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专题 14 反比例函数
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 反比例函数的基础
反比例函数的概念：一般地，形如y = k
x（k为常数，k ≠ o）的函数称为反比例函数。
表现形式：y = k
x还可以写成y = kx - 1 和 xy= k 的形式
【注意】反比例函数y = k
x的自变量 x≠0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点。
1．（2018·湖北襄阳七中初三月考）下列函数中，是反比例函数的是( )
A．y＝k
x B．3x＋2y＝0 C．xy－ 2＝0 D．y＝ 2
x + 1
【详解】
解：A、k≠0 时，y=k
x是反比例函数，故此选项错误；
B、3x+2y=0，可变形为 y= - 3
2x，是正比例函数，不是反比例函数，故此选项错误；
C、xy- 2=0 可变形为 y= 2
x 是反比例函数，故此选项正确；
D、y= 2
x - 1分母是 x-1，不是反比例函数，故此选项错误．2
故选：C．
2．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）下列函数是反比例函数的是（ ）
A．y = k
x B． C．y = 2x-1 D．y=-x+5
【详解】
A 选项中，当k = 0时不是反比例函数，故该选项错误.
B 选项中， 是正比例函数，故该选项错误.
C 选项中，y = 2x-1是反比例函数，故该选项正确.
D 选项中，y=-x+5 是一次函数，故该选项错误.
故选 C
反比例函数解析式的特征:
1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分
母中含有自变量x，且指数为 1.
2.比例系数k ≠ 0
3.自变量x的取值为一切非零实数。
4.函数y的取值是一切非零实数。
考查题型一 根据反比例函数概念求参数值的方法
1．（2019·黑龙江八五八农场学校初二期末）函数的图象y = (m + 1)xm2-2是双曲线，则 m
的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【详解】
解：∵函数y = (m + 1)xm2-2的图象是双曲线，
∴{ m + 1 ≠ 0
m2 - 2＝ - 1，解得 m=1．
故选：C．
2．（2019·莱芜市寨里镇寨里中学初三期中）若函数＝（m+1）x|m|﹣2 是反比例函数，则
＝（ ）
A．±1 B．±3 C．﹣1 D．1
【详解】
∵函数=（m+1）x|m|﹣2 是反比例函数，∴|m|﹣2=﹣1，解得：m=±1．
∵m+1≠0，∴m≠－1，∴m=1．
2
3
xy =
2
3
xy =3
故选 D．
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：
1） 设反比例函数的解析式为y = k
x（k 为常数，k≠0）
2） 把已知的一对 x，y 的值带入解析式，得到一个关于待定系数 k 的方程。
3） 解方程求出 k 值
4） 将 k 值代入所设解析式中。
考查题型二 待定系数法求反比例函数解析式
1．（2019·明光市鲁山中学初三月考）函数y = k
x的图象经过点(2,3)，那么k等于（ ）
A．6 B．1
6 C．2
3 D．3
2
【详解】
∵函数 y=k
x的图象经过点(2,3)，
∴点(2,3)满足 y=k
x，
∴3=k
2，
解得，k=6.
故选 A.
2．（2019·芜湖市期中）下列各点中，在函数 y=-6
x图象上的是（ ）
A． B．(2,3) C．( -1,6) D．( - 1
2,3)
【详解】
A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D．∵( - 1
2)×3＝－3
2≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选 C.
3．（2019·江苏初三月考）反比例函数 y＝k
x图象经过 A（1，2），B（n，﹣2）两点，则 n＝
（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【详解】
( )2, 4− −4
解：∵反比例函数 y＝k
x 图象经过 A（1，2），B（n，﹣2）两点，
∴k＝1×2＝﹣2n．
解得 n＝﹣1．
故选：C．
4．（2019·黑龙江中考模拟）若反比例函数y = k + 3
x 的图像经过点(3, - 2)，则k的值为（ ）
A． -9 B．3 C． -6 D．9
【详解】
把点(3, - 2)代入y = k + 3
x ，可得 -2 = k + 3
3 ，解得：k=-9.
