小学奥数5-5-3 余数性质（一）.学生版

5-5-3.余数性质（三） 教学目标 1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃 9 法，并运用其解题 知识点拨 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23－16＝7 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23－14＝9 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。 例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。 例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23×19 除以 5 的余数等于 3×4 除以 5 的余数，即 2. 乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 na 与 nb 除以 m 的余数也相同． 二、弃九法原理 在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一 个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是 这样进行的： 例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923     1234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。 而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。 所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。 利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的 但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往 可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。 例题精讲 模块一、余数的加减法定理 【例【例 11】】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖。平均分发完毕，还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖。这班里共有_______位小朋友。 【例【例 22】】 在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组．这 样的数组共有______组． 【例【例 33】】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【例【例 44】】 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是______． 【巩固】【巩固】 用自然数 n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=________． 【例【例 55】】 如果 1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么 1！+2！+3！+……+100！ 的个位数字是多少？ 【例【例 66】】 六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买《成语大 词典》．一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本．这种《成语大词典》的定价是________元． 【巩固】【巩固】商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个 顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克． 【巩固】【巩固】六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是 ________． 【例【例 77】】 从 1，2，3，4，…，2007 中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 15 整除．N 最大为 多少？ 【例【例 88】】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的岁数都是 一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 【例【例 99】】 有三所学校，高中 A 校比 B 校多 10 人，B 校比 C 校多 10 人．三校共有高中生 2196 人．有一所学 校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5 倍；还有一所学校高中、初 中人数相等．三所学校总人数是 5480 人，那么 A 校总人数是________人． 模块二、余数的乘法定理 【例【例 1010】】求 2461 135 6047 11   的余数． 【巩固】【巩固】求 478 296 351  除以 17 的余数． 【巩固】【巩固】求 437 309 1993  被 7 除的余数． 【例【例 1111】】求 478 2569 352  除以 9 的余数． 【例【例 1212】】一个数被 7 除，余数是 3，该数的 3 倍被 7 除，余数是 。 【例【例 1313】】在图表的第二行中，恰好填上89 98～ 这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的 余数都是 3． 【例【例 1414】】 2 2 2 21 2 3 2001 2002     除以 7 的余数是多少？ 【例【例 1515】】求 126443 19 的余数 【巩固】【巩固】求 89143 除以 7 的余数． 【巩固】【巩固】求 4063 写成十进制数时的个位数． 【巩固】【巩固】 2010 2009 2009 2009 2009   个 的个位数字是________． 【巩固】【巩固】2007×2007×…×2007（2008 个 2007）的个位数字是 。 【例【例 1616】】今天是星期四， 100010 天之后将是星期几？ 【例【例 1717】】 求 19973 的最后两位数． 【例【例 1818】】求1~ 2008 的所有自然数中，有多少个整数 a 使 2a 与 2a 被 7 除余数相同？