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专题 10 二次根式
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 二次根式的有关概念和性质
二次根式概念：一般地，我们把形如 （≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
【注意】
1.二次根式 ，被开方数 a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。2
2.二次根式 是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系， （≥0）就表示 a 的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式
有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的性质：
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当 a≧0 时，
考查题型一 利用二次根式非负性解题
1．（2013·四川中考真题）已知实数 x，y，m 满足 ，且 y 为负数，则 m 的取值范围
是（ ）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
【答案】A
【解析】
根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得： ，解得： 。
∵y 为负数，∴6﹣m＜0，解得：m＞6。
x 2 | 3x y m | 0+ + + + =
x 2{y 6 m
= −
= −3
故选 A。
2．（2016·四川中考真题）若 +b2﹣4b+4=0，则 ab 的值等于（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：由 ，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得 a=1，b=2．ab=2．故选 D．
3．（2012·湖北中考真题）若 与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．27
【答案】D
【解析】
依题意得 .
∴x＋y＝27.
故选 D.
考查题型二 判断二次根式有意义的取值范围
1．（2013·四川中考真题）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【解析】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，要使 在实数范围内有意义，必须
且 x≠1。故选 D。
2．（2018·内蒙古中考真题）代数式 中 x 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
1a −
21 4 4 0a b b− + − + =
2 9x y− +
2 9 3 0x y x y− + + − − =
2 9 0, 15
3 0, 12.
x y x
x y y
，解得
− + = = ∴ − − = =
13 1x x
− + −4
【详解】
由题意，得：3﹣x≥0 且 x﹣1≠0，解得：x≤3 且 x≠1，在数轴上表示如图：
．
故选 A．
3．（2018·山东中考真题）若式子 有意义，则实数 m 的取值范围是
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【详解】
由题意可知：
∴m≥﹣2 且 m≠1
故选 D．
考查题型三 根据二次根式性质进行化简
1．（2012·湖南中考真题）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果
为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】
试题分析：利用数轴得出 a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故选 C．
2．（2016·山东中考真题）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )
2
m 2
(m 1)
+
− ( )
m 2> − m 2> − m 1≠
m 2≥ − m 2≥ − m 1≠
2 0
1 0
m
m
+ ≥
− ≠
2a a b− +
( )2a a b a a b b− + = − + + =
2( )a b+5
A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A
【详解】
由图可知： ，
∴ ，
∴ .
故选 A.
3．（2011·北京中考真题）如果 ，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质 1 可知： ，即 故答案为 B. .
4．（2015·湖北中考真题）当 1＜a＜2 时，代数式 ＋|1－a|的值是( )
A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a
【答案】B
【解析】
试题解析：∵1＜a＜2，
∴ =|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1，
∴ +|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1．
故选 A．
5．（2011·四川中考真题）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题解析：由 ，得
0 0a b< >，
+ 0a b <
2( + ) - 2 -a a b a b a a b+ = − − = −
2( 2)a −
2( 2)a −
2( 2)a −
2 5 5 2 3y x x= − + − − 2xy
15− 15 15
2
− 15
2
2 5 5 2 3y x x= − + − −6
，解得 ．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选 A．
知识点二 二次根式的运算
二次根式的乘法法则:
【注意】
1、要注意 这个条件，只有 a，b 都是非负数时法则成立。
:
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√)^2=（≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二
次根式化简。
二次根式的除法法则：
【注意】
1、要注意 这个条件，因为 b=0 时，分母为 0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑 a、b 的正负性，直接得 是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
二次根式的特点：
1.被开方数不含分母，例： ；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。
【二次根式运算中的注意事项】
一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进
行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
2 5 0{5 2 0
x
x
− ≥
− ≥
2.5{ 3
x
y
=
= −7
二次根式比较大小：
1、若 ，则有 ；
2、若 ，则有 ．
3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
考查题型四 二次根式化简的方法
1．（2016·甘肃中考真题）下列根式中是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
A． = ，故此选项错误；
B． 是最简二次根式，故此选项正确；
C． =3，故此选项错误；
D． = ，故此选项错误；
故选 B．
2．（2018·甘肃中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
A、 不是最简二次根式，错误；
B、 是最简二次根式，正确；
C、 不是最简二次根式，错误；
D、 不是最简二次根式，错误，
( )
2
3 3 9 12
2
3
6
3
3
9
12 2 3
( )
18 13 27 12
18 3 2=
13
27 3 3=
12 2 3=8
故选 B．
3．（2011·广东中考真题）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
A、 = ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故 A 选项错误；
B、 = ，被开方数为小数，不是最简二次根式；故 B 选项错误；
C、 ，是最简二次根式；故 C 选项正确；
D． = ，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故 D 选项错误；
故选 C．
考查题型五 二次根式乘除运算的方法
1．（2015·安徽中考真题）计算 × 的结果是（ ）
A． B．4
C． D．2
【答案】B
【解析】
试题解析： .故选 B.
2.（2013·海南中考真题）下列各数中，与 的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据实数运算的法则对各选项进行逐一计算作出判断：
A、 ，是无理数，故本选项错误；
B、 ，是无理数，故本选项错误；
C、 ，是有理数，故本选项正确；
D、 ，是无理数，故本选项错误。
1
5 0.5 5 50
1
5
5
5
0.5 2
2
5
50 5 29
故选 C。
3．（2018·江苏中考真题）计算： =_____．
【答案】2
【详解】
= =2，故答案为：2.
