小学奥数4-2-4 图形的分割.教师版

4-2-4.图形的分割 知识点拨 几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。我们发现， 在迎春杯几何问题中，这类题目很多。掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。 解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性 质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。 解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种 思想在解决各种问题中的妙用。 例题精讲 模块一、简单分割 【例 1】 3 个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点 A 和 B 分别与正方形中心点重合，如 果所构成图形的周长是 48 厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米. 【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4 题 【解析】将这 3 个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为 48÷8=6 （厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为 6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为 6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。 【答案】 90 平方厘米 【例 2】 正方形 ABCD 的面积是 1 平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方 形(如图)，求大正方形的面积． D C B A 【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有 9 个小正方形组成，所以，大正方 形的面积是：1 9 9  (平方米)． 【答案】 9 平方米 【例 3】 将边长为 a 的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三 个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为 a 的正方形面积是图中阴影部分面积的 ________ 倍. 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 6 题，4 分 【解析】【解析】阴影部分是大正方形的 0.5×0.5×0.5×0.5= 1 16 ，所以正方形是阴影的 16 倍 【答案】16 倍 【例 4】 正三角形 ABC 的面积是 1 平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边 形(如右图)，求六边形的面积． 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】采用分割法，过 A 、 B 、 C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六 边形面积等于 13 平方米． 【答案】13 平方米 【例 5】 正六边形 ABCDEF 的面积是 1 平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下 图的图形，求这个图形的面积． 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有 12 个小三角形， 原来正六边形的面积是 1 平方米，由 6 个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1 2 2  (平 方米) 【答案】 2 平方米 【例 6】 长方形 ABCD 的面积是 40 平方厘米，E、F、G、H 分别为 AC、AH、DH、BC 的中点。三角形 EFG 的面积是 平方厘米。 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 3 题 【解析】【解析】 1 140 52 4    （平方厘米） 【答案】 5 平方厘米 【例 7】 把同一个三角形的三条边分别 5 等分、7 等分(如图 1，图 2)，然后适当连接这些等分点，便得到了 若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中阴影部分面积是 294 平方分米，那么图 2 中阴影部分的面 积是______平方分米． 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的 12 25 ，图 2 中阴影部分占整个三角形面积的 16 49 ，故图 2 中阴影 部分的面积为 294÷ 12 16 25 49  =200(平方分米)． 【答案】 200 平方分米 【例 8】 右图中的大正方形 ABCD 的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。请问：阴影三角形的面积 是多少？ 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 6 题 【解析】图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的 1 2 ，所以小正方形面积是 1 4 ，将小正方形各顶 点标上字母如右图，很容易看出三角形 JFG 面积＝三角形 IHG 面积＝ 1 4 ×正方形 EFGH 面积，三角 形 EJI 面积＝ 1 4 ×三角形 EFH 面积＝ 1 8 ×正方形 EFGH 面积。所以阴影三角形 JGI 面积＝(1－ 1 4 － 1 4 － 1 8 )×小正方形面积＝ 3 8 ×小正方形面积＝ 3 32 。 