于 b。
平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
1 15∠ = OC OA⊥ 2∠ ( )
75 105 115 165
a b a b15
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵ ∥ ， ∥
∴ ∥
平行线的判定
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
b a c a
b c16
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的性质
性质 1：两直线平行，同位角相等；
性质 2：两直线平行，内错角相等；
性质 3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
考查题型八 利用平行线的性质求角的度数
1．（2018·辽宁中考模拟）如图，a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，若∠1=36°，则∠2 的大小为（ ）
A．34° B．54° C．56° D．66°
【答案】B17
【解析】
∵a∥b， ∴∠3=∠1=36°， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°－36°=54°，故选 B．
2．（2019·广东可园中学中考模拟）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC
于点 E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
【答案】C
【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，
∴∠DCB= ×78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选 C．
3．（2018·湖北中考真题）已知直线 a∥b，将一块含 45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置
摆放，若∠1=55°，则∠2 的度数为（ ）
1
218
A．80° B．70° C．85° D．75°
【答案】A
【详解】如图，
∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，
∴∠4=∠3+∠B=100°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=100°，
∴∠2=180°﹣∠5=80°，
故选 A．
4．（2019·重庆八中中考模拟）如图，将矩形 ABCD 沿 GH 折叠，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在 AB 边上的点 E
处，若∠AGE=32°，则∠GHC 等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【答案】D
【解析】
∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得：∠DGH= ∠DGE=74°．
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
故选 D．
1
219
5．（2019·山东中考模拟）如图，直线 被 所截，且 ，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，∵a//b，
∴∠1=∠5，∠3=∠4，
∵∠2+∠5=180°，∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，
由已知得不到 、 ，
所以正确的只有 B 选项，
故选 B.
考查题型九 判断两条直线平行
1（2017·北京中考模拟）已知：如图，直线 EF 分别与直线 AB，CD 相交于点 P，Q，PM 垂直于 EF，
∠1+∠2=90°．
求证：AB∥CD．
【答案】证明见解析.
【解析】
如图，
,a b ,c d / /a b
1 2∠ = ∠ 3 4∠ = ∠
2 4 180∠ + ∠ = 1 4 180∠ + ∠ =
2 4 180∠ + ∠ = 1 4 180∠ + ∠ = 20
∵PM⊥EF（已知），
∴∠APQ+∠2=90°（垂直定义）．
∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠APQ=∠1（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
2．（2017·盐城市大丰区万盈初级中学中考模拟）如图，已知 AB=AC=AD，且 C=2∠D，求证 AD BC．
【答案】证明见解析.
【详解】
∵
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD
∵∠C=2∠D
∴∠ABC=2∠ABD
∴∠ABD=∠CBD=∠D
∴AD∥BC
考查题型十 平行线的判定与性质的综合应用
1．（2018·江苏中考模拟）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE 平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC
的度数．
AB AC AD= =21
【答案】∠FEC=20°．
【详解】
∵AD∥BC （已知）
∴∠DAC+∠ACB=180° （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠DAC＝120° （已知）
∴∠ACB＝180°－120°=60°
∵∠ACF＝20° （已知）
∴∠BCF＝60°－20°=40°
∵CE 平分∠BCF （已知）
∴∠BCE= ∠BCF=20° (角平分线的定义)
∵EF∥AD（已知）
∴EF∥BC（平行公理的推论）
∴∠FEC=∠BCE=20° （两直线平行，内错角相等）.
2．（2019·广东华南师大附中中考模拟）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD
＝70°．
（1）求证：AB∥CD； （2）求∠C 的度数．
【答案】（2）25°
【解析】
（1）证明：
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠4=∠5=90o．
∴AE∥FG．
∴∠2=∠A．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠A．
1
222
∴AB∥CD．
（2）解：设∠3=xo，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠C=∠3=xo．
∵∠D =∠3+60°，
∴∠D = xo+60°．
∵AB∥CD
∴∠D+∠3+∠CBD=180o，
∵∠CBD=70°，
∴x+60＋x＋70＝180
∴x＝25．
∴∠C=25o．
3．（2018·重庆中考模拟）已知：如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC 于点 D，EF⊥BC 于点 F，试判断∠1 与∠2 的
关系，并说明理由．
【答案】∠1=∠2，理由详见解析.
【解析】
∠1=∠2，
理由：
∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
CDG B∠ = ∠∵ ，
1 BAD∴∠ = ∠
AD BC EF BC⊥ ⊥∵ ，
2 BAD∴∠ = ∠
1 2∠ ∠∴ =23
4．（2017·重庆中考模拟）如图 AF//DE，点 B、C 在线段 AD 上，连接 FC、EB，且∠E=∠F，延长 EB 交 AF
于点 G.
