小学奥数5-2-2 数的整除之四大判断法综合运用（二）.教师版

5-2-2.数的整除之四大判断法 综合运用（二） 教学目标 1. 了解整除的性质； 2. 运用整除的性质解题； 3. 整除性质的综合运用. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)． 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那 么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 么 bd｜ac； 例题精讲 模块一、11 系列 【例 1】 以多位数 142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 否被 11 整除. 【考点】整除之 11 系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】142857 1 100000 4 10000 2 1000 8 100 5 10 7 1            1 100001 1 4 1 9999 2 1001 1 8 1 99 5 11 1 7 1                ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 100001 4 9999 2 1001 8 99 5 11 4 1 8 2 7 5               ( ) ( ) 因为根据整除性质 1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 11 整除，再根据整除性质 1，要判 断142857 能否被 11 整除，只需判断 4 1 8 2 7 5 4 8 7 1 2 5          ( ) ( )能否被 11 整除，因此结 论得到说明. 【例 2】 试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和一定是 11 的倍数(如：1236 为原序数，那么它对应的反 序数为 6321，它们的和 7557 是 11 的倍数． 【考点】整除之 11 系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】设原序数为 abcd ，则反序数为 dcba ，则 abcd ＋ dcba 1000 100 10 1000 100 10a b c d d c b a       ( ) ( ) 1001 110 110 1001a b c d    11 91 10 10 91a b c d   ( )，因为等式的右边能被11整除，所以 abcd  dcba 能被 11 整除 【例 3】 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.已知这两个 4 位数的和是以下 5 个数 的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个 4 位数的和到底是多少? 【考点】整除之 11 系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这个 4 位数是 abcd ，则新的 4 位数是 bcda .两个数的和为 1001 1100 110 11abcd bcda a b c d     ,是 11 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9867 是 11 的倍数，故 正确的答案为 9867． 【答案】9867 模块二、7、11、13 系列 【例 4】 以多位数142857314275 为例，说明被 7、11、13 整除的规律. 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】142857314275 142 1000000000 857 1000000 314 10 00 275       142 (1000000001 1) 857 (999999 1) 314 (1001 1) 27 5          142 1000000001 142 857 999999 857 314 1001 314 27 5          (142 1000000001 857 999999 314 1001) (857 142 27 5 314)          因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 7、11、13 整除，再根据整除性质 1， 要判断142857314275 能否被 7、11、13 整除，只需判断857 142 275 314   能否被 7、11、13 整除， 因此结论得到说明. 【例 5】 已知道六位数 20 279□ 是 13 的倍数，求□中的数字是几？ 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】【解析】根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、 11 或 13 整除的特点知道： 279 20 =7 □ □，7□是 13 的倍数，□ 是 8 的时候是 13 倍数，所以知道 方格中填 1。 【答案】1 【例 6】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是 5，a 和 b，将它连续重复写 2008 次成为： 2009 5 5 5 5 ab ab ab ab 个 . 如果此数能被 91 整除，那么这个三位数 5ab 是多少？ 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】因为91 7 13  ，所以 2009 5 5 5 5 ab ab ab ab 个 也是 7 和 13 的倍数，因为能被 7 和 13 整除的特点是末三位和 前面数字的差是 7 和 13 的倍数，由此可知 2008 5 2007 5 5 5 5 5 5 5 5 000 ab ab ab ab ab ab ab ab ab    个 个 也是 7 和 13 的 倍数，即 2007 5 5 5 5 ab ab ab ab 个 也是 7 和 13 的倍数，依次类推可知 2007 5 5 5 5 ab ab ab ab 个 末三位和前面数字的差 即为： 2006 5 2005 5 5 5 5 5 5 5 5 000 ab ab ab ab ab ab ab ab ab    个 个 也是 7 和 13 的倍数，即 2005 5 5 5 5 ab ab ab ab 个 也是 7 和 13 的倍数，由此可知5ab 也是 7 和 13 的倍数，百位是 5 能被 7 和 13 即 91 整除的数是：91 6 546  ， 所以 46ab  . 