5-5-3.同余问题
教学目标
1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
知识点拨
同余定理
1、定义：若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod
m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除
例如：17 与11除以 3的余数都是 2 ，所以 17 11（ ）能被 3整除．
（2）用式子表示为：如果有 a≡b ( mod m )，那么一定有 a－b＝mk,k 是整数，即 m|(a－b)
3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦
的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数 R，使得：N
与 R 对于除数 m 同余．由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余
数．
⑴ 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数；
⑵ 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4 或 25 除的余数；
⑶ 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数；
⑷ 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数；
⑸ 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数；（不够减的话先适
当 加 11 的倍数再减）；
⑹ 整数 N 被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与
偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的余数就是原数被 7，11 或 13 除的余数．
例题精讲
模块一、两个数的同余问题
【例 1】 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数.
【考点】两个数的同余问题 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】(法 1) 39 3 36 ，51-3=48，147 3 144 ，(36,144) 12 ，12 的约数是1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3
要小于除数，这个数是 4,6,12 ；
(法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意
两数差的公约数． 51 39 12 ，147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．
【答案】 4,6,12
【例 2】 某个两位数加上 3 后被 3 除余 1，加上 4 后被 4 除余 1，加上 5 后被 5 除余 1，这个两位数是______.
【考点】两个数的同余问题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】人大附中，分班考试
【解析】“加上 3 后被 3 除余 1”其实原数还是余 1，同理这个两位数除以 4、5 都余 1，这样，这个数就是[3、
4、5]+1=60+1=61。
【答案】 61
【例 3】 有一个自然数，除 345 和 543 所得的余数相同，且商相差 33．求这个数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于这个数除 345 和 543 的余数相同，那么它可能整除 543-345，并且得到的商为 33．所以所
求的数为 (543 345) 33 6 ．
【答案】 6
【例 4】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数，
则这个自然数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，
所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大
于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．
如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件；
如果这个数是 17，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件，所以
这个自然数是 17．
【答案】17
【例 5】 两位自然数 ab 与ba 除以 7 都余 1，并且 a b ，求 ab ba ．
【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 ab ba 能被 7 整除，即 (10 ) 10 ) 9a b b a a b （ （ ）能被 7 整除．所以只能有 7a b ，那么 ab 可
能为 92 和 81，验算可得当 92ab 时， 29 ba 满足题目要求， 92 29 2668ab ba
【答案】 2668
【例 6】 现有糖果 254 粒,饼干 210 块和桔子 186 个.某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果,一样
多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____
名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。
【考点】两个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】南京市，兴趣杯
【解析】设大班共有 a 名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是 1:3:2，所以余下的糖果、桔子
数 目 的 和 正 好 等 于 余 下 的 饼 干 数 ， 从 而 254+186-210 一 定 是 a 的 倍 数 ， 即
254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23 是 a 的倍数。同样，2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7
也一定是 a 的倍数。所以，a 只能是 23×2 的因数。但 a﹥40,所以 a=46。此时 254=46×5+24，
210=46×3+72，186=46×3+48。故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个。
【答案】小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个
模块二、三个数的同余问题
【例 7】 有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数.
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同
余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差
的公约数．101 45 56 ，59 45 14 ，(56,14) 14 ，14 的约数有1,2,7,14 ，所以这个数可能为 2,7,14 。
【答案】 2,7,14
【巩固】【巩固】有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几?
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题
【解析】这个数除 300、262，得到相同的余数，所以这个数整除 300－262＝38，同理，这个数整除 262－205
＝57，因此，它是 38、57 的公约数 19。
【答案】19
【巩固】【巩固】在除 13511，13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_________．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】因为13903 13511 392 , 14589 13903 686 ，由于 13511，13903，14589 要被同一个数除时，余
数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除． (392,686) 98 ，所以所求的最大整数是 98.
【答案】 98
【巩固】【巩固】140，225，293 被某大于 1 的自然数除,所得余数都相同。2002 除以这个自然数的余数是 .
