第二十二章《二次函数》单元测试卷
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y=x﹣3 B. y=x2﹣（x+1）2 C. y=x（x﹣1）﹣1 D. y=1x2
2．抛物线y=﹣x2不具有的性质是（ ）
A. 对称轴是y轴 B. 开口向下
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 顶点坐标是（0，0）
3．已知抛物线过， 两点，则下列关系式一定正确的( )
A. B. C. D.
4．对于二次函数y=(x-3)2-4的图像，给出下列结论:①开口向上;②对称轴是直线x=-3;③顶
点坐标是(-3,-4);④与x轴有两个交点.其中正确的结论是( )
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④
5．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1，则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
6．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7．抛物线y＝x2＋x－1与x轴的交点的个数是（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
8．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. -3,-6 B. -3,0 C. -3,-5 D. -3,-1
9．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
-2
-1
0
1
2
y
8
3
0
-1
0
则抛物线的顶点坐标是( )
A. (-1,3) B. (0,0) C. (1,-1) D. (2,0)
10．当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A. -1 B. 2 C. 0或2 D. -1或2
11．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：
①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
12．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图象经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( )
A. y＝－(x－1)2－5 B. y＝2(x－1)2－14
C. y＝－(x＋1)2＋5 D. y＝－(x－2)2＋20
二、填空题
13．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣32t2．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m．
14．抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．
15．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________
16．若二次函数y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点，则c的最大值是________.
17．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是____________________
三、解答题
18．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O
A′B′的面积．
19．传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=34x(0≤x≤6)20x+80(6y2时，请直接写出x的取值范围．
21．已知抛物线：y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该抛物线与x轴总有两个公共点；
（2）设该抛物线与x轴相交于A、B两点，则线段AB的长度是否与a、m的大小有关系？若无关系，求出它的长度；若有关系，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，当△ABC的面积等于1时，求a的值.
22．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，14），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
参考答案
1．C2．C3．C4．D5．D6．B7．B8．B9．C10．D11．B12．D
13．216
14．（﹣2，4）．
15．0或4
16．－3
17．64m2
18．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
19．（1）李明第10天生产的粽子数量为280只.（2）第13天的利润最大，最大利润是578元.
【解析】分析：（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答.
详解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x+80=280，
解得x=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．
（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；
当10≤x≤20时，设P=kx+b，
把点（10，2），（20，3）代入得，
10k+b＝220k+b＝3，
解得k＝0.1b＝1，
∴p=0.1x+1，
①0≤x≤6时，w=（4-2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；
②6＜x≤10时，w=（4-2）×（20x+80）=40x+160，
∵x是整数，
∴当x=10时，w最大=560（元）；
③10＜x≤20时，w=（4-0.1x-1）×（20x+80）=-2x2+52x+240，
∵a=-3＜0，
∴当x=-b2a=13时，w最大=578（元）；
综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．
点睛：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
20．（1）y=x-3；（2）当y1>y2时，x＜0和x＞3.
【解析】分析：（1）根据抛物线的解析式求出A、B、C的解析式，把B、C的坐标代入直线的解析式，即可求出答案；
（2）根据B、C点的坐标和图象得出即可．
详解：（1）抛物线y1=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
当y=0时，x=3或1，
即A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，-3），
把B、C的坐标代入直线y2=kx+b得：
3k+b＝0b＝-3，
解得：k=1，b=-3，
即直线BC的函数关系式是y=x-3；
（2）∵B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，-3），如图，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3．
点睛：本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数与一次函数的图象等知识点，能求出B、C的坐标是解此题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）1；（3）±8
【解析】分析：（1）通过提公因式法，对函数的解析式变形，然后构成方程求解出交点的坐标即可；
（2）根据第一问的交点坐标得到AB的长，判断出AB的长与a、m无关；
（3）通过配方法得到函数的顶点式，然后根据三角形的面积公式求解即可.
详解：（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，得抛物线与x轴的交点坐标为(m,0)和(m＋1,0)．因此不论a与m为何值，该抛物线与x轴总有两个公共点．（也可用判别式Δ做）
（2）线段AB的长度与a、m的大小无关。由（1）知：A、B两点坐标分别为(m,0)、(m＋1,0)，因此AB的长度是1。
（3）由y＝a(x－m)2－a(x－m)=a(x-m-12)2-14a，得抛物线的顶点为(m+12,-14a)，
因为AB＝1，S△ABC＝12AB×-14a=1，a＝±8．
点睛：此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点和顶点问题，关键是利用数形结合思想，结合函数的图像与性质求解，有点难度，是常考题型.
22．（1）y=14（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（17，64）．（3）①证明见解析；②16.
【解析】分析：（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=14（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得BODO=DFCF，即14=x0-1y0=114(x0-1)据此求得x0的值即可得；
（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得x1+x2=4k+2x1⋅x2=4k-15，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=14（x1﹣1）2、QN=y2=14（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM•QN=DM•DN=16，即PMDN=DNQN，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=12DG•MN列出关于k的等式求解可得．
详解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=14，
所以抛物线解析式为y=14（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0=14（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴BODO=DFCF，
∴14=x0-1y0=114(x0-1)，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由y=14(x-1)2y=kx+4-k，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴x1+x2=4k+2x1⋅x2=4k-15，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=14（x1﹣1）2，QN=y2=14（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM•QN=DM•DN=16，
∴PMDN=DNQN，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
∴S△PDQ=12DG•MN=12×4×|x1﹣x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=8k2+4，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
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