小学奥数5-4-5 完全平方数及应用（二）.教师版

5-4-5.完全平方数及应用（二） 教学目标 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2a ，则 p 能被 a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数  自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 2 1 |np N ，则 2 |np N ． 性质4：完全平方数的个位是6  它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 2 2 ( )( )a b a b a b    例题精讲 模块一、平方差公式运用 【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数 45045？ 【考点】平方差公式运用 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这两个数分别是 a 和 b，那么有 ab(a-b)=45045,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到 45045。 【答案】不能得到这样的数 【例 2】 一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这个数减去 63 为 2A ，减去100 为 2B ，则   2 2 100 63 37 37 1A B A B A B         ， 可知 37A B  ，且 1A B  ，所以 19A  ， 18B  ，这样这个数为 218 100 424  ． 【答案】424 【巩固】【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为 2A 、 2B ，那么这两个完全平方数的差为   54 A B A B   ，由于  A B 和  A B 的奇偶性质相同，所以   A B A B  不是 4 的倍数， 就是奇数，不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么 题中所说的数是找不到的． 【答案】不存在这样的数 【巩固】【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】假 设 能 找 到 ， 设 这 两 个 完 全 平 方 数 分 别 为 2A 、 2B ， 那 么 这 两 个 完 全 平 方 数 的 差 为   54 A B A B   ，由于  A B 和  A B 的奇偶性质相同，所以   A B A B  不是 4 的倍数， 就是奇数，所以 54 不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到． 【答案】不存在这样的数 【巩固】【巩固】一个正整数加上 132 和 231 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】设该正整数为 a，根据题意得 2132a m  ， 2231a n  两式相减得    99n m n m   ,注意到 n m 和 n m 的奇偶性相同，都是奇数．因为 99 99 1 33 3 11 9      ，所以 99n m  ， 1n m  或 33n m  ， 3n m  或 11n m  ， 9n m  ．解得 50n  ， 49m  或 18n  ， 15m  或 10n  ， 1m  ， 但是 10n  ， 1m  不符合是正整数的条件．因此 249 132 2269a    ，或者 215 132 97  ．所以这 个正整数是 2269 或 97． 【答案】2269 或 97 【例 3】 两个完全平方数的差为 77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【考点】平方差公式运用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这两个完全平方数分别是 2A 和 2B ，且 2 2 77A B  ，则两个完全平方数的和可以表示为 277 2B ， 所以 B 越大，平方和越大， B 越小，平方和越小，而    77A B A B   ， 77 7 11 1 77    ，当 77A B  ， 1A B  时，B 取得最大值 38 ，此时两个完全平方数的和最大，为 2965 ；当 11A B  ， 7A B  时， B 取得最小值 2，此时两个完全平方数的和最小，为 85． 【答案】最小 85，最大 2965 【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为 80，第二大的数减去最小的 数的差为 60，求这三个数． 【考点】平方差公式运用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这三个数从大到小分别为 2A 、 2B 、 2C ，那么有    80A B A B   ，    140A C A C   ，因 为140 2 2 5 7    ，A C 、A C 同奇同偶，所以有 14A C  ， 10A C  或 70A C  ， 2A C  ， 分别解得 12A  ， 2C  和 36A  ， 34C  ，对于后者没有满足条件的 B，所以 A 只能等于 12， 2C  ， 继而求得 8B  ，所以这三个数分别为 212 =144 、 28 =64 、 22 =4 ． 【答案】三个数分别为144 、64 、 4 【例 5】 有两个两位数，它们的差是 14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数) 相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 【考点】平方差公式运用 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】2008 年， 【解析】【解析】设这两个两位数中较小的那个为 n ，则另外一个为 14n  ，由题知， 2 2( 14) 100n n k   ( k 为正整数)，即  7 7 25n k  ，由于  7,25 1 ，所以  25 7n  ，由于 n 与 14n  均为两位数，所以17 7 92n   ，故 7n  可能为 25、50 或者 75，n 可能为 18、43 或者 68．经 检验， 18n  、43、68 均符合题意，所以这两个两位数为 18、32，或者 43、57，或者 68、82． 【答案】这两个两位数为 18、32，或者 43、57，或者 68、82 【例 6】 A 是一个两位数，它的 6 倍是一个三位数 B，如果把 B 放在 A 的左边或者右边得到两个不同的五 位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么 A 的所有可能取值之和 为 ． 【考点】平方差公式运用 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】如果把 B 放在 A 的左边，得到的五位数为100 601B A A  ；如果把 B 放在 A 的右边，得到的五位数 为1000 1006A B A  ；这两个数的差为1006 601 405A A A  ，是一个完全平方数，而 2405 9 5  ， 所以 A 是 5 与一个完全平方数的乘积．A 又是一个两位数，所以可以为 25 2 、 25 3 、 25 4 ，A 的 所有可能取值之和为 2 2 25 2 5 3 5 4 145      ． 【答案】145 【例 7】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小 于 7．如果把组成它的数字都加上 3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． 