小学奥数5-4-4 完全平方数及应用（一）.教师版

5-4-4.完全平方数及应用（一） 教学目标 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2a ，则 p 能被 a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数  自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 2 1 |np N ，则 2 |np N ． 性质4：完全平方数的个位是6  它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 2 2 ( )( )a b a b a b    例题精讲 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝ 211 ； 12321 ＝ 2111 ；1234321 ＝ 21111 …… ， 于是 ， 我 们归 纳 为 1234…n…4321= 2(111 1) n个1 ， 所以 ， 1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积 为 7777777 的平方． 【答案】7777777 【例 2】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1)             是 的平方． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】【解析】 21234567654321 1111111 ， 21 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 7             ， 原式 2 2(1111111 7) 7777777   ． 【答案】7777777 【例 3】 已知自然数 n 满足：12!除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是 。 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 9 题 【解析】（法 1）先将12 ！分解质因数： 10 5 212! 2 3 5 7 11     ，由于12!除以 n 得到一个完全平方数，那么 这 个 完 全 平 方 数 是 12! 的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 10 4 22 3 5  ， 所 以 n 最 小 为 10 4 212! 2 3 5 3 7 11      231 。 （法 2）12!除以 n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中 3、 7 、11的幂次是奇数，所以 n 的 最小值是 3 7 11 231   。 【答案】 231 【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】平方数的末尾只能是 0，1，4，5，6，9，因为 111，444，555，666，999 都不是完全平方数，所以 所求的数最小是 4 位数．考察 1111，1444……可以知道1444 38 38  ，所以满足条件的最小正整数 是1444 ． 【答案】1444 【例 5】 A 是由 2002 个“4”组成的多位数，即 2002 4 444 4 个 ，A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B； 如果不是，请说明理由． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】 2 2002 4 2002 444 4 2 111 1A      个 个1 ．如果 A 是某个自然数的平方，则 2002 111 1 个1 也应是某个自然数的平方， 并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数， 而 2002 2001 111 1 1 111 10    个1 个1 不是 4 的倍数，矛盾，所以 A 不是某个自然数的平方． 【巩固】【巩固】 A 是由 2008 个“4”组成的多位数，即 44 4 2008个4 ， A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B ；如 果不是，请说明理由． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不是．  244 4 2 11 1A     2008个12008个4 假设 A 是某个自然数的平方，则 11 1 2008个1 也应是某个自然数的平方，并且 是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而  11 1 1 11 10   2008个1 2007个1 不是 4 的倍数，与假设矛盾．所以 A 不是某个自然数的平方． 【例 6】 计算111 1 2004个1 － 222 2 1002个2 =A×A，求 A． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】此题的显著特征是式子都含有111 1 n个1 ，从而找出突破口. 111 1 2004个1 － 222 2 1002个2 =111 1 1002个1 000 0 1002个0 －111 1 1002个1 =111 1 1002个1 ×（1000 0 1002个0 -1） =111 1 1002个1 ×（ 999 9 1002个9 ） =111 1 1002个1 ×（111 1 1002个1 ×3×3）= 2A 所以，A＝ 333 3 1002个3 . 【答案】 333 3 1002个3 【例 7】 ① 2 2004 4 2003 8 444 4888 89 A  个 个 ，求 A 为多少? ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？ 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： 注意到有 2004 4 2003 8 444 4888 89  个 个 可以看成 4 8 444 4888 89  n个 n-1个 ，其中 n＝2004； 寻找规律：当 n=1 时，有 249 7 ； 当 n=2 时，有 24489 67 ； 当 n=3 时，有 2444889 667 …… 于是，类推有 2004 4 2003 8 444 4888 89  个 个 = 2 2003 6 666 67 个 方法二：下面给出严格计算： 2004 4 2003 8 444 4888 89  个 个 = 4 444 4000 0  2004个 2004个0 + 2004 888 8 个8 +1； 则 4 444 4000 0  2004个 2004个0 + 2004 888 8 个8 +1＝111 1 2004个1 ×（4× 0 1000 0 2004个 +8）+1 ＝111 1 2004个1 ×［4×（ 9 999 9 2004个 +1）+8］+1 ＝111 1 2004个1 ×［4×（ 9 999 9 2004个 ）+12］+1 ＝ 2(111 1) 2004个1 ×36+12×111 1 2004个1 +1 ＝ 2(111 1) 2004个1 ×36+2×（6×111 1 2004个1 ）+1 ＝ 2 2(666 66 1) (666 67)    2004个6 2003个6 ② 由①知 4 444 4888 89   n个 n-1个8 ＝ 2666 67 n-1个6 ，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令 12n+1=2005 解得 n=167，所以 4 444 4888 89   167个 166个8 = 2666 67 166个6 。所以存在这样的数，是 4 444 4888 89   167个 166个8 【答案】（1） 2 2003 6 666 67 个 ,（2） 4 444 4888 89   167个 166个8 = 2666 67 166个6 模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征 【例 8】 下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6                    ，这个算式的得数 能否是某个数的平方？ 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是 0，1，4， 5，6，9，而 2，3，7，8 不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和 的个位数为 0，后面二项中每项都有因子 2 和 5，个位数一定是 0，因此，这个 0 算式得数的个位数 是 3，不可能是某个数的平方． 【答案】不是 【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位 数共有________个． 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 10 题 【解析】 49 1 4 9 25    ，1,2,3,5 全排列共有 24 个。 【答案】 24 【例 10】用 1～9 这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方 数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ． 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复试，11 题 【解析】【解析】四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是 362＝1296．当四位完全平方数是 1296 时，另两个 平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位只能是 2，但数字 2 在 1296 中已经使用．当 四位完全平方数是 372＝1369 时，另两个平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位一 样只能是 2，还剩下 7,8，而 784 恰好为 282．所以，其中的四位完全平方数最小是 1369． 【答案】1369 【例 11】称能表示成 1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数 N，它既是三角数，又是完全 平方数，N= 。 【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 14 题 【解析】【解析】N=k×(1+k)/2=m^2，4 位数的话 2000