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】三帆中学，入学测试
【解析】这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 293-225=68 的约数,又是
225-140=85 的约数，因此就是 68、85 的公约数,所以这个自然数是 17。所以 2002 除以 17 余 13。
【答案】13
【巩固】【巩固】三个数：23，51，72，各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是 。
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，6 分
【解析】 51 23 28 ， 72 51 21 ，（28，21）=7，所以这个除数是 7。
【答案】 7
【例 8】 学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，
那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】所求班级数是除以118,67,33 余数相同的数．那么可知该数应该为118 67 51 和 67 33 34
的公约数，所求答案为 17．
【答案】17
【例 9】 若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数
和余数的和为_______．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】设除数为 A．因为 2836，4582，5164，6522 除以 A 的余数相同，所以他们两两之差必能被 A 整除．又
因为余数是两位数，所以 A 至少是两位数．4582-2836=1746，5164 4582 582 ，6522 5164 1358 ，
因为 (582,1358) 194 ，所以 A 是 194 的大于 10 的约数．194 的大于 10 的约数只有 97 和 194．如果
194A ， 2386 194 14 120 ，余数不是两位数，与题意不符．如果 97A ，经检验，余数都是
23，除数 余数 97 23 120 ．
【答案】120
【例 10】一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为 a ， 2a ， 5a ，则这个自然数是多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】根据题意可知，这个自然数去除 290，233，195 时，得到相同的余数（都为 a ）．
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0．那么这个自然
数是 290 233 57 的约数，又是 233 195 38 的约数，因此就是 57 和 38 的公约数,因为 57 和 38
的公约数只有 19 和 1，而这个数大于 1，所以这个自然数是 19．
【答案】19
【巩固】【巩固】有 3 个吉利数 888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为 a,a+7,a+10,则这
个自然数是_____.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】，入学测试
【解析】处理成余数相同的，则 888、518-7、666-10 的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们
用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 888-656=232 的约数，也是
656-511=145 的约数，因此就是 232、145 的公约数,所以这个自然数是 29。
【答案】 29
【例 11】一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 5a 、 2a 、 a ，求这个自然数和 a 的值.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为 2a 的数： 429 5 2 848 ， 791 、 500 2 1000 ，这样这
些数被这个自然数除所得的余数都是 2a ，故同余.
将这三个数相减，得到848 791 57 、1000 848 152 ，所求的自然数一定是 57 和152 的公约数，
而 57,152 19 ，所以这个自然数是19 的约数，显然 1 是不符合条件的，那么只能是 19.经过验证，
当这个自然数是19 时，除 429 、791 、500 所得的余数分别为11、12 、6 ， 6a 时成立,所以这个自
然数是19 ， 6a .
【答案】 6
【例 12】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除
乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】根 据 题 意 ， 这 三 个 数 除 以 A 都 有 余 数 ， 则 可 以 用 带 余 除 法 的 形 式 将 它 们 表 示 出 来 ：
1 1603 A K r ， 2 2939 A K r ， 3 3393 A K r 由于 1 22r r ， 2 32r r ，要消去余数 1r ,
2r , 3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除
数和余数都扩大 2 倍，同理，第三个式子乘以 4．于是我们可以得到下面的式子： 1 1603 A K r
2 2939 2 2 2A K r 3 3393 4 2 4A K r 这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去
余数，意味着能被 A 整除． 939 2 603 1275 ， 393 4 603 969 ， 1275,969 51 3 17 ．51
的约数有 1、3、17、51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．
【答案】17
【例 13】已知 60，154，200 被某自然数除所得的余数分别是 1a ， 2a ， 3 1a ，求该自然数的值．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】根据题意可知，自然数 61，154，201 被该数除所得余数分别是 a ， 2a ， 3a ．
由于 2a a a ，所以自然数 261 3721 与154 同余；由于 3 2a a a ，所以 61 154 9394 与 201 同余，
所 以 除 数 是 3721 154 3567 和 9394 201 9193 的 公 约 数 ， 运 用 辗 转 相 除 法 可 得 到