故选：A
知识点二 反比例函数的图像和性质（基础）
图像的画法：描点法
1.列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2.描点（由小到大的顺序）
3.连线（从左到右光滑的曲线）
图像的特征：
1.函数的图像是双曲线．
2.图像的对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上．
图象关于直线 y = x 或 y= -x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ，
）在双曲线的另一支上．
3.k 的取值与函数图象弧度之间的关系：
|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．
反比例函数的性质：
k的取值 图像所在象限 函数的增减性
k>0 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小
k>0 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不
能一概而论
考查题型三 反比例函数图形特征与性质
1．（2018·安岳县期中）反比例函数y = - k2
x （k为常数，k ≠ 0）的图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限5
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【解析】
∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数y = - k2
x （k 为常数，k≠0）的图象位于第二、
四象限．故选 C．
2．（2018·深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）已知反比例函数 ，下列结论正
确的是（ ）
A．y值随着x值的增大而减小 B．图象是双曲线，是中心对称图形
C．当 x＞1 时，0＜ y＜1 D．图象可能与坐标轴相交
【详解】
A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故
本选项错误；
B、反比例函数 的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确；
C、当 x＞1 时，y 0 时反比例函数的图象在第一、三象限，
当 k -1 C．k < 1 D．k > 1
【详解】
∵ 函数y = k + 1
x 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，
∴ k + 1 < 0
解得：k < -1
故选：A
7．（2018·河南中考模拟）若点 A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y=2k2 + 3
x
（k 为常数）的图象上，则 y1，y2，y3 大小关系为（ ）
A．y1＞y2 ＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【详解】
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2x x<
1 2x x< 1 2y y＞7
∵2k2 +3 ≻ 0，
∴反比例函数 y=2k2 + 3
x 的图象在一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴A（﹣6，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，C（3，y3）在第一象限，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y3＞y1＞y2.
故选 D.
8．（2019·芜湖市期中）若反比例函数 y＝1 - 2k
x （k 为常数）的图象在第一、三象限，则 k
的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1
2 B．k＜1
2 C．k＞﹣1
2 D．k＞1
2
【详解】
∵反比例函数 y＝1 - 2k
x （k 为常数）的图象在第一、三象限，
∴1﹣2k＞0，
解得 k＜1
2．
故选：B．
知识点三 k 值的意义（难点）
1）设点 P（a，b）是双曲线上y = k
x任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点，PB⊥y 轴于 B 点，则矩形 PBOA
的面积是|k|（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是|k|
2 ）．
2）由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则
有三角形 PQC 的面积为 2|k|．8
考查题型四 计算反比例函数有关图形面积的方法
1．（2019·四平市期末）如图，A、B 是曲线y = 3
x(x > 0)上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y
轴作垂线段，若S阴影 = 1，则 S1+S2 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】
解：∵A、B 是曲线y = 3
x上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，
∴S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=3，
又∵S 阴影=1，
∴S1=S2=3-1=2，
∴S1+S2=4．
故选：B．
2．（2018·南京市期中）在反比例函数y = 4
x的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】9
解：A、图形面积为|k|=4；
B、阴影是梯形，面积为 6；
C、D 面积均为两个三角形面积之和，为 2×（1
2|k|）=4．
故选 B．
3)直线 y=k1x 与双曲线 的关系：
当 k1•k20 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点
成中心对称．
考察题型五 一次函数与反比例函数综合
1．（2018·射阳县期末）关于 x 的函数 y＝kx＋k 和 y＝k
x (k≠0)在同一坐标系中的图象大致
是 ( )
A． B． C． D．
【详解】
当 k＞0 时，函数 y=kx+k 的图象在第一、二、三象限，反比例函数 y=k
x的图象在第一、三象
限，故选项 A 错误，选项 D 正确，
当 k＜0 时，函数 y=kx+k 的图象在第二、三、四象限，反比例函数 y=k
x的图象在第二、四象
限，故选项 B 错误，选项 C 错误，
故选 D．
2．（2018·自贡市期中）反比例函数 y=k
x和一次函数 y=kx-k 在同一坐标系中的图象大致是
( )
A． B．
C． D．
【详解】10
（1）当 k＞0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，
如图所示：
（2）当 k＜0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如
图所示：
故选 C．
3．（2018 邵阳市中考模拟）在同一直角坐标系中，函数y = k
x(k ≠ 0)与y = kx + k(k ≠ 0)
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
A、由反比例函数的图像可知 k＞0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴，y 随 x 增大
而增大，故不正确；
B、由反比例函数的图像可知 k＜0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴，y 随 x 增大
而减小，故不正确；
C、由反比例函数的图像可知 k＞0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴，y 随 x 增大
而增大，故正确；11
D、由反比例函数的图像可知 k＜0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴，y 随 x 增大
而减小，故不正确.
