人教版九年级上数学册《第22章二次函数》单元测试（有答案）.doc

人教版九年级上册第22章二次函数单元测试 考试分值：120分；考试时间：100分钟；‎ 姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 题号 一 二 三 总分 得分 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）下列函数中属于二次函数的是（　　）‎ A．y=x（x+1） B．x2y=1 C．y=2x2﹣2（x2+1） D．y=‎ ‎2．（3分）若y=（a2+a）是二次函数，那么（　　）‎ A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a=﹣1 D．a=3‎ ‎3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣11‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎﹣5‎ ‎…‎ 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）‎ A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5‎ ‎5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．函数有最小值 B．c＜0‎ C．当﹣1＜x＜2时，y＞0‎ D．当x＜时，y随x的增大而减小 ‎6．（3分）如图：二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2‎ ‎7．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4‎ ‎8．（3分）对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣2‎ ‎9．（3分）正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：‎ ‎①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是　 　．‎ ‎12．（3分）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是　 　．‎ ‎13．（3分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为　 　．‎ ‎14．（3分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　 　．‎ ‎15．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1　 　y2．‎ ‎16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：‎ x ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 则当x≥1时，y的最小值是　 　．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共8小题，满分72分）‎ ‎17．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、CD．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标．‎ ‎18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）求y与x的函数关系式；‎ ‎（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的；‎ ‎（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．‎ ‎19．（8分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．‎ ‎（1）抛物线的对称轴为x=　 　（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；‎ ‎（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．‎ ‎20．（8分）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4；它还与过点C（1，﹣2）的直线有一个交点是D（2，﹣3）．‎ ‎（1）求这条直线的函数解析式；‎ ‎（2）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（3）若这条直线上有P点，使S△PAB=12，求点P的坐标．‎ ‎21．（8分）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．‎ ‎（1）写出y与x的函数关系式　 　；‎ ‎（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）‎ ‎22．（10分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）‎ ‎（1）直接写出c的值；‎ ‎（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？‎ ‎（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）‎ ‎23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．‎ ‎24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：‎ 与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．‎ ‎（1）求n的值和抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；‎ ‎（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．（3分）下列函数中属于二次函数的是（　　）‎ A．y=x（x+1） B．x2y=1 C．y=2x2﹣2（x2+1） D．y=‎ ‎【分析】整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答．‎ ‎【解答】解：A、y=x2+x，是二次函数；‎ B、y=，不是二次函数；‎ C、y=﹣2，不是二次函数；‎ D、不是整式，不是二次函数；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的定义．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）若y=（a2+a）是二次函数，那么（　　）‎ A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a=﹣1 D．a=3‎ ‎【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．‎ ‎【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1=2‎ 解得a=3或﹣1‎ 又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1‎ 所以a=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】解题关键是掌握二次函数的定义．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，根据对称轴x=﹣＜0，可得b＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，进而得到一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象．‎ ‎【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵对称轴x=﹣＜0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵函数图象经过原点，‎ ‎∴c=0，‎ ‎∴一次函数y=bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数以及一次函数的图象，解题时注意：正比例函数的图象是经过原点的一条直线．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：‎ x ‎…‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎﹣11‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎﹣5‎ ‎…‎ 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）‎ A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5‎ ‎【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．