（1）求证：BE//CF
（2）若 CF=BE，求证：AB=CD
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）∵AF//DE
∴∠AGB=∠E
又∠E=∠F
∴∠AGB=∠F，
∴BE//CF
（2）∵BE//CF
∴∠DBE=∠ACF
∵∠E=∠F, CF=BE，
∴ΔACF≌ΔDBE，
∴AC=BD，
∴AB=CD.
考查题型十一 利用作辅助线的方法解决平行线的相关问题
1．（2019·贵州中考模拟）如图所示，直线 a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3 的度数为（ ）24
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A
【解析】
详解：
∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∵∠2=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故选：A．
2．（2019·山东省临沂实验中学中考模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
【答案】B
【解析】
过 E 作 EF∥AB，求出 AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求
出答案．
解：25
过 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC 为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选 B．
3．（2019·四川中考模拟）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F，则∠DFB=
（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【答案】B
【详解】
如图，过点 E 作 EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．26
∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于 F，
∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的 BFDE 的内角和为 360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故选 B．
4．（2019·广东中考模拟）如图，在平行线 l1、l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别
在直线 l1、l2 上，若∠l=65°，则∠2 的度数是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【详解】
如图，过点 C 作 CD∥a，则∠1=∠ACD，
∵a∥b，
∴CD∥b，
∴∠2=∠DCB，
∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=25°，
故选 A．
5．（2018·山东中考模拟）如图，AB∥CD，图中 α，β，γ 三角之间的关系是（ ）
1
227
A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360°
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，延长 AE 交直线 CD 于 F，
∵AB∥CCD，
∵∠AFD=∠β−∠γ，
故选 C.
考查题型十二 平行线在实际问题中的应用
1．（2018·河北中考真题）如图，快艇从 P 处向正北航行到 A 处时，向左转 50°航行到 B 处，再向右转 80°
继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东 30° B．北偏东 80° C．北偏西 30° D．北偏西 50°
【答案】A
【详解】如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
180AFDα∴∠ + ∠ = ，
180α β γ∴∠ + ∠ − ∠ = ，28
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东 30°，
故选 A．
2．（2019·河北中考模拟）如图，要修建一条公路，从 A 村沿北偏东 75°方向到 B 村，从 B 村沿北偏西 25°
方向到 C 村．若要保持公路 CE 与 AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【答案】A
【详解】
解：如图：
由题意可得： ， ，
故 ，
AN / /FB EC / /BD
NAB FBD 75∠ ∠= = 29
，
，
则 ．
故选 A．
3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，小明从 A 处出发沿北偏东 60°方向行走至 B 处，又沿北偏西 20°方向
行走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A．右转 80° B．左转 80° C．右转 100° D．左转 100°
【答案】A
【详解】
60°+20°=80°．由北偏西 20°转向北偏东 60°，需要向右转．
故选 A．
知识点四 图形平移
平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平
移)，平移不改变物体的形状和大小。
平移的性质：
1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
3、连接各组对应点的线段平行且相等。
作平移图形的一般步骤：
1、确定平移的方向和距离。
2、确定图形的关键点。
3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。
CBF 25∠ = ∵
CBD 100∠∴ =
ECB 180 100 80∠ = − = 30
4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。
【典型例题】
1．（2017·湖北中考模拟）线段 CD 是由线段 AB 平移得到的。点 A（－2，1）的对应点为 C（3，1），点 B
（－1，0）的对应点 D 的坐标为( )
A．（4，0） B．（－5，0） C．（－1，3） D．（－1，－3）
【答案】D
【解析】试题解析：点 A（-2，1）的对应点为 C（3，1），可知横坐标由-2 变为 3，向右移动了 5 个单位，
纵坐标不变， 于是 B（-1，0）的对应点 D 的横坐标为-1+5=4，点 D 的纵坐标不变， 故 D（4，0）． 故选
A．
2．（2012·河北中考模拟）．如图所示，半圆 AB 平移到半圆 CD 的位置时所扫过的面积为（ ）
A．3 B．3＋
C．6 D．6+
【答案】C
【解析】
连接 CD．
由图示可知：
扫过的面积等于矩形 ABCD 的面积，即 S=|1-（-1）|×|2-（-1）|=2×3=6．
故选 C．
3．（2019·浙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第一象限，点 A 的坐标是（4，3），把△ABC
向左平移 6 个单位长度，得到△A1B1C1，则点 B1 的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2）
