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二十一
带电粒子在组合场、复合场中的运动
一、选择题
1．【绥德中学第一次模拟】一个带正电的小球沿光滑绝缘的水平桌面向右运动，速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上，飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度为v1。撤去磁场，其余的条件不变，小球的飞行时间为t2，水平射程为x2，着地速度为v2。下列结论不正确的是( )
A．x1＞x2
B．t1＞t2
C．v1和v2大小相等
D．v1和v2方向相同
2．【2019届模拟仿真卷】如图所示，匀强电场的电场强度方向与水平方向夹角为30°且斜向右上方，匀强磁场的方向垂直于纸面(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带电小球(可视为质点)以与水平方向成30°角斜向左上方的速度v做匀速直线运动，重力加速度为g。则( )
A．匀强磁场的方向可能垂直于纸面向外
B．小球一定带正电荷
C．电场强度大小为
D．磁感应强度的大小为
3．【天水2019届高三摸底】如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器通道中心线半径为R，通道内有均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面，磁感应强度为B的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法中正确的是( )
A．磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向内
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B．加速电场中的加速电压
C．磁分析器中圆心O2到Q点的距离
D．任何离子若能到达P点，则一定能进入收集器
二、解答题
4．【天一中学2019届高三调研测试】已知质量为m的带电液滴，以速度v垂直射入竖直向下的匀强电场E和水平向里匀强磁场B中，液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动。如图所示，重力加速度为g，求：
(1)液滴带电荷量及电性；
(2)液滴做匀速圆周运动的半径多大；
(3)现撤去磁场，电场强度变为原来的两倍，有界电场的左右宽度为d，液滴仍以速度v从左边界垂直射入，求偏离原来方向的竖直距离。
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5．【重庆2019届联考】如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第一和第四象限内有一个有界圆形区域与y轴相切于原点O，其圆心为O1、半径一定，圆内存在垂直于纸面的匀强磁场。第二和第三象限内有平行于y轴的匀强电场。第二象限内有一P点，坐标，一带电粒子（重力不计）自P点以平行于x轴的初速度v0开始运动，粒子从O点离开电场，经磁场偏转后又从y轴上的Q点（图中未画出）垂直于y轴回到电场区域，并恰能返回到P点。求：
(1)粒子从P点到O点经历的时间及粒子在第二象限的加速度大小；
(2)粒子经过坐标原点O时的速度大小；
(3)电场强度E和磁感应强度B的比值。
7. 【成都二诊】如图所示为竖直面内的直角坐标系xOy，A点的坐标为（－8 m，0），C点的坐标为（－4 m，0）；A点右侧的三个区域存在沿y轴正方向的匀强电场，－4 m > x ≥－8 m区域的场强大小为E1＝5 V/m，0 > x ≥－4 m区域的场强大小为E2＝7 V/m，x ≥ 0区域的场强大小为E3＝5 V/m；第一、四象限内的磁场方向相反且垂直于坐标平面，磁感应强度大小均为B＝2 T。现让一带正电的小球从A点沿z轴正方向、以v0＝
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4 m/s的速率进入电场。已知小球的质量m＝2×10－3 kg。电荷量q＝4×10－3 C，假设电场和磁场区域足够宽广，小球可视为质点且电荷量保持不变，忽略小球在运动中的电磁辐射，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球到达y轴时的速度；
(2)小球从A点运动到坐标为(56 m，y)的点经历的时间。
6．【赣州三模】如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，O1O为中轴线。当两板间加电压UMN＝U0时，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。某种带负电的粒子从O1点以速度v0沿O1O方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)若MN间加上如图乙所示的交变电压，其周期，从t＝0开始，前内UMN＝2U，后内UMN＝－U，大量的上述粒子仍然以速度v0沿O1O方向持续射入电场，最终所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值；
(3)紧贴板右侧建立xOy坐标系，在xOy坐标第I、IV象限某区域内存在一个圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于xOy坐标平面，要使在(2)问情景下所有粒子经过磁场偏转后都会聚于坐标为（2d，2d）的P点，求磁感应强度B的大小范围。
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答案与解析