故选：C.
4．（2018·湖北中考模拟）如图，已知 A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图
象与反比例函数y = m
x 的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积；
（3）求方程kx + b - m
x ≺ 0的解集（请直接写出答案）．
【详解】
（1）∵B（2，﹣4）在 y=m
x上，
∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为 y=﹣8
x．
∵点 A（﹣4，n）在 y=﹣8
x上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b 经过 A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴{ -4k + b = 2
2k + b = -4 ，
解之得{k = -1
b = -2．
∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣2．
（2）∵C 是直线 AB 与 x 轴的交点，
∴当 y=0 时，x=﹣2．
∴点 C（﹣2，0）．12
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=1
2×2×2+1
2×2×4=6．
（3）不等式kx + b - m
x < 0的解集为：﹣4＜x＜0 或 x＞2．
知识点四 用反比例函数解决实际问题
解题步骤：
1.根据题意找等量关系。
2.列出方程，并注明自变量的取值范围。
3.解方程
4.写方程
考察题型六 数形结合
1．（2019·南昌市期中）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）是电阻 R（Ω）
的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当 R=10Ω 时，求电流 I（A）．
【详解】
解：（1）由电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，设 （k≠0），
把（4，9）代入得：k=4×9=36，
∴I = 36
R ．
（2） 当 R=10Ω 时，I = 36
10=3.6A．
考察题型七 建模思想
1.（2016·广东中考真题）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速度用
了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函
数关系是（ ）
A．v=320t B．v=320
t C．v=20t D．v=20
t
【详解】
kI R
=13
由题意 vt=80×4，
则 v=320
t ．
故选 B．
2.（2019 宝安区中考模拟）如果等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，
则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝10
x B．y＝5
x C．y＝20
x D．y＝ x
20
【详解】
∵等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，
∴ 1
2xy = 10，
∴y 与 x 的函数关系式为：y = 20
x ．
故选 C．
3.（2019·连云港市期中）强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机
场，全程为 280km，设小汽车的行驶时间为 t（单位：h），行驶速度为 v（单位：km/h），且
全程速度限定为不超过 120km/h．
（1）求 v 关于 t 的函数解析式；
（2）强哥上午 8 点驾驶小汽车从如皋火车站出发．
①乘客需在当天 10 点 48 分至 11 点 30 分（含 10 点 48 分和 11 点 30 分）间到达南京绿口机
场，求小汽车行驶速度 v 的范围；
②强哥能否在当天 10 点前到达绿口机场？说明理由．
【详解】
解：（1）∵vt＝280，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时，
∴v 关于 t 的函数表达式为：v＝280
t ，（t≥7
3）．
（2）①8 点至 10 点 48 分时间长为14
5 小时，8 点至 11 点 30 分时间长为 3.5 小时
将 t＝3.5 代入 v＝280
t 得 v＝80；将 t＝14
5 代入 v＝280
t 得 v＝100，
∴小汽车行驶速度 v 的范围为：80≤v≤100；
②强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场．理由如下：
8 点至 10 点前时间长为 2 小时，将 t＝2 代入 v＝280
t 得 v＝140＞120 千米/小时，超速了．
故强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场．14
考察题型八 反比例函数与其他函数相结合解决实际问题
1.（2019·文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工
厂自 2019 年 1 月开始限产并进行治污改造，其月利润y (万元)与月份x之间的变化如图所示，
治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误
的是（ ）
A．4 月份的利润为50万元
B．污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9 月份该厂利润达到200万元
【详解】
设反比例函数解析式为y = k
x(x ≠ 0)
根据题意，图像过点（1,200），则可得出y = 200
x (x ≠ 0)
当x = 4时，y = 50，即 4 月份的利润为50万元，A 选项正确；
设一次函数解析式为
根据题意，图像过点（4,50）和（6,110）
则有{ 4k + b = 50
6k + b = 110
解得{ k = 30
b = -70
∴一次函数解析式为y = 30x - 70，其斜率为 30，即污改造完成后每月利润比前一个月增
加30万元，B 选项正确；
治污改造完成前后，1-6 月份的利润分别为 200 万元、100 万元、200
3 万元、50 万元、110 万
元，共有 3 个月的利润低于100万元，C 选项错误；
9 月份的利润为30 × 9 - 70 = 200万元，D 选项正确；
故答案为 C.
