2018-2019学年度第一学期人教版九年级数学上册 第22章
《二次函数》 单元评估测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列关于抛物线y=（x+2）2+6的说法，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（2，6）
C．抛物线的对称轴是直线x=6 D．抛物线经过点（0，10）
2．若一个二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C（m+1，y1）、D（1﹣m，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1=y2＞y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2
3．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5
C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
4．已知二次函数y=ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④ax2+bx+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1；⑤若点B（﹣，y1
）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2
C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，有下列结论：①a+b＞0；②﹣a+b+c＞0；③b2﹣2ac＞5a2．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：
①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＜0；④b2+8a＜4ac．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有 ．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小
12．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
13．如果二次函数y=x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m= ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+3x与x轴正半轴交于点A，其顶点为P，将点P绕点O旋转180°后得到点C，连结PA、PC、AC，则△PAC的面积为 ．
15．如图，已知直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标
三．解答题（共5小题）
16．某店只销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元kg出售时，每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg．
（1）若单价降低2元，则每天的销售量是 千克，每天的利润为 元；若单价降低x元，则每天的销售量是 千克，每天的利润为 元；（用含x的代数式表示）
（2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？
（3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
18．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点．求抛物线的解析式．
19．如图1，有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片，截去四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，设无盖纸盒高为xcm．
（1）用关于x的代数式分别表示无盖纸盒的长和宽．
（2）若纸盒的底面积为600cm2，求纸盒的高．
（3）现根据（2）中的纸盒，制作了一个与下底面相同大小的矩形盒盖，并在盒盖上设计了六个总面积为279cm2的矩形图案A﹣F（如图3所示），每个图案的高为ycm，A图案的宽为xcm，之后图案的宽度依次递增1cm，各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距均相等，且不小于0.3cm，求x的取值范围和y的最小值．[来源:Zxxk.Com]
20．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案XK]
一．选择题
1．D．
2．B．
3．A．
4．C．
5．C．
6．C．
7．D．
8．D．
9．D．
10．C．
二．填空题
11．②③．
12．（1+，2）或（1﹣，2）．
13．17．
14． K]．
15．（，﹣）．
三．解答题
16．解：（1）若单价降低2元，则每天的销售量是100+2×10=120千克，每天的利润为（60﹣2﹣40）×120=2160元；
若单价降低x元，则每天的销售量是100+10x千克，每天的利润为（20﹣x）（100+10x）元；
故答案为：120、2160、100+10x、（20﹣x）（100+10x）；
（2）根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）=2240，
整理得：x2﹣10x+24=0，
解得： x1=4，x2=6．
答：每千克应降价4元或6元．
（3）天总利润y与降价x元的函数关系式为：
y=（60﹣x﹣40）（100+10x）
=﹣10x2+100x+2000
=﹣10（x﹣5）2+2250，
当x=5时，y最大，最大值为2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
17．解：（1）由已知，B点横坐标为3
∵A、B在y=x+1上
∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；
（2）①过点P作PE⊥x轴于点E
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）
∴EQ=4﹣3t，PE=t
∵∠PQE+∠NQC=90°
∠PQE+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠NQC
∴△PQE∽△QNC
∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2
∵PQ2=PE2+EQ2
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32
当t=时，
S最小=20×（）2﹣36×+18=
②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）
∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t
∴N点坐标为（3，8﹣6t）
由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4
解得t=
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2
当N在抛物线上时，8﹣6t=4
∴t=
综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
18．解：当y=0时， x﹣2=0，解得x=4，则B（4，0），
当x=0时，y=x﹣2=﹣2，则C（0，﹣2），
把B（4，0），C（﹣2，0）代入y=ax2﹣x+c得，解得，
所以抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．
19．解：（1）根据题意得：长=（40﹣2x）cm，
宽=（30﹣2x）cm，
（2）根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）=600
整理得：（x﹣5）（x﹣30）=0
解得：x1=30（舍去），x2=5，
纸盒的高为5cm，
（3）设各图案的间距、A图案与左边沿的间距、F图案与右边沿的间距为m，
x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）+7m=40﹣2×5，
m=≥0.3，
解得：x≤2.15，
根据题意得：y[x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）]=279，
y=，
y随着x的增大而减小，
当取到最大值时，y取到最小值，
即当x=2.15时，y最小=10，
x的取值范围为：x≤2.15，y的最小值为10．
20．解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；
（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC==10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，
∴=，
∴QE=（10﹣m），
∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；
②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F1（，8），
当∠FQD=90°时，则F2（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2=DQ2，
即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，
解得：n=6±，
∴F3（，6+），F4（，6﹣），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．
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