【答案】546 【例 7】 已知四十一位数 55 5 99 9 □ （其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是多 少？ 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】我们知道 abcabc 这样的六位数一定能被 7、11、13 整除。原 41 位数中从高位数起共有 20 个 5，从 低位数起共有 20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出 555555，和 999999，从算式的结构上 将 就 是 进 行 加 法 的 分 拆 ， 即 ： 555555×10…00(35 个 0)+555555×10…00(29 个 0)+…+55□99+999999×10…00(12 个 0)+…+999999.这个算式的和就是原来的 41 位数，我们可以发现 每一组含有 555555 或 999999 因数的部分都已经是 7 的倍数，唯独剩余 55□99 待定，那么只要令 55□99 是 7 的倍数即可，即只要□44 是 7 的倍数即可，□应为 6。 【答案】6 【巩固】【巩固】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数 50 50 66 6?55 5   个6 个5 可被 7 整除？ 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】由于111111 111 1001  可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉 48 个数码，并不改变其对 7 的整除性，于是还剩下“ 66 55？ ”．从中减去 63035，并除以 10，即得“ 3 2 ？ ”可被 7 整除.此时不难 验证，具有此种形式的三位数中，只有 322 和 392 可被 7 整除．所以？处应填 2 或 9. 【答案】2 或 9 【例 8】 8 8 8 8 8ab ab ab ab ab 是 77 的倍数，则 ab 最大为_________? 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 9 题 【解析】 8 8 8 8 8 8 1001001001001ab ab ab ab ab ab  1001001001001既不是 7 的倍数，也不是11的倍数 所以8ab 是 7 和11的倍数 77 10 770  ， 770 77 847  ，847 77 924  所以 47ab  【答案】 47 【例 9】 一个 19 位数 99 77 770444 44  个个 能被 13 整除，求О内的数字． 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】∵13| 99 77 770444 44  个个 ，∴13| 9 77 770444 ，∴13|7777770000000+ 7770444 ∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13| 7770444 ，∴13| 7770  444 ∵ 444 13 43 2   ，∴13| 7770  2，∴设 7770 =7770 7770 13 597 9   ，∴0 13 (9 2) 6    【答案】6 【例 10】称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一 个 两 位 数 ， 它 恰 好 是 这 个 “ 两 头 蛇 数 ” 的 约 数 。 这 个 “ 两 头 蛇 数 ” 是 。（写出所有可能） 【考点】整除之 7、11、13 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 9 题，10 分 【解析】去掉头尾后的两位数必为1001的约数。1001的两位数的约数有11，13 ，77 ，91，所有可能的数为 1111，1131，1771，1911。 【答案】所有可能的数为1111，1131，1771，1911 模块三、特殊的数字系列 【例 11】学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就 是我的年龄。”老师今年 岁。 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分 【解析】方法一：操作找规律，当这个三位数为111 时， 111 (1 1 1) 37    ，当这个三位数为 222 时， 222 (2 2 2) 37    ，所以老师今年 37 岁。 方法二，设而不求设这个三位数为 aaa 时，根据题意列出式子整理得到：111 ( ) 37a a a a     。 【答案】 37 【例 12】已知两个三位数 abc 与 def 的和 abc def 能被 37 整除，试说明：六位数 abcdef 也能被 37 整除． 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】 1000 999 ( )abcdef abc def abc abc def       ，因为 999 能被 37 整除，所以 999abc  能被 37 整 除，而 ( )abc def 也能被 37 整除，所以其和也能被 37 整除，即 abcdef 能被 37 整除． 【例 13】一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.再将新的 4 位数的千位数字移到右端 构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5 个数的一个：①9865； ②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个 4 位数的和到底是多少? 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这个 4 位数是 abcd ，则最新的 4 位数是 cdab .两个数的和为 1010 101 1010 101abcd cdab a b c d     ,是 101 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9696 是 101 的倍数， 故正确的答案为 9696. 【答案】9696 【例 14】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被 17 整除，则这个数最小是________？ 