小学奥数5-2-4 整数分拆之最值应用.教师版

5-2-2.整数分拆之最值应用 教学目标 1. 熟练掌握整除的性质； 2. 运用整除的性质解最值问题； 3. 整除性质的综合运用求最值. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)． 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那 么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 么 bd｜ac； 例题精讲 模块一、2、3、5 系列 【例 1】 要使15 6abc 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么 , ,a b c 分别是多少？ 【考点】整除最值之 2、3、5 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】分解为互质的几个数的乘积，36 4 9  分别考虑所以 6c 能被 4 整除,从而 c 只可能是 1，3，5，7，9. 要使商最小， ,a b 应尽可能小，先取 0a  ，又1 5 6 12a b c b c        ，所以3 b c  是 9 的倍 数所以 1b  ， 5c  时，取得最小值. 【答案】 0a  ， 1b  ， 5c  【例 2】 把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最 后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【考点】整除最值之 2、3、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 和 5 的个数决定的，有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零．由 于相邻两个自然数中必定有一个是 2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观 察因数 5 的个数就可以了．5 5 1  ，10 5 2  ，15 5 3  ，20 5 4  ，25 5 5  ，30 5 6  ，……， 发现只有 25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 55 时共出现11 2 13  个因 数 5，所以至少应当写到 55，最多可以写到 59． 【答案】最小 55，最大 59 【巩固】【巩固】把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末 53 位恰好都是零，那么最后 出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【考点】整除最值之 2、3、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】1 到 10 的乘积里会出现 2 5 和 10 两次末尾添零的情况，估算从 200 开始，是 40 8 1 49   个 0，还 要扩大至 220 时再增加 4 个 0，所以最小的数应该是 220，而最大应该是 224． 【答案】最小的数应该是 220，而最大应该是 224 【例 3】 各位数码是 0、1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？ 【考点】整除最值之 2、3、5 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】被合数整除把 225 分解，分别考虑能被 25 和 9 整除特征。 225 9 25  ，所以要求分别能被 25 和 9 整除。要能被 25 整除，所以最后两位就是 00。要能被 9 整除，所以所有数字的和是 9 的倍数，为 了使得位数尽可能少，只能是 4 个 2 和 1 个 1，这样得到 1222200。 【答案】1222200 【例 4】 在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的 小。 【考点】整除最值之 2、3、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】方法一：设补上数字后的六位数是865abc ，因为这个六位数能分别被 3、4、5 整除，所以它应满足 以下三个条件： 第一：数字和 (8 6 5 )a b c     是 3 的倍数； 第二：末两位数字组成的两位数 bc 是 4 的倍数； 第三：末位数字 c 是 0 或 5。 由以上条件，4| bc ，且 c 只能取 0 或 5， 又能被 4 整除的数的个位数不可能是 5， ∴c 只能取 0，因而 b 只能取 0，2，4，6，8 中之一。 又3| 865 0ab ，且（8+6+5）除以 3 余 1，∴ a b 除以 3 余 2。 为满足题意“数值尽可能小”，只需取 0a  ， 2b  。∴要求的六位数是 865020。 方法二：利用试除法，由于要求最小数，用865000 进行试除分别被 3、4、5 整除，就是被 60 整除， 865000 60 14416 40   ，所以865000 20 865020  能被 60 整除 ∴要求的六位数是 865020。 【答案】865020 模块二、11 系列 【例 5】 由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？ 【考点】整除最值之 11 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为 11 的倍数，我们 不妨设奇数位上的数和为 a，偶数位上的数和为 b，那么有 a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有 a-b=0 或 a-b=11 或 a-b=22…等情况，根据奇偶性分析自然数 a 与 b 的和为偶数，那么差也必须为偶数，但是 a-b 不可能为 22，所以 a-b=0，解得 a=b=14，则容易排列出最大数 875413. 【答案】最大数 875413 【例 6】 多位数 2009 20092009 2009736 n  个 ，能被 11 整除， n 最小值为多少？ 