小学奥数4-2-3 图形的分割与拼接.学生版

4-2-3.图形的分割与拼接 知识点拨 本讲主要学习三大图形处理方法： 1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼． 本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼 合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割． 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考． 如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再 分多． 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分 割图形． 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的， 再拼多的． 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推 理和必要的计算，确定剪拼的方法． 例题精讲 模块一、图形的分割 【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？ 【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条． 【例 2】 用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。 【例 3】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两 块． A O 【例 4】 把任意一个三角形分成面积相等的 4 个小三角形，有许多种分法．请你画出 4 种不同的分法． 【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的 2 个小三角形，有许多种分法．请你画出 3 种不同的分法． 【例 5】 怎样把一个等边三角形分别分成 8 块和 9 块形状、大小都一样的三角形． 【例 6】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形． 【例 7】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？ 20 60 40 20 【例 8】 下图是一个 3 4 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小 方格的完整． 【巩固】右图是一个 4 4 的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方 格的完整． 【例 9】 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的 四部分． 【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两 部分．如果分三部分呢？ 【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成 4 个形状相同、面积相等的梯形吗？ 【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块． 【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？ 【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的 对角线进行分割)． 【例 13】已知左下图是由同样大小的 5 个正方形组成的．试将图形分割成 4 块形状、大小都一样的图形． 【巩固】把右图剪成形状、大小相等的 8 个小图形，怎么剪？作出分出的小图形． 【例 14】如图，它是由15 个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为 5 个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米．⑶ 分 割后 5 个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米． 第3题 【例 15】下图是由 18 个小正方形组成的图形，请你把它分成 6 个完全相同的图形． 【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的 23 个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大 小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果． 【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的 21 个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画 图表示． 【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相 同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？ 【例 19】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○． 【例 20】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的 4 块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个 字中的一个，该怎么剪？ 【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的 4 块，使每一块里面都有“春蕾杯赛” 4 个字． 春 春 蕾 杯 赛 春 春 蕾 蕾 蕾 杯 杯 杯 赛 赛 赛 第13题 【例 22】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和 大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？ 学 习 思 考 学 习 思 考 学 习 思 考 考 思 习 学 （5） （4） （3） （2） （1） 【例 23】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学 而思奥数五个字． 学 而 思 奥 数 数 奥 思 而 学 【例 24】如下图所示的正方形是由 36 个小正方格组成的．如图那样放着 4 颗黑子，4 颗白子，现在要把它 切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？ 【例 25】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带 一个○． 【例 26】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个 ，请将第一部 分的六边形都标上 “1”，第二部分的六边形都标上“2”。 模块二、图形的拼接 【例 27】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？ 【巩固】用 3 个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？ 【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、 一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图． 【例 28】下面哪些图形自身用 4 次就能拼成一个正方形？ 【例 29】用下面的 3 个图形，拼成右边的大正方形． 【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中． ④ ③ ② ① 【例 30】有 6 个完全相同的 ，你能将它们拼成下面的形状吗？ 【例 31】三种塑料板的型号如图： ( A ) ( B ) (C ) 已有 A 型板 30 块，要购买 B 、 C 两种型号板若干，拼成 5 5 正方形 10 个， B 型板每块价格 5 元， C 型板每块价格为 4 元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买 B 、C 两种 板要花多少元？ 【例 32】试用图 a 中的 8 个相等的直角三角形，拼成图 b 中的空心正八边形和图 c 中的空心正八角星． 模块三、图形的剪拼 【例 33】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形． 【例 34】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形． 【例 35】将下图分成 4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形． 【例 36】将下图分成两块，然后拼成一个正方形． 【例 37】将图 1 分成 4 个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形． 图 1 图 2 图 3 【例 38】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做 长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪 拼呢？ 【例 39】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形． 【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形． 【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形． 【例 40】把一个正方形分成 8 块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积 相等． 【例 41】试将一个 4 9 的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形． 【例 42】有一块长 8 米、宽 3 米的长方形地毯，现在要把它移到长 6 米、宽 4 米的新房间里．请找出一种剪 裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁 的块数尽可能地少，应怎样剪拼？ 【例 43】 如何把一个长 20 厘米、宽 12 厘米的长方形切成两块，拼成一个长 16 厘米、宽 15 厘米的新长方形． → 4 3 4 3 4 3 3 4 4 3 4 3 4 3 4 3 图 d 图 e 【例 44】长方形长 24 厘米，宽 15 厘米．把它剪成两块，使它们拼成一个长 20 厘米，宽 18 厘米的长方形． 【例 45】长方形的长和宽各是 9 厘米和 4 厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正 方形． 【巩固】一块长方形的木板，长为 90 厘米，宽为 40 厘米，将它锯成 2 块，然后拼成一个正方形，你能做到 吗？ 【例 46】如下图长方形的长、宽分别为 120 厘米、90 厘米，正中央开有小长方形孔，长为 80 厘米，宽为 10 厘米，要拼成面积为 100 平方厘米的正方形．问如何切分，能使划分的块数最少． 【例 47】把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形． 【例 48】如下图两个正方形的边长分别是 a 和 b ( a b )，将边长为 a 的正方形切成四块大小、形状都相同的 图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形． a b b a 【例 49】如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然 后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形． 【例 50】有 5 个长方形，它们的长和宽都是整数，且 5 个长和 5 个宽恰好是 1~10 这 10 个整数。现在用 5 个长方形拼成 1 个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为__________。 （A）169 （B）144 （C）121 （D）100 【例 51】如图，A 、B 、C 、D 四个长方形的周长的和是100 ，并且每个长方形都有一条边的长度已经给定， 分别是1， 2 ， 3， 4 。中间的长方形的周长是 。 【例 52】现有一块 L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成 3 部分，因此只能按照如图的方式切，但 不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为 平方厘米．