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 11 题 【解析】各个数字不同的六位数最小是123456 ，123456 17 7262  ……2 7263 17 123471  ，123471 17 123488  ，123488 17 123505  ，123505+17=123522， 123522 17 123539  ，123539 17 123556  ，123556 17 123573  ，123573 17 123590  最小是123590 【答案】123590 【例 15】 王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679 ( ) □□□□□□□□□,然后说道:“只要同学 们告诉我你们喜欢 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你 喜欢的数字组成。”小明抢着说：“我喜欢 3。”王老师填上乘数“27”结果积就出现九个 3； 12345679 (27) 333333333  小宇举手说：“我喜欢 7。”只见王老师填上乘数“63”，积久出现九个 7： 12345679 (63) 777777777  ，小丽说：“我喜欢 8。”那么算式中应填上的乘数是 . 【考点】整除之特殊的数字系列 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】 实际上有12345679 9 111111111  ，因此 12345679 乘以9n （n 为 1,2,3,4,5,6,7,8,9）得到的积就能出现 9 个n ，所以要想得到 9 个8 应该乘以72 【答案】 72 模块四、综合系列 【例 16】有四个非零自然数 , , ,a b c d ，其中 c a b  ， d b c  .如果 a 能被 2 整除， b 能被 3 整除， c 能 被 5 整除， d 能被 7 整除，那么 d 最小是 ． 【考点】整除之综合系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛，6 题 【解析】令 2 , 3a k b l  ，则 6 2d l k  ，因为 d 能被 7 整除，最小 14，此时 c 取不到 5 的倍数；若 28d  ， 则 4, 2l k  ，所以 d 最小是 28． 【答案】 28 【例 17】若四位数9 8a a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是多少？ 【考点】整除之综合系列 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4 题，6 分 【解析】【解析】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以9 8a a 既能被 3 整除，也能被 5 整除．能被 5 整除的数的个位数字是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数．当 0a  时，9 8 17a a    ，不是 3 的倍数； 当 5a  时， 9 8 17a a    ，是 3 的倍数．所以， a 代表的数字是 5 【答案】5 【例 18】在六位数 3□2□1□ 的三个方框里分别填入数字，使得该数能被 15 整除，这样的六位数中最小的 是______. 【考点】整除之综合系列 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 13 题，5 分 【解析】15=5×3，最小数为 302010 【答案】 302010 【例 19】0～6 这 7 个数字能组成许多个没有重复数字的 7 位数，其中有些是 55 的倍数，最大的一个是（ ）。 【考点】整除之综合系列 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8 题 【解析】如果组成的 7 位数是 55 的倍数，55 11 5  说明这个数既是 5 的倍数也是 11 的倍数。能被 5 整除个 位为 5 或者 0，能被 11 整除说明这 7 位数的奇数位与偶数位的差是 11 的倍数，为 0、11、22……， 0 1 2 3 4 5 6 21       ，拆成的两组数的差分别为：5 和 16， 5 0 1 4 0 2 3      ， 16 6 5 3 2 6 5 4 1        ，又因为组成的数要最大为：6431205 或者 6342105，所以答案为 6431205 【答案】 6431205 【例 20】两个四位数 275A 和 275B 相乘，要使它们的乘积能被 72 整除，求 A 和 B . 【考点】整除之综合系列 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】考虑到 72 8 9  ，而 275A 是奇数，所以 275B 必为 8 的倍数，因此可得 2B  ；四位数 2752 各位数 字之和为 2 7 5 2 16    不是 3 的倍数也不是 9 的倍数，因此 275A 必须是 9 的倍数，其各位数字之 和 2 7 5 14A A     能被 9 整除，所以 4A  . 【答案】 4A  ， 2B  【例 21】一位后勤人员买了 72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去 两个数字.帐本是这样的：72 本笔记本，共□ 67.9 □元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求 笔记本的单价. 【考点】整除之综合系列 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】把□ 67.9 □元作为整数□ 679 □分.既然是 72 本笔记本的总线数，那就一定能被 72 整除，又因为 72 8 9  ，(8，9) 1 .所以8| □ 679 □，9 |□ 679 □. 8| □ 679 □，根据能被 8 整除的数的特征，8 |79□， 通过计算个位的□ 2 .又 9 |□ 6792 ，根据能被 9 整除的数的特征，9 | (□ 6 7 9 2    )，显然前面的 □应是 3.所以这笔帐笔记本的单价是： 367.92 72 5.11  (元). 【答案】5.11 【巩固】【巩固】小红为班里买了 33 个笔记本。班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到 9 3□□ 元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过 95 元，她实际用了 元。 【考点】整除之综合系列 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，5 分 【解析】9a.b3 元是 33 个本的总金额，那一定是 33 的倍数。因为 33=3×11，所以 9a.b3 一定是 11 和 3 的倍数， 即 9+3+a+b=3 的倍数，也就是 a+b=3 的倍数；同时 9+a-（3+b）=11，也就是 6+b-a=11;总上可知 a=2,b=7.s 所以她实际用了 92.73 元。 【答案】 92.73