4.（2018·湖南中考真题） ________.
【答案】6
【详解】
原式=2 × =6．故答案为：6．
5．（2019·安徽中考真题）计算 的结果是__________.
【答案】3
【详解】
解： ，故答案为 3
6．（2015·广西中考真题）计算： _________.
【答案】
【解析】
试题分析：原式= = =3．故答案为 3．
7.（2016·山东中考真题）计算： = ．
【答案】12
【解析】
试题分析：直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
=3 × ÷ =3 =12．
1 82
×
1 82
× 1 82
×
12 3=×
3 3
18 2÷
18 2= 9=3÷
1 27=3
×
1 273
× 910
考察题型六 二次根式加减运算的方法
1．（2018·山东中考真题） 与最简二次根式 5 是同类二次根式，则 a=_____．
【答案】2
【解析】
详解：∵ 与最简二次根式 5 是同类二次根式，且 =2 ，
∴a+1=3，解得：a=2．
故答案为 2．
2．（2019·江苏中考真题）计算： ．
【答案】
【解析】
3．（2018·黑龙江中考真题）计算 6 ﹣10 的结果是_____．
【答案】
【解析】
原式=6 -10× =6 -2 =4 ，
故答案为 4 ．
4．（2018·辽宁中考真题）计算： ﹣ =__．
【答案】
【解析】
详解：原式=3 -2
= ．故答案为 ．
5．（2018·湖北中考真题）计算 的结果是_____
【答案】
【详解】
12 1a +
12 1a + 12 3
5 1
5
4 5
5 5
5 5 5 5
5
27 12
3
3 3
3 3
( 3 2) 3+ −
2
( )3 2 3+ −11
=
= ，
故答案为： .
考查题型七 分母有理化的方法
1．（2015·江苏中考真题）计算 的结果是 ．
【答案】5．
【详解】
.
故答案为 5.
2．（2019·江苏中考真题）计算 的结果是_____________．
【答案】0
【详解】
解：原式＝2 -2 ＝0．
故答案为 0．
3．（2015·湖南中考真题）把 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根号）。
【答案】2
【解析】
首先将其进行分母有理数，然后再进行二次根式求和.原式= = + =2 .
4．（2019·山东中考真题）计算： ＝___________．
【答案】
【详解】
3 2 3+ −
2
2
5 15
3
×
5 15 5 15 533
× ×= =
14 28
7
−
7 7
024 8 ( 3)
2
+ −
2 3 1+12
.
故答案为 .
考查题型八 二次根式混合运算
1．（2019·山东中考真题）计算： _________．
【答案】
【详解】
解：原式 ，
故答案为： ．
2．（2015·辽宁中考真题）计算 的值是__．
【答案】 ﹣1
【详解】
原式= = ．
故答案为 ．
3．（2015·内蒙古中考真题）计算： = ．
【答案】8．
【解析】
原式= =9﹣1=8，故答案为 8．
4．（2015·山东中考真题）计算（ + ）（ ﹣ ）的结果为 ．
【答案】﹣1
【解析】
此题是整式的乘法运算，其符合平方差公式 ，因此根据公式可直接计算，
.
考查题型九 二次根式化简求值的方法
024 8 ( 3) 2 3 2 1 2 3 1
2
+ − = + − = +
2 3+1
21 3 1| 3 2 |2 2 18
− − − − + ÷ =
2 4 3+
4 2 3 3 3 2 4 3= − + + = +
2 4 3+
2(1 2) 18− +
4 2
2 1 3 2− + 4 2 1−
4 2 1−
1( 27 ) 33
− ×
127 3 33
× − ×13
1．（2014·四川中考真题）已知 ，则 x12+x22= ．
【答案】10．
【解析】
∵ ，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2= ．
2．（2019·山东中考真题）已知 ，那么 的值是_____．
【答案】4
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4
3．（2016·湖北中考真题）当 a= ﹣1 时，代数式 的值是 ．
【答案】
【解析】
∵a= ﹣1， ∴a+b= +1+ ﹣1=2 ，a﹣b= +1﹣ +1=2，
∴ = = = ；
4．（2015·吉林中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，5．
【解析】
式= = ，
当 时，原式=6﹣1=5．
考查题型十 二次根式比较大小的方法
6 2x = + 2 2 2x x−
6 2x = +
2 6x − =
( ) ( )2 2
2 6x − =
2 2 2 2 6x x− + =
2 2 2 4x x− =14
1．（2018·河南中考模拟）比较大小：2 ____3 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
详解：∵ ， ∴ ．
2．（2019·陕西中考模拟）比较大小：5 _____ ．
【答案】＞
【详解】
解：∵5 =
∴5
故答案为＞．
3．（2019·陕西中考模拟）比较大小： ______ ．
【答案】
【详解】
， ，
，
故答案为： ．
5 2
2 5 20 3 2 18 20 18= = >， ， 2 5 3 2>
2 13
2 50
2 13＞ ．
2 5− 3 2−
<
2 5 20− = − 3 2 18− = −
2 5 3 2∴− < −
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