【考点】平方差公式运用 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这个四位数为 2abcd m ①， 由于其各位数字都小于 7，所以每位数字都加 3，没有发生进位，故 2( 3)( 3)( 3)( 3)a b c d n     ② 由②  ①得： 2 33333 ( )( )n m n m n m     ③ 将 3333 分解质因数，有3333 3 11 101   ，其有      1 1 1 1 1 1 8      个约数，但是有 n m n m   ， 所以只有 4 种可能，即 3333 1 3333 3 1111 11 303 33 101        ． 由于 2 1000m abcd  ，故 30m  ，所以    2 60n m n m m     ； 又 2 ( 3)( 3)( 3)( 3) 10000n a b c d      ，所以 100n  ，故     2 200n m n m n     ； 一一检验，只有33 101 满足101 33 60  且101 33 200  ，所以 101n m  ， 33n m  ，得 34m  ， 原来的四位数为 234 1156 ． 【答案】1156 模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用 【例 8】 如果△+△= a ，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=___________. 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 5 题 【解析】【解析】根据题意， 2a  △ ， 0b  ， 2c △ ， 1d  ， 2 2 1a b c d      △ △ ( 1△ ) 2 100 ，则 1 10 △ ， 9△ . 【答案】 9△ 【例 9】 已知 ABCA 是一个四位数，若两位数 AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一 个不为 1 的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________． 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】本题综合利用数论知识，因为 AB 是一个质数，所以 B 不能为偶数，且同时 BC 是一个完全平方数， 则符合条件的数仅有 16 和 36，所以可以确定 B 为 1 或 3， 6C  ．由于 CA 是一个质数与一个不为 1 的完全平方数之积，在 61～69 中只有 63 和 68 符合条件，那么 A 为 3 或 8．那么 AB 可能为 31，33， 81，83，其中是质数的有 31 和 83，所以满足条件的四位数有 3163 和 8368． 【答案】3163 和 8368 【例 10】称能表示成1 2 3 k    的形式的自然数为三角数．有一个四位数 N ，它既是三角数，又是完全 平方数．则 N  ． 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】2007 年，走美 【解析】【解析】依题有 21 2 3 k a     ，即 2( 1) 2k k a   ．因为 k 与 1k  是两个连续自然数，其中必有一个奇 数，有奇数 2 2 a 相邻偶数 ．又由相邻自然数互质知，“奇数”与“ 2 相邻偶数 ”也互质，于是奇数 2m ， 2 2 n相邻偶数 ( a m n  )，而 2a 为四位数，有 32 99a  ，即 32 99m n   ，又 2m 与 22n 相邻， 有 7 12m  ． 当 7m  时， 2 49m  ，相邻偶数为 50 时， 5n  满足条件，这时 2 2(7 5) 1225a    ，即 1225N  ； 当 9m  时， 2 81m  ，相邻偶数为 80 和 82 都不满足条件； 当 11m  时， 2 121m  ，相邻偶数为 120 和 122 都不满足条件． 所以， 1225N  ． 【答案】1225 【例 11】自然数的平方按大小排成 1，4，9，16，25，36，49，…，问：第 612 个位置的数字是几？ 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】1 到 3 的平方是一位数，占去 3 个位置； 4 到 9 的平方是二位数，占去 12 个位置； 10 到 31 的平方是三位数，占去 66 个位置； 32 到 99 的平方是四位数，占去 272 个位置； 将 1 到 99 的平方排成一行，就占去 353 个位置，从 612 减去 353，还有 259 个位置． 从 100 到 300 的平方都是五位数，因此，第 612 个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字． 因为 259 51 5 4   ，即从 100 起到 150，共 51 个数，它们的平方都是五位数，要占去 255 个位置， 而151 151 22701  ，它的第 4 个数字是 0，所以第 612 个位置的数字是 0． 【答案】0 【巩固】【巩固】不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第 l6 个 数字是_________ 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，11 题 【解析】通过列举可得 1。 【答案】1 【例 12】由 2 2 2 2 226 1 5 1 3 4     ，可以断定 26 最多能表示为 3个互不相等的非零自然数的平方和，请你 判定 200 最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和． 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】 2 2 21 2 8 204 200    ＞L ，所以 200 不能表示成 8 个互不相等的非零自然数的平方之和，而 2204 2 200  ，所以 200 可以表示成 7 个互不相等的非零自然数的平方之和，所以 200 最多能表示 为 7 个互不相等的非零自然数的平方之和． 【答案】7 【例 13】有 4 个不同的数字共可组成 18 个不同的 4 位数．将这 18 个不同的 4 位数由小到大排成一排，其中 第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这 18 个数的平均数是： ． 【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 12 题 【解析】【解析】一般而言，4 个不同的数字共可组成 3 4 24P  （个）不同的 4 位数．如果只能组成 18 个不同的 4 位数， 说明其中必有 0，即按3 3 2 1 18    算出来的．在这四个不同的数中，则设最小的数 20 A小 中大 ， 倒数第二个则是 20 B大中 小 ，两数正好是一对反序数． 根据完全平方数特点，“小”、“大”两数必是 1，4，6，9 之中的两个．且中数在小大之间． 可以为以下 3 类： 当“大” 4 ，在 1024、1034 中，1034 不是完全平方数，1024 32 32  ，但 4201 不成立． 当“大” 6 ，1026、1036、1046、1056、4056．都不是完全平方数． 当“大”＝9， 在10 9中 的数中，取 233 1089 ，而 29801 99 在 40 9中 的数中，取 632，672 不成立． 在50 9中 的数中，取 672，732 不成立． 在 60 9中 的数中，取 732，772 不成立． 所以，符合条件的数只能是由 1089 开始的四位数， 求这 18 个数的和，有两种方法，一种是枚举法， 另一种是概率法，可以作为方法来记： 即，对于没有 0 的四位数 a ，b ，c ，d 排列互不相同的四位数时，共有 24 个数，每个数字在每位上 出现的概率机会是一样的，所以，每个数字在每位上都出现 24 4 6  （次）． 则总和为：   6 1111a b c d     ． 如果有一个数是 0，则在此基础上，考虑 0 作首位的部分要排除． 即：        0 6 1111 6 3 111 6444a b c a b c a b c               ， 所以，本题的总和为  1 8 9 6444 115992    ，所以，这 18 个数的平均数为115992 18 6444  ． 【答案】6444