【答案】 3 32 【例 9】 下图中有四条弦，每一条弦都把大圆分割成两个面积比为 1:3 的区域，而且这些弦的交点恰好是一 个正方形的四个顶点。这些弦把圆分割成 9 个区域，则此正方形的面积是区域 P 面积的 倍。（ 3.14  ） 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 1 题 【解析】【解析】去掉两边的弓形之后，中间部分面积是整个圆的一半，横竖两块中间部分面积和就等于圆面积，所 以重叠部分面积等于 4 个 P 面积的和。即正方形面积是 P 的 4 倍。 【答案】 4 模块二、化整为零 【例 10】在图中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘 米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：如图，将原题中图形分为 12 个完全一样的小等腰三角形．△ABC 占有 9 个小等腰三角形， 其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形， ABCS△ =9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为 40.5÷9×6=27(平方厘米)． 方法二：如图，连接 IG，有四边形 ADGI 为正方形，易知 FG=FC=3(厘米)，所以 DG=DF-FG=9-3=6(厘 米)，于是 S HIGS = 1 4 × AIGDS正方形 = 1 4 × 26 =9.而四边形 IGFB 为长方形，有 BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘 米)，所以 IGFBS长方形 =6×3=18．阴影部分面积为 A HIG 与长方形 IGFB 的面积和，即为 9+18=27(平方 厘米)． 方法三：如图，为了方便叙述，将图 6-10 中某些交点标上字母． 易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形． 先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差， 即为需求阴影部分的面积．有 S ABC△ = DEFS△ = 1 2 ×EF×DF= 81 2 ， CGFS = 1 2 ×CF×FG= 9 2 ． 因为 CF=FG=3，所以 DG=DF-FG=6． 如图，可以将 4 个三角形 DGH 拼成一个边长为 DG 的正方形． 所以， ACDS△ DGHS△ = 1 4 ×DG×DG=9，而 AIHS△ = DGHS△ =9， 所以 BFGHIS阴影 = S ABC△ - CGFS△ - AIHS△ = 81 2 - 9 2 -9=27(平方厘米)． 即阴影部分的面积为 27 平方厘米． 【答案】 27 平方厘米 【例 11】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图），M、N 点为正方形的边的中点，阴影部 分的面积是 14cm2，三角形 BEF 的面积是____ cm2。 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 8 题 【解析】【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下 图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14 平方厘米，故一个三角形的面 积为 2 平方厘米，那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米。 【答案】18 平方厘米 【例 12】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是 2、8、58，则④、 ⑤这两块的面积差是 ． ⑤ ④ ③ ② ① ⑤ ④ ③ ② ① 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，7 题 【解析】【解析】由于②的面积是①的 4 倍，所以可以把②分成 4 倍的①，而两个①为一个方格，一个方格的面积为 2 2 4  ．根据 58 2 60  ，则①与③一共是 60 4 15  格，所以①与③是3 5 的长方形．所以正方 形边长是①的直角边长的 5 倍，等腰直角三角形直角边长是①的直角边长的 7 倍，则④的格数为 8 格，⑤的格数为 10 格，④、⑤这两块的面积差是10 8 2  (格)，1 格的面积为 4，所以④、⑤这两 块的面积差为 4 2 8  ． 【答案】 8 【例 13】如图 4，在长方形 ABCD 中， E 、 F 、 G 分别是 BC 、 CD 、 DA 上的点，且使得四边形 AEFG 是 直角梯形， 45  GAE ， 2 3∶ ∶GF AE ．如果梯形 AEFG 的面积是15 平方厘米，那么长方形 ABCD 的面积是 平方厘米． 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，初试，9 题 【解析】【解析】这是一道几何问题，重点考察同学们对等腰直角三角形性质的认识． 方 法 一 ： 在 长 方 形 ABCD 中 ， 由 于 四 边 形 AEFG 是 直 角 梯 形 ， 45  GAE ， 可 知 45            DGF DFG CFE FEC EAB BEA ，所以，△DGF 、△CEF 、△ABE 都是等腰 直角三角形．故可将长方形 ABCD 分割，如图 6： 显然， 10 △梯形  CEFAEFGS S ， 24 ABCD CEFS S ， 24 10 ABCDS 24 15 3610梯形   AEFGS 平方厘米． 方法二：在直角梯形 AEFG 中， ∥AE GF ，由 45  GAE ，可知 45  GDF ，因为直角三角形 GDF 与 ABE 的 斜 边 2 3∶ ∶GF AE ， 所 以 直 角 边 2 3∶ ∶DF AB ， 故 1 3∶ ∶FC AB ． 于 是 ， 2 1 3∶ ∶ ∶∶DF FC AB ， 4 1 9∶ ∶ ∶∶   DFG CEF ABES S S ． 