第二十六章 二次函数检测题
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一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2013·兰州中考）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（1，3） C.（1，3） D.（1，3）
2.（2013·哈尔滨中考）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.（2013·吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是（ ）
A. B.＜0,＞0 C.＜0,＜0 D.＞0,＜0
第3题图
4.（2013·河南中考）在二次函数的图象上，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.1 B.1 C.-1 D.-1
5.（2013·烟台中考）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为,且过点（-3,0）,下列说法：①＜0;②;③;④若（-5,）,( ,）是抛物线上两点，则.其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
第5题图 第6题图
6.（2013·长沙中考）二次函数的图象如图所示，则下列关系式错误的
是（ ）
A. B. C. D.
7.（2013·陕西中考）已知两点（-5,）,（3,）均在抛物线上，点是该抛物线的顶点.若，则的取值范围是（ ）
A.＞-5 B.＞-1 C.-5＜＜-1 D.-2＜＜3
8.二次函数 无论取何值，其图象的顶点都在( )
A.直线上 B.直线上
C.x轴上 D.y轴上
9.已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ）
A. B. C. D.c
10.已知二次函数，当取任意实数时，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2013·成都中考）在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于两点，且点在轴左侧，点的坐标为（0,－4），连接,.有以下说法：
①；②当时，的值随的增大而增大；③当－时，；④△面积的最小值为4，其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
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12.把抛物线的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是则 .
第17题图
13.已知抛物线的顶点为 则 , .
14.如果函数是二次函数，那么k的值一定是 .
15.将二次函数化为的形式，则 ．
16.二次函数的图象是由函数的图象先向 （左、右）平移
个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的.
第18题图
17.如图，已知抛物线经过点（0,－3）,请你确定一个的值，使该抛物线与轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的的值是 ．
18.如图所示，已知二次函数的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式= .
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三、解答题（共46分）
19.（6分）已知抛物线的顶点为,与y轴的交点为求抛物线的解析式.
20.（6分）已知抛物线的解析式为
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值.
21.（8分）（2013·重庆中考）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为（3，0）.
（1）求点的坐标.（2）已知，为抛物线与轴的交点.
①若点在抛物线上，且4，求点的坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值.
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22. （8分）（2013·哈尔滨中考）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为.已知米，设抛物线解析式为.
第22题图
（1）求的值；
（2）点（-1，）是抛物线上一点，点关于原点的对称点为点，连接,,，求△的面积.
23.（8分）已知抛物线与轴有两个不同的交点．
(1)求的取值范围；
(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.
24.（10分）心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间(单位：分钟)之间满足函数关系式的值越大,表示接受能力越强.
(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力的值是多少?
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.
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1.A 解析：因为的图象的顶点坐标为,
所以的图象的顶点坐标为（1，3）.
2.D 解析：把抛物线向下平移2个单位，所得到的抛物线是，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是.
点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.
3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为,∴ 这条抛物线的顶点坐标为.观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，∴ .
4.A 解析：把配方，得.∵ -10,∴ 二次函数图象的
开口向下.又图象的对称轴是直线,∴ 当1时，随的增大而增大.
5.C 解析：本题考查了二次函数的图象和性质.
由图象开口向上，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的下方，得
∴ 故①正确.
∵ 抛物线的对称轴是直线，∴ －=－1,即，∴ ，故②正确.
∵ 抛物线上的点（－3，0）关于直线对称的点是（1，0），当时，，
根据抛物线的对称性，知当时，随的增大而增大，∴ 当x=2时，y=a+b+c>0，故③错误.抛物线上的点（－5,）关于直线x=－1对称的点的坐标是（3，），∵ 3,∴ .故④正确.故正确的说法是①②④.
6.D 解析：∵ 抛物线开口向上，∴ a＞0，∴ A项正确；∵ 抛物线与y轴的交点在x轴
上方，∴ c＞0，∴ B项正确；∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴ ＞0，∴ C项正
确；∵ 抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点在x轴下方，∴ 当x＝1时，y=a+b+c＜0,∴ D
项错误.