1．【解析】由于带正电，有磁场时，小球下落过程中要受重力和洛仑兹力共同作用，重力方向竖直向下，大小方向都不变；洛仑兹力的大小和方向都随速度的变化而变化，但在能落到地面的前提下洛仑兹力的方向跟速度方向垂直，总是指向右上方某个方向，其水平分力fx水平向右，竖直分力fy竖直向上，如图所示，小球水平方向将加速运动，竖直方向的加速度仍向下，但小于重力加速度g。撤去磁场的时候，小球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，加速度为g。从而，有磁场时水平距离比撤去磁场后要大，即x1＞x2，故A正确；有磁场时运动时间比撤去磁场后要长，即t1＞t2，故B正确；由于洛仑兹力的方向每时每刻都跟速度方向垂直，不对粒子做功，不改变粒子的动能。所以，有磁场和无磁场都只有重力作功，小球机械能守恒，动能的增加等于重力势能的减少，等于小球重力与桌面高度的乘积，是相同的，即v1和v2大小相等，有故C正确；有磁场和无磁场，小球落地时速度方向并不相同，故D错误。
【答案】D
2．【解析】小球做匀速直线运动，受到的合力为零，假设小球带正电，则小球的受力情况如图1所示，小球受到的洛伦兹力沿虚线但方向未知；小球受到的重力、电场力的合力与洛伦兹力不可能平衡，小球不可能做匀速直线运动，假设不成立，小球带负电，故B项错误；小球带负电的受力情况如图2所示。小球受到的洛伦兹力一定斜向右上方，根据左手定则，匀强磁场的方向一定垂直于纸面向里，故A项错误；由于电场力与洛伦兹力反方向、重力与洛伦兹力反方向的夹角均为30°，据几何关系可得：，，解得：，，故C项正确，D项错误。
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【答案】C
3．【答案】B
【解析】离子在磁分析器中沿顺时针转动，所受洛伦磁力指向圆心，根据左手定则，磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向外，故A错误；离子在静电分析器中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，设离子进入静电分析器时的速度为v，离子在加速电场中加速的过程中，由动能定理有，解得，B正确；离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有，解得，则，故C错误；由B可知，R与离子质量、电量无关，离子在磁场中的轨道半径，离子在磁场中做圆周运动的轨道半径与电荷的质量和电量有关，能够到达P点的不同离子，半径不一定都等于d，不一定能进入收集器，故D错误。
4．【解析】(1)液滴在空间受到三个力作用：重力、电场力与洛伦兹力；因带电液滴刚好做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则液滴的重力与电场力相平衡，电场力方向竖直向上，又因电场线方向向下，所以液滴带负电。
由mg＝qE，得。
(2)带电粒子在电场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：
解得：。
(3)电场变为2E，则加速度
水平方向：d＝vt
竖直方向的偏转距离：
解得：。
5．【解析】(1)设粒子在电场中运动的时间为 t1，x轴方向：d＝v0t1
y轴方向有：
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解得：，。
(2)粒子从P点到O点过程中，
经过坐标原点的速度大小。
(3)设Q点到坐标原点的距离为y，从Q点再次进入电场过程中，有：
d＝2v0t2
解得：
设粒子进入磁场时速度与y轴夹角为θ，，则θ＝30°
磁场中由几何关系得：
设粒子进入磁场时，根据洛伦兹力提供向心力得：
联立解得：
粒子在电场中运动时，由牛顿第二定律得：
解得：
所以。
7.【解析】(1)在－4 m> x ≥－8 m区域，小球所受电场力为：
F＝qE1＝2×10-2 N
由题知mg＝2×10-2 N
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F＝mg，所以小球做匀速直线运动，设该过程经历时间为t1
在0 > x ≥－4 m区域，qE2>mg，小球做类平抛运动，设该过程经历时间为t2，根据运动学规律，
在y方向上有：qE2－mg＝ma
在x方向上有：
代入数据得：a＝4 m/s2，t2＝1 s，y＝2 m，vy＝4 m/s
所以
设v与y轴正方向的夹角为α，由，得α＝45°。
(2)在x ≥ 0区域，qE3＝mg，分析知，小球先在第一象限做半径为r、周期为的匀速圆周运动，接着交替在第四、第一象限做半径为r、周期为的匀速圆周运动，轨迹如图所示：
洛伦兹力提供向心力，有：
代入数据得：
设小球在第一象限第一次到达x轴的位置为P点，第二次到达x轴的位置为G点，由几何关系易得：
OP＝2 m，PG＝2rcos α＝2 m
小球做匀速圆周运动的周期为：
代入数据得：
设小球从O点到达x轴上H(56 m，0)点的时间为t3，因，即OH＝OP+27PG
故
又
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所以达到横坐标为56 m的点有以下三种情况：
(i)到达横坐标为56 m的I点，
(ii)到达横坐标为56 m的H点，
(iii)到达横坐标为56 m的J点，
6．【解析】(1)设粒子经过时间t0打在M板中点，沿极板方向有：
垂直极板方向有：
解得：
(2)粒子通过两板时间
从t＝0时刻开始，粒子在两板间运动时每个电压变化周期的前三分之一时间内的加速度大小，方向垂直极板向上；在每个电压变化周期的后三分之二时间内加速度大小，方向垂直极板向下。不同时刻从O1点进入电场的粒子在电场方向的速度vy随时间t变化的关系如甲所示。
因为所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在或时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上下边缘处飞出，它们在电场方向偏转的距离最大。
解得：
(3)所有粒子射出电场时速度方向都平行于x轴，大小为v0。设粒子在磁场中的运动半径为r，则
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得：
粒子进入圆形区域内聚焦于P点时，磁场区半径R应满足R＝r。在圆形磁场区域边界上，P点纵坐标有最大值，如图乙所示。
磁场区的最小半径，对应磁感应强度有最大值
磁场区的最大半径，对应磁感应强度有最小值
所以，磁感应强度B的可能范围为。
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