2.（2015·河北中考模拟）已知反比例函数 y=k
x的图象如图，则二次函数 y=2kx2-4x+k2 的图
y kx b= +15
象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
∵函数 y= 的图象经过二、四象限，∴k＜0，
由图知当 x=﹣1 时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，
∴抛物线 y=2kx2﹣4x+k2 开口向下，
对称为 x=﹣ = ，﹣1＜ ＜0，
∴对称轴在﹣1 与 0 之间，
故选：D．
3.（2018·安丘市期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物
燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间 x（分钟）成
正比例，药物燃尽后，y 与 x 成反比例（如图所示）．已知药物点燃后 4 分钟燃尽，此时室
内每立方米空气中含药量为 8 毫克．
（1）求药物燃烧时，y 与 x 之间函数的表达式；
（2）求药物燃尽后，y 与 x 之间函数的表达式；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 2 毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，
那么此次消毒有效时间有多长？16
【详解】
（1）药物燃烧时，设 y=kx，
将（4，8）代入，得：8=4k，
解得 k=2，
则 y=2x；
（2）药物燃尽后，设 y=m
x，
将（4，8）代入，得：8=m
4，
解得：m=32，
则 y=32
x ；
（3）在 y=2x 中，当 y=2 时，2x=2，解得 x=1；
在 y=32
x 中，当 y=2 时，32
x =2，解得 x=16；
则此次消毒有效时间为 16﹣1=15 分钟．
考察题型九 反比例函数与几何知识相结合解决问题
1．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC
与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 4，2，反比例函数 y = k
x（x＞0）的图象经过 A，B
两点，若菱形 ABCD 的面积为 2 5，则 k 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【详解】
过点 A 作 x 轴的垂线，交 CB 的延长线于点 E，17
∵A，B 两点在反比例函数 y = k
x（x＞0）的图象，且纵坐标分别为 4，2，
∴A（k
4，4），B（k
2，2），
∴AE＝2，BE = 1
2k - 1
4k = 1
4k，
∵菱形 ABCD 的面积为 2 5，
∴BC×AE＝2 5，即 BC = 5，
∴AB＝BC = 5，
在 Rt△AEB 中，BE = AB2 - AE2 = 1
∴1
4k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
2.（2018·江苏中考模拟）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，﹣4），
顶点 C 在 x 轴的正半轴上，函数 y=k
x（k＜0）的图象经过点 B，则 k 的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣32 C．32 D．﹣36
【详解】
解：
∵O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，﹣4），顶点 C 在 x 轴的正半轴上，
∴OA=5，AB∥OC，
∴点 B 的坐标为（8，﹣4），
∵函数 y=k
x（k＜0）的图象经过点 B，18
∴﹣4=k
8，得 k=﹣32.
故选 B.
3．（2017·德州市期末）如图，已知双曲线y = k
x(k < 0)经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中
点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为（ -6，4），则△AOC 的面积为
A．12 B．9 C．6 D．4
【解析】
∵点A( - 6,4)，D是OA中点
∴D点坐标( - 3,2)
∵D( - 3,2)在双曲线y = k
x(k < 0)上，代入可得2 = k
-3
∴k = -6
∵点C在直角边AB上，而直线边AB与x轴垂直
∴点C的横坐标为-6
又∵点C在双曲线y = -6
x
∴点C坐标为( - 6,1)
∴AC = ( - 6 + 6)2 + (1 - 4)2 = 3
从而SΔAOC = 1
2 × AC × OB = 1
2 × 3 × 6 = 9，故选 B
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