‎ ‎【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得 ‎（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，‎ 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 ‎，‎ 解得，‎ 函数解析式为y=﹣3x2+1‎ x=2时y=﹣11，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．函数有最小值 B．c＜0‎ C．当﹣1＜x＜2时，y＞0‎ D．当x＜时，y随x的增大而减小 ‎【分析】观察可判断函数有最小值；由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；由抛物线与y轴的交点，可判断c的符号；由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．‎ ‎【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；‎ B、由抛物线与y轴的交点在y的负半轴，可判断c＜0，故正确；‎ C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；‎ D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象的性质，解析式的系数的关系．关键是掌握各项系数与抛物线的性质之间的联系．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）如图：二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【分析】设A（x1，0），B（x2，0），C（0，t），由题意可得t=2；在直角三角形ABC中，利用射影定理求得OC2=OA•OB，即4=|x1x2|=﹣x1x2；然后根据根与系数的关系即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），‎ ‎∵二次函数y=ax2+bx+2的图象过点C（0，t），‎ ‎∴t=2；‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴OC2=OA•OB，即4=|x1x2|=﹣x1x2，‎ 根据韦达定理知x1x2=，‎ ‎∴a=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数y=ax2+bx+2与关于x的方程ax2+bx+2=0间的转换关系．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4‎ ‎【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论．当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；‎ 当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当△≥0时，二次函数与x轴都有交点，解△≥0，求出k的范围．‎ ‎【解答】解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；‎ 当k≠3，函数y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，‎ 当22﹣4（k﹣3）≥0，‎ k≤4‎ 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．‎ 综上k的取值范围是k≤4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考察了二次函数、一次函数的图象与x轴的交点、一次不等式的解法．解决本题的关键是对k的值分类讨论．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．m≥﹣2 B．﹣4≤m≤﹣2 C．m≥﹣4 D．m≤﹣4或m≥﹣2‎ ‎【分析】分三种情况进行讨论：对称轴分别为x＜0、0≤x＜2、x≥2时，得出当0＜x≤2时所对应的函数值，判断正误．‎ ‎【解答】解：对称轴为：x=﹣=﹣，y==1﹣，‎ 分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；‎ ‎②当0≤x＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣＞0时，﹣2＜m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；‎ 当1﹣＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；‎ ‎∴当﹣2＜m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，‎ ‎③当对称轴﹣≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y≥0，‎ ‎4+2m+1≥0，‎ m≥﹣，‎ 此种情况m无解；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，根据其自变量的取值确定字母系数的取值范围，解决此类问题：首先要计算出顶点坐标，再根据对称轴的位置并与图象相结合得出取值．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】根据已知条件将所求式子消元，用配方法将式子配方，即可求出最小值．‎ ‎【解答】解：由已知，得x=，‎ ‎∴=+=（﹣）2+1，‎ 当=，即x=时，‎ 的值最小，最小值为1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了二次函数求最大（小）值的运用，关键是将所求式子消元，配方．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：‎ ‎①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，‎ ‎∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；‎ ‎∵当x=﹣3时，y＜0，‎ ‎∴9a﹣3b+c＜0，‎ 即9a+c＜3b，（故②错误）；‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c=0，‎ 而b=﹣4a，‎ ‎∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，‎ ‎∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，‎ ‎∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；‎ ‎∵对称轴为直线x=2，‎ ‎∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，‎ 当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎11．（3分）若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是　2　．‎ ‎【分析】根据二次函数的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：由题意，得 m2﹣2=2，且m+2≠0，‎ 解得m=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是　1＜x＜2　．‎ ‎【分析】从图上可知，mx+n＜ax2+bx+c，则有x＞1或x＜﹣；根据ax2+bx+c＜0，可知﹣1＜x＜2；综上，不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．‎ ‎【解答】解：因为mx+n＜ax2+bx+c＜0，由图可知，1＜x＜2．‎ ‎【点评】此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为　y=﹣x2﹣2x﹣1　．‎ ‎【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，﹣=﹣1，c＜0，由此举例得出答案即可．‎ ‎【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．‎ ‎∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=﹣1；‎ ‎∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，得b=2a=﹣2；‎ ‎∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=﹣1；‎ ‎∴函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．