【答案】C31
【详解】
根据点的平移的规律：向左平移 a 个单位，坐标 P（x，y）⇒P（x﹣a，y），据此求解可得．
∵点 B 的坐标为（3，1），
∴向左平移 6 个单位后，点 B1 的坐标（﹣3，1），
故选 C
考查题型十三 利用图形平移的性质解决周长问题
1．（2018·河北中考模拟）如图，将△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是 16cm，那么四边
形 ABFD 的周长是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm
【答案】C
【解析】
已知，△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF，根据平移的性质得到 EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE 的周长为
16cm，所以 AB+BC+AC=16cm，则四边形 ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选 C．
2．（2014·广东中考模拟）如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF，则四边形 ABFD
的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
解：根据题意，将周长为 8 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选 C．
3．（2018·四川中考模拟）如图，△ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点 D 在 AC 上，DC=4cm，将线段 DC 沿 CB 方32
向平移 7cm 得到线段 EF，点 E、F 分别落在边 AB、BC 上，则△EBF 的周长是（ ）cm．
A．7 B．11 C．13 D．16
【答案】C
【详解】
∵将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF 的周长为：4+4+5=13（cm）．
故选 C．
4．（2018·天津中考模拟）如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位长度得到 ，则四边形
的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
根据题意，将周长为 8 个单位的△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选 C．
5．（2012·山东中考模拟）如图，将边长为 4 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 2 个单位得到△DEF，则
DEF∆
ABFD33
四边形 ABFD 的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】
此题考查图形的平移问题，平移只改变位置，不改变图形中线段和角的大小；由已知得：
AB = AC = DF = 4,AD = CF = 2,BE = 2⇒ABFD 周长 = AB + AD + BC + CF + DF = 16，所以选 B
考查题型十四 利用图形平移的思想解决面积问题
1．（2019·河北中考模拟）如图，将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC 的面积
为 9，阴影部分三角形的面积为 4．若 AA'=1，则 A'D 等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
如图，
∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且 AD 为 BC 边的中线，
2
3
3
234
∴S△A′DE= S△A′EF=2，S△ABD= S△ABC= ，
∵将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则 ，即 ，
解得 A′D=2 或 A′D=- （舍），
故选 A．
2．（2018·广西中考模拟）如图，将△ABC 沿着点 B 到 C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=10，DO=4，平移
距离为 6，则阴影部分面积为（ ）
A．42 B．96 C．84 D．48
【答案】D
【详解】
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S 四边形 ODFC=S 梯形 ABEO= （AB+OE）•BE= （10+6）×6=48．
故选 D.
3．（2018·江西中考模拟）如图，将一个 Rt△ABC 沿着直角边 CA 所在的直线向右平移得到 Rt△DEF，已知
BC=a，CA=b，FA= b；则四边形 DEBA 的面积等于（ ）
A． ab B． ab C． ab D．ab
【答案】C
1
2
1
2
9
2
2 A DE
ABD
SA D
AD S
′′ =
（ ）
2 2
91
2
A D
A D
′ =′ +（ ）
2
5
1
2
1
2
1
3
1
3
1
2
2
335
【详解】
由题意可得：FD=CA=b，BC=EF=a.
∴AD＝FD−FA＝b− b＝ b，
∴四边形 DEBA 的面积等于 AD•EF= ab，
故选 C．
4．（2019·天津中考模拟）如图，A，B 的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段 AB 平移至 A1B1，连接 BB1，
AA1，则四边形 ABB1A1 的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由 B 点平移前后的纵坐标分别为 1、2，可得 B 点向上平移了 1 个单位，
由 A 点平移前后的横坐标分别是为 2、3，可得 A 点向右平移了 1 个单位，
由此得线段 AB 的平移的过程是：向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，
所以点 A、B 均按此规律平移，由此可得 a=0+1=1，b=0+1=1，
连接 A1B，则 A1B//OA，BA1=3，
所以 = =3，
故选 B.
5．（2018·河北中考模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片 边长为 重合在一起，下面一张保持不
动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移 a 个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是
1
3
2
3
2
3
11 1
2 ABAABB AS S=
四边形
1 13 1 3 12 2
× × + × ×
( 2a)
( )36
A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：1
【答案】C
【详解】
解：正六边形的面积 ，
阴影部分的面积 ，
空白部分与阴影部分面积之比是 ： ：1，
故选 C．
2 236 (2a) 6 3a4
= × × =
2a 2 3a 2 3a= ⋅ =
∴ 26 3a= 22 3a 3=
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