连 结 DE ， 则 3△ △DEC FECS S ， 1 2△ △ DEC AEB ABCDS S S ， 24 △ABCD CEFS S ， 1010 24△梯形  CEF ABCDAEFGS S S ， 所 以 24 24 15 3610 10梯形   ABCD AEFGS S 平方厘米． 【答案】 36 平方厘米 【例 14】一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为 1，1，l，l，2，3．大长方形 的面积是 ． 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】【解析】面积为 2 的部分可以划分为两个单位三角形，并可观察出，空白部分可以划分为 14 个单位三角形。 所以，大长方形的面积为 1+1+14+3=19。 【答案】19 【例 15】如右图，一个面积为 2009 平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三 个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且 B 是 AC 的中点；那么阴影长方形 的面积是 平方厘米． 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，7 题 【解析】【解析】方法一：设等腰直角三角形的腰长为 a ，那么等腰直角三角形的面积为 2 2 a ．因为 B 是 AC 的中点， 那么可以判断三个梯形的高都是 2 a ．这样每个梯形的两底之和为 2 2 22 2   a a a ，其中左右两个梯形， 上底比下底短 2 a ，可求得左右两个梯形的上底为 3 4 a ，下底为 5 4 a ．上边的梯形，上底比下底短 a ， 可求得上边的梯形上底长为 2 a ，下底长 3 2 a ．所以长方形的宽为 3 7 4 4  a aa ，长为 5 2 2   a aa a ．所 以大长方形的面积为 27 5 35 4 2 8  a a a ，而阴影长方形的面积为 215 8 a ，所以阴影长方形的面积为 35 152009 8618 8    ． 方法二：利用图形分割如下图知道左右两个角上的直角三角行可以分割为四个小直角三角行看做 4 份，因为两个等腰直角三角形、三个梯形的面积相等，所以这五部分共可以看作 20 份，长方形的面 积可以看作 15 份，所以整个图形被 20 15=35 （份），那么阴影长方形的面积是 2009 35 15=861  （平 方厘米） 【答案】 861平方厘米 【例 16】如图中正六边形的面积为 24，其中 A、B、C 都是所在边的中点，D 是 BC 的三等分点，阴影部分 的面积是________。 【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 7 题 【解析】【解析】5 在格点图中，每个小三角形的面积是1，可以数出阴影外面的部分 19，那么阴影部分的面积是 5 。 【答案】 5 【例 17】正六边形 A1A2A3A4A5A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点； 那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米． 【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，14 题 【解析】【解析】如图，设 6 2B A 与 1 3B A 的交点为 O ，则图中空白部分由 6 个与 2 3A OA△ 一样大小的三角形组成，只要 求出了 2 3A OA△ 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积. 连接 6 3A A 、 6 1B B 、 6 3B A 设 1 1 6A B B△ 的面积为“1”，则 1 2 6B A B△ 面积为“1”， 1 2 6A A B△ 面积为“ 2 ”，那么 6 3 6A A B△ 面积为 1 2 6A A B△ 的 2 倍，为“ 4 ”，梯形 1 2 3 6A A A A 的面积为 2 2 4 2 12    ， 2 6 3A B A△ 的面积为“ 6 ”， 1 2 3B A A△ 的面积为 2 根据蝴蝶定理， 1 2 6 3 2 61 3 1 6B A B A A BB O A O S S  △ △∶ ∶ ，故 2 1 2 33 6 12 1 6 7A OA B A AS S △ △ ， 所以 2 3 1 2 3 6A A A A 12 12 77A OAS S △ 梯形∶ ∶ ∶1∶ ，即 2 3A OA△ 的面积为梯形 1 2 3 6A A A A 面积的 1 7 ，故为六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 面积的 1 14 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 1 3614 7   ，所以阴影部分面积为 32009 1 11487       (平方厘米). 方法二：分割如下图：整个图形被分成 7 个小的正六边形，每个面积为 2009 7=287 ，根据下图知 道，阴影部分是由一个小正六边形和六个半个小六边行组合而成，合计为 4 个小六边形，面积是 287 4=1148 （平方厘米） 【答案】1148 平方厘米 【例 18】如右图，长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形．已知 AB=22 厘米，BC=20 厘米，那么每一 个正方形的面积为 平方厘米． 【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，15 题 【解析】【解析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为 a ，短直角边长为 b ， 那么根据大长方形的长宽可列出方程组： 3 2 22 3 20      a b a b ，解得 6 2    a b ，所以每个小正方形的面积为  2 2 26 2 2 6 2 2 6 40       平方厘米． 【答案】 40 平方厘米