‎ 故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：‎ 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是　y1＜y2＜y3　．‎ ‎【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵y=3（x﹣1）2+k，‎ ‎∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，‎ A（﹣4，y3）关于直线x=﹣2的对称点是（6，y3），‎ ‎∵2＜3＜6，‎ ‎∴y1＜y2＜y3，‎ 故答案为y1＜y2＜y3．‎ ‎【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1　＞　y2．‎ ‎【分析】先确定对称轴是：x=1，由知a=﹣1，抛物线开口向下，当x＞1时，y随x的增大而减小，根据横坐标3＞2得：‎ y1＞y2．‎ ‎【解答】解：∵二次函数对称轴为：x=1，a=﹣1，‎ ‎∴当x＞1时，y随x的增大而减小，‎ ‎∵3＞2＞1，‎ ‎∴y1＞y2，‎ 故答案为：＞．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，明确二次函数的增减性：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大； ②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：‎ x ‎…‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 则当x≥1时，y的最小值是　1　．‎ ‎【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，得出其对称轴的直线方程，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵由表可知，当x=﹣1时，y=10，当x=0时，y=5，当x=1时，y=2，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+5，‎ ‎∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2．‎ ‎∵x≥1，‎ ‎∴当x=2时，y最小===1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知用待定系数法求二次函数的解析式是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 三．解答题（共8小题，满分72分）‎ ‎17．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、CD．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把点代入即可得出解析式；‎ ‎（2）分两种情况：①当点E在直线CD的抛物线上方；②当点E在直线CD的抛物线下方；连接CE，过点E作EF⊥CD，再由三角函数得出点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），‎ ‎∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣x1）（x﹣x2），‎ ‎∴y=a（x+2）（x﹣4），‎ ‎∴﹣8a=4，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4，‎ ‎（2）①当点E在直线CD的抛物线上方，记E′，连接CE′，过点E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，‎ 由（1）得OC=4，‎ ‎∵∠ACO=∠E′OF′，‎ ‎∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，‎ ‎∴==，‎ 设线段E′F′=h，则CF′=2h，‎ ‎∴点E′（2h，h+4），‎ ‎∵点E′在抛物线上，‎ ‎∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，‎ ‎∴h1=0（舍去），h2=，‎ ‎∴E′（1，）；‎ ‎②当点E在直线CD的抛物线下方；‎ 同①的方法得，E（3，），‎ 综上，点E的坐标为（1，），（3，）．‎ ‎【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的解析式三种不同的形式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴上和y轴上，线段OA=24，OB=12；点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动．如果点P，点M同时出发，它们移动的速度相同都是1个单位/秒，设经过x秒时（0≤x≤12），△POM的面积为y．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）求y与x的函数关系式；‎ ‎（3）连接矩形的对角线AB，当x为何值时，以M、O、P为顶点的三角形等于△AOB面积的；‎ ‎（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点是否在直线AB上，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，用待定系数法即可求解；‎ ‎（2）根据S△OMP=，即可求解；‎ ‎（3）根据面积之间关系列出等式即可求解；‎ ‎（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，先求出D点坐标，看是否在直线y=‎ 上即可判断；‎ ‎【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ A点坐标为（24，0），B为（0，12），‎ 把A、B两点的坐标代入上式，得：，‎ 解得，‎ ‎∴y=；‎ ‎（2）∵S△OMP=，‎ ‎∴y=•x 即y=﹣；‎ ‎（3）∵S△AOB=，‎ ‎∴S△AOB=18，即y=18，‎ 当﹣，‎ 解得：x=6；‎ ‎（4）当△POM的面积最大时，将△POM沿PM据直线翻折后得到△PDM，‎ 当x=﹣=6时，S△POM=y有最大值．‎ 此时OP=6，OM=12﹣x=6‎ ‎∴△OMP是等腰直角三角形．‎ ‎∵将△POM沿PM所在直线翻折后得到△POM．‎ ‎∴四边形OPDM是正方形 ‎∴D（6，6），‎ 把D（6，6）代入y=‎ x=6时，y=﹣×6+12=9≠6‎ ‎∴点D不在直线AB上．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的最值及矩形的性质，难度较大，关键是正确理解与把握题中给出的已知信息．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点．‎ ‎（1）抛物线的对称轴为x=　m　（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；‎ ‎（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（xp，yp），yp≤2，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x=﹣，代入数据即可得出结论；‎ ‎（2）由AB∥x轴，可得出点B的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；‎ ‎（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x==m．‎ 故答案为：m．‎ ‎（2）当x=0时，y=mx2﹣2m2x+2=2，‎ ‎∴点A（0，2）．‎ ‎∵AB∥x轴，且点B在直线x=4上，‎ ‎∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+2．‎ ‎（3）当m＞0时，如图1．‎ ‎∵A（0，2），‎ ‎∴要使0≤xp≤4时，始终满足yp≤2，只需使抛物线y=mx2﹣2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．‎ ‎∴m≥2；‎ 当m＜0时，如图2，‎ 在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．‎ 综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）牢记抛物线的对称轴为直线x=﹣；（2）根据二次函数的性质找出对称轴为x=2；（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）已知一条抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4；它还与过点C（1，﹣2）的直线有一个交点是D（2，﹣3）．