第二十二章 《二次函数》章末检测题
一．选择题（共10小题）
1．对于二次函数y=a（x+k）2+k（a≠0）而言，无论k取何实数，其图象的顶点都在（ ）
A．x轴上 B．直线y=x上 C．y轴上 D．直线y=﹣x上
2．若抛物线y=x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式时（ ）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3
C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①abc＜0；②m＜﹣2；③b2﹣4ac＜0；④b2﹣4ac﹣8a=0．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
5．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a﹣2b+c＜0；④4ac﹣b2＜0，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
6．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=； ③当x=0时，y2﹣y1=6； ④AB+AC=10； ⑤y1最小﹣y2最小=﹣4，其中正确结论的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
7．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
8．在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，（a＞b），x1、x2是此方程的两个实数根，且x1＜x2．现给出四个结论：
①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④x1＜x2＜b＜a
其中正确结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），连结AC，现有一宽度为1，长度足够的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（ ）
A．2+ B．6 C．2 D．2+3
二．填空题（共6小题）
11．已知函数y=x2﹣4x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），该抛物线的部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x增大而减小；⑤点P（m，n）是抛物线上任意一点，则m（am+b）≤a+b，其中正确的结论是 ．（把你认为正确的结论的序号填写在横线上）
13．已知抛物线y=x2+kx+4﹣k交x轴于整点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 ．
15．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0（m/s）竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s=v0t﹣gt2（其中g是常数，通常取10m/s2）．若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面 m．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x与直线y=交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标： ．
三．解答题（共6小题）
17．已知二次函数y=﹣x2+2x．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；
（3）若将此图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
18．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
19．进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．
（1）试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；
（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；
（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
20．如图，△OAB是边长为2+的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．
（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；
（2）当A′E∥x轴，且抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；
（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
22．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，OA=4，OC=3，抛物线经过O，A两点且顶点在BC边上，与直线AC交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．D．
2．B．
3．B．
4．B．
5．D．
6．D．
7．B．
8．A．
9．B．
10．A．
二．填空题
11．4
12．①②⑤．
13．24．[来源:学科网ZXXK]
14．﹣2．
15．7
16．P1（，），P2（，），P3（，）．
三．解答题
17．解：（1）函数图象如图所示；
（2）当y＜0时，x的取值范围：x＜0或x＞2；
（3）∵图象沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），
∴平移后图象所对应的函数关系式为：y=（x+2）2．（或y=﹣x2﹣4x﹣4）
18．解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），
将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的表达式为y=﹣﹣x+4；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，
PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y=﹣×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；
﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；[来源:学科网ZXXK]
P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；
（3）∠MCO=∠CAB=45°，
①当△MCO∽△CAB时， =，即=，
CM=．
如图1，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，
当x=﹣时，y=﹣+4=，
∴M（﹣，）；
当△OCM∽△CAB时， =，即=，解得CM=3，
如图2，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，
当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，
∴M（﹣3，1），
综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．
19．解：（1）由题意可得，
y=200﹣（x﹣30）×5=﹣5x+350
即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：y=﹣5x+350；
（2）由题意可得，
w=（x﹣20）×（﹣5x+350）=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40），
即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：w=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；
（3）∵w=﹣5x2+450x﹣7000的二次项系数﹣5＜0，顶点的横坐标为：x=，30≤x≤40
∴当x＜45时，w随x的增大而增大，
∴x=40时，w取得最大值，w=﹣5×402+450×40﹣7000=3000，
即当售价x（元/包）定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3000元．
20．解：（1）由已知可得∠A′OE=60°，A′E=AE，
由A′E∥x轴，得△OA′E是直角三角形，
设A′的坐标为（0，b），
AE=A′E=b，OE=2b， b+2b=2+，
所以b=1，A′、E的坐标分别是（0，1）与（，1）．
（2）因为A′、E在抛物线上，
所以，
所以，
函数关系式为y=﹣x2+x+1，
由﹣x2+x+1=0，
得x1=﹣，x2=2，
与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0）．
（3）不可能使△A′EF成为直角三角形．
∵∠FA′E=∠FAE=60°，
若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，
A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；
同理若∠A′FE=90°也不可能，
所以不能使△A′EF成为直角三角形．
21．解：（1）∵当x=3时，y有最小值﹣4，
∴设二次函数解析式为y=a（x﹣3）2﹣4．
∵二次函数图象经过点（﹣1，12），
∴12=16a﹣4，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x﹣3）2﹣4=x2﹣6x+5．
（2）当y=0时，有x2﹣6x+5=0，
解得：x1=1，x2=5，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；
当x=0时， y=x2﹣6x+5=5，
∴点C的坐标为（0，5）．[来源:学。科。网Z。X。X。K]
连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（5，0）、C（0，5）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5．
∵B（5，0）、C（0，5），
∴BC=5．
∵当x=3时，y=﹣x+5=2，
∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
22．解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：
，
解得：，
故直线AC解析式为y=﹣x+3，
与抛物线解析式联立得：，
解得：或，
则点D坐标为（1，）；
（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，
∴N1（2，0），N2（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3，
将yM=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，
解得：xM=2﹣或xM=2+，
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1，
∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
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