(3567,9193) 29 ，该除数为 29．经检验成立．
【答案】 29
【例 14】有一个自然数，它除以15 、17 、19 所得到的商(＞1)与余数(＞ 0 )之和都相等，这样的数最小可能
是多少．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】
15 ...... 15 14
17 ...... 17 16
19 ...... 19 18
a
b
c
A a X X a A a X a a X
A b X X b A b X b b X
A c X X c A c X c c X
（ ） （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
14 16 18 72 |a b c a a 至少为 72 ， 15 15 72 1080a a aA a X X X
14 16 18 63|a b c b b 至少为 63 ， 17 17 63 1071b b bA b X X X
14 16 18 56 |a b c c c 至少为56 ， 19 19 56 1064c c cA c X X X
最小为 1081．
【答案】1081
【例 15】三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以 19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三
个数是_______，_______，_______。
【考点】三个数的同余问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】祖冲之杯
【解析】【解析】设所得的商为 a ，除数为 b ． (19 ) (23 ) (31 ) 2001a b a b a b ， 73 3 2001a b ，由 19b ，可
求得 27a ， 10b ．所以，这三个数分别是19 523a b ， 23 631a b ，31 847a b 。
【答案】523，631，847
模块三、运用同余进行论证
【例 16】在 3×3 的方格表中已如右图填入了 9 个质数。将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的自然数
称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数吗？为什么？
【考点】运用同余进行论证 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】因为表中 9 个质数之和恰为 100，被 3 除余 1，经过每一次操作，总和增加 3 的倍数，所以表中 9 个
数之和除以 3 总是余 1。如果表中 9 个数变为相等，那么 9 个数的总和应能被 3 整除，这就得出矛盾！
所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为 9 个相同的数。
【例 17】一个三位数除以 17 和 19 都有余数，并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的
商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】仁华学校
【解析】设这个三位数为 s ，它除以 17 和 19 的商分别为 a 和 b ，余数分别为 m 和 n ，则 17 19s a m b n ．
根据题意可知 a m b n ，所以 s a m s b n ，即16 18a b ，得8 9a b ．所以 a 是 9 的倍
数， b 是 8 的倍数．此时，由 a m b n 知 8 1
9 9n m a b a a a ．由于 s 为三位数，最小为
100 ， 最 大 为 999 ， 所 以 100 17 999a m ， 而 1 16m ， 所 以 17 1 17 999a a m ，
100 17 17 16a m a ，得到5 58a ，而 a 是 9 的倍数，所以 a 最小为 9，最大为 54．当 54a 时，
1 69n m a ，而 18n ，所以 12m ，故此时 s 最大为17 54 12 930 ；当 9a 时， 1 19n m a ，
由于 1m ，所以此时 s 最小为17 9 1 154 ．所以这样的三位数中最大的是 930，最小的是 154．
【答案】最大的是 930，最小的是 154
【例 18】从 1，2，3，……，n 中，任取 57 个数，使这 57 个数必有两个数的差为 13，则 n 的最大值为多少？
【考点】运用同余进行论证 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】被 13 除的同余序列当中，如余 1 的同余序列，1、14、27、40、53、66……，其中只要取到两个相
邻的，这两个数的差为 13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为 13，不同的同余序列当中
不可能有两个数的差为 13，对于任意一条长度为 x 的序列，都最多能取
2
xx
个数，使得取出的数
中没有两个数的差为 13，即从第 1 个数起隔 1 个取 1 个．
基于以上，n 个数分成 13 个序列，每条序列的长度为
13
n
或 113
n
，两个长度差为 1 的序列，要
使取出的数中没有两个数的差为 13，能够被取得的数的个数之差也不会超过 1，所以为使 57 个数中
任意两个数的差都不等于 13，则这 57 个数被分配在 13 条序列中，在每条序列被分配的数的个数差
不会超过 1，那么 13 个序列有 8 个序列分配了 4 个数，5 个序列分配了 5 个数，则这 13 个序列中 8
个长度为 8，5 个长度为 9，那么当 n 最小为 8 8 9 5 109 时，可以取出 57 个数，其中任两个数
的差不为 13，所以要使任取 57 个数必有两个数的差为 13，那么 n 的最大值为 108．
【答案】108
【例 19】设 2 1n 是质数，证明： 21 ， 22 ，…， 2n 被 2 1n 除所得的余数各不相同．
【考点】运用同余进行论证 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】略
【答案】假设有两个数 a 、 b ，(1 b a n )，它们的平方 2a ， 2b 被 2 1n 除余数相同．那么，由
同余定理得 2 2 0(mod(2 1))a b n ，即 ( )( ) 0(mod(2 1))a b a b n ，由于 2 1n 是质数，所以
0(mod(2 1))a b n 或 0(mod(2 1))a b n ，由于 a b ，a b 均小于 2 1n 且大于 0，可知，a b
与 2 1n 互质， a b 也与 2 1n 互质，即 a b ， a b 都不能被 2 1n 整除，产生矛盾，所以假设不
成立，原题得证．
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