7.B 解析：由＞≥,知抛物线的开口只能向上.若点A，B在抛物线对称轴的左侧，
则＞3；若点B，C重合，则=3；若点A在点C的左侧，点B在点C
的右侧且点B比点A低，如图，（-5,0）和（3,0）两点连线的中点为
（-1,0），所以抛物线的顶点C应在直线x的右边，从而有-1＜
＜3.综上知＞-1.
8.B 解析：顶点为当时，故图象
顶点在直线 上.
9.D 解析：由题意可知所以所以当
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10.B 解析：因为当取任意实数时，都有,又二次函数的图象开口向上，所以图象与
轴没有交点，所以
11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.
设点A的坐标为（,）,点B的坐标为（）.
不妨设,解方程组得∴ (,-）,B（3,1）.
此时,,∴ .而=16,∴ ≠,∴ 结论①错误.
当=时，求出A(-1,-),B（6,10）,
此时()(2)=16.
由①时， ()()=16.
比较两个结果发现的值相等.∴ 结论②错误.
当-时，解方程组得出A（-2，2）,B（，-1）,
求出12,2,6,∴ ,即结论③正确.
把方程组消去y得方程,∴ ,.
∵ =·||OP·||=×4×||
=2=2,
∴ 当时，有最小值4，即结论④正确.
12.11 解析：
把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得
即 ∴
∴ ∴
13.-1 解析： 故
14. 0 解析：根据二次函数的定义，得，解得.又∵ ，∴ ．∴ 当时，这个函数是二次函数．
15. 解析：
16.左 3 下 2 解析：抛物线是由先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.
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17.（答案不唯一） 解析：由题意可知要想抛物线与轴的一个交点在（1,0）和（3，0）之间，只需异号即可，所以
18. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点代入中，得
，，∴ .
由图象可知，抛物线对称轴，且，∴，∴ .
∴
=,故本题答案为．
19.解:∵ 抛物线的顶点为∴ 设其解析式为①
将代入①得∴
故所求抛物线的解析式为即
20.(1)证明：∵
∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线与轴必有两个不同的交点.
(2)解:令则解得
21.分析：本题主要考查了与二次函数图象和性质相关的综合应用.（1）根据点A和点B关于直线对称，则点B的横坐标点A的横坐标.（2）用待定系数法确定抛物线的解析式.①，计算△POC的面积时把OC作为底，点P到OC的距离就是△POC的底OC上的高；②∵ QD⊥x轴，∴ 线段QD的长度等于Q、D两点纵坐标差的绝对值.
解：（1）∵ 点A（-3，0）与点B关于直线x＝-1对称，∴ 点B的坐标为（1，0）.
（2）∵ ,∴ .
∵ 抛物线过点（-3，0），且对称轴为直线，
∴ ∴ ,且点C的坐标为（0，-3）.
①设点P的坐标为.由题意得＝×1×3＝，∴ 6.
当时，有×3×x=6,∴ x=4,∴ y=+2×4-3=21.
当时，有×3×（）=6,∴ ,
∴ +2×（-4）-3=5.
∴ 点的坐标为（4，21）或（-4，5）.
②设直线AC的解析式为，
则解得∴ .
如图，设点的坐标为,-3≤x≤0.
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则有QD＝--3-（）+.
∵ -3≤-≤0,∴ 当时，有最大值.
∴ 线段长度的最大值为.
点拨：（1）确定抛物线的解析式时也可设为两根式，即的形式.
（2）在平面直角坐标系中求三角形的面积时，一般要将落在坐标轴上的一边作为底．
22. 分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值；
（2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.
（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.
∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1,）.∴ .
∴ ×4×+×4×=15.
∴ △BCD的面积为15平方米.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.
23.解:（1）∵ 抛物线与轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即解得c＜.
(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，
∵ 两交点间的距离为2，∴ .由题意，得,解得,
∴ ，．
24.解:(1)当时,.
(2)当时,,
∴ 用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;
当时,,
∴ 用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.
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