‎ ‎（1）求这条直线的函数解析式；‎ ‎（2）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（3）若这条直线上有P点，使S△PAB=12，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由于所求直线经过点C（1，﹣2）和D（2，﹣3），利用待定系数法即可确定直线的解析式；‎ ‎（2）由于抛物线的对称轴是直线x=1；它与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），且线段AB的长是4，由此可以确定A、B的坐标，还经过D（2，﹣3），利用待定系数法可以确定抛物线的函数解析式；‎ ‎（3）由于线段AB的长是4，利用三角形的面积公式可以求出P的纵坐标的绝对值，然后代入（1）中直线解析式即可确定P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线经过点：C（1，﹣2）、D（2，﹣3），‎ 设解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解之得：k=﹣1，b=﹣1，‎ ‎∴这些的解析式为y=﹣x﹣1；‎ ‎（2）由抛物线的对称轴是：x=1，与x轴两交点A、B之间的距离是4，‎ 可推出：A（﹣1，0），B（3，0）（2分）‎ 设y=ax2+bx+c，‎ 由待定系数法得：，‎ 解之得：，‎ 所以抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2分）；‎ ‎（3）设点P的坐标为（x，y），它到x轴的距离为|y|．（1分）‎ ‎∴，‎ 解之得：y=±6（1分）‎ 由点P在直线y=﹣x﹣1上，得P点坐标为（﹣7，6）和（5，﹣6）．‎ ‎【点评】此题分别考查了抛物线与x轴的交点坐标与对称轴的关系、待定系数法确定函数的解析式即三角形的面积公式等知识，有一定的综合性，一起学生熟练掌握各个知识点才能很好解决问题．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，假设每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．‎ ‎（1）写出y与x的函数关系式　y=300+20x　；‎ ‎（2）求出W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）‎ ‎【分析】（1）利用每天可卖出300个，每降价1元，每天可多卖出20个，进而得出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）利用销量×每千克商品的利润=总利润，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设每个降价x（元），每天销售y（个），‎ y与x的函数关系式为：y=300+20x；‎ 故答案为：y=300+20x；‎ ‎（2）由题意可得，W与x的函数关系式为：‎ W=（300+20x）（60﹣40﹣x）‎ ‎=﹣20x2+100x+6000．‎ ‎【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握销量与每千克利润与总利润的关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=﹣+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）‎ ‎（1）直接写出c的值；‎ ‎（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？‎ ‎（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度数．（精确到0.1°）‎ ‎【分析】（1）根据点在抛物线上易求得c；‎ ‎（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱；‎ ‎（3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，再根据三角函数性质求出倾斜角∠GEF的度数．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣+c，‎ ‎∵点（0，5）在抛物线上 ‎∴c=5；‎ ‎（2）由（1）知，OC=5，‎ 令y=0，即﹣+5=0，解得x1=10，x2=﹣10；‎ ‎∴地毯的总长度为：AB+2OC=20+2×5=30，‎ ‎∴30×1.5×20=900‎ 答：购买地毯需要900元．‎ ‎（3）可设G的坐标为（m，﹣+5）其中m＞0‎ 则EF=2m，GF=﹣+5，‎ 由已知得：2（EF+GF）=27.5，‎ 即2（2m﹣+5）=27.5，‎ 解得：m1=5，m2=35（不合题意，舍去），‎ 把m1=5代入，﹣+5=﹣×52+5=3.75，‎ ‎∴点G的坐标是（5，3.75），‎ ‎∴EF=10，GF=3.75，‎ 在Rt△EFG中，tan∠GEF===0.375，‎ ‎∴∠GEF≈20.6°．‎ ‎【点评】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形做题．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．‎ ‎【分析】（1）把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值，确定出解析式即可；‎ ‎（2）连接OD，设出D坐标，四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+三角形OBD面积，表示出三角形BCD面积S与m的二次函数解析式，求出最大面积及D坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）将A，C代入得：，‎ 解得：，‎ 则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD=×2m+×4（﹣m2+m+2）=﹣m2+4m+4，‎ ‎∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，‎ 当m=2时，S△BCD取得最大值4，‎ 此时yD=﹣×4+×2+2=3，即D（2，3）．‎ ‎【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．‎ ‎（1）求n的值和抛物线的解析式；‎ ‎（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；‎ ‎（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；‎ ‎（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；‎ ‎（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），‎ ‎∴m=﹣1，‎ ‎∴直线l的解析式为y=x﹣1，‎ ‎∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），‎ ‎∴n=×4﹣1=2，‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；‎ ‎（2）令y=0，则x﹣1=0，‎ 解得x=，‎ ‎∴点A的坐标为（，0），‎ ‎∴OA=，‎ 在Rt△OAB中，OB=1，‎ ‎∴AB===，‎ ‎∵DE∥y轴，‎ ‎∴∠ABO=∠DEF，‎ 在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，‎ DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，‎ ‎∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，‎ ‎∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），‎ ‎∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），‎ ‎∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，‎ ‎∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，‎ ‎∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，‎ ‎∴当t=2时，p有最大值；‎ ‎（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，‎ ‎∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，‎ ‎①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，‎ ‎∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，‎ 解得x=，‎ ‎②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1‎ 的纵坐标大，‎ ‎∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，‎ 解得x=﹣，‎ 综上所述，点A1的横坐标为或﹣．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．‎ ‎　‎