【考点】整除最值之 11 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】奇 数 位 数 字 之 和 为 6 7 2n  ， 偶 数 位 数 字 之 和 为 3 9n ， 这 个 多 位 数 被 11 整 除 ， 即 (3 9 ) (6 7 2 ) 7 10n n n      能被 11 整除，n 最小取 3． 【答案】n 最小取 3 【巩固】【巩固】 2009 20092009 200909 n  个 能被 11 整除，那么， n 的最小值为多少？ 【考点】整除最值之 11 系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】 2009 20092009 200909 n  个 中奇位数减偶位数的差为 (9 2) 9 7 9n n     ，当 5n  时， (7 9)n  是 11 的倍 数，所以 n 的最小值是 5. 【答案】 n 最小值是 5 模块三、综合系列 【例 7】 如果一个至少两位的自然数 N 满足下列性质：在 N 的前面任意添加一些数字，使得得到的新数的 数字和为 N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被 N 整除，则称 N 为“学而思数”。那么 最小的“学而思数”是 。 【考点】整除最值之综合系列 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2009 年，学而思杯，6 年级 【解析】【解析】求最小的“学而思数”N，而且 N 至少是两位数，故从最小的两位数 10 开始考虑，显然 10 不满足条件，接 着考虑 11，在 11 前面添加一些数字构成一个数字和是 11 的多位数，这个多位数的奇数位与偶数位的数 字和不可能相等，也不可能相差 11 的倍数，11 是满足要求的最小的学而思数。 【答案】11 【例 8】 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被 3、5、7、13 整除，这个数最大是多少？ 【考点】整除最值之综合系列 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】本题采用试除法。 因为 3，5，7，13 的最小公倍数为 1365，在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 99645 (100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减 1365 依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。 有 99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185． 所以，满足题意的 5 位数最大为 94185． 【答案】94185 【例 9】 请求出最大的七位数，使得它能被 3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个七位数是多 少？ 【考点】整除最值之综合系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】解法一： 因为 7×11×13＝1001，999×1001＝999999 不是七位数，这个七位数是 1001×abcd＝abcd000＋abcd， 如果 c 不是 9，那么 b 就会重复，所以 c＝9，因为是 5 的倍数，所以 d＝5，要使最大，先假设 a＝8 时，b 取 8，5，2 都不符合要求，当 a＝7 时，b 取 9，6，3，0 中 3 符合要求，所以最大的是 7402395 分析题意知，这个七位数是 7×11×13＝1001 的倍数，根据 1001 的特点， 解法二: 假设这个七位数是 abcdefg，满足 abcd－efg＝n00n，很容易得出 c＝0，f＝9，b 和 e 相差 1，如果 g ＝0，那么 a＝d，所以 g＝5。假设 a＝8，那么 d＝3，b 和 e 就是 2，1 或者 7，6，经检验都不符合 要求。假设 a＝7，那么 d＝2，b 和 e 就是 4，3，经检验刚好可以。这个七位数是 7402395. 【答案】7402395 【例 10】某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【考点】整除最值之综合系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶数 个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。 证明方法很简单，以连续 9 个奇数为例子： 我们可以令连续 9 个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 则他们的和为 9a，即为 9 的倍数。对 于连续 10 个自然数，可以为 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5 则它们的和为 10a+5=5（2a+1），即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数。 所以本题中要求的数是 5，9，11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 495. 【答案】最小值即 495 【例 11】一位工人要将一批货物运上山，假定运了 5 次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的 3 5 多 一些，比 3 4 少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运_______次，最多共要运________ 次。 【考点】整除最值之综合系列 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 23 题 【解析】可知工人每次搬的货物最少为全部的 3 25 ，最多为全部的 3 20 ，故要搬的次数最多为 25 3 ，最少为 20 3 ， 取整数后可得运完这批货物最少共要运 7 次，最多共要运 9 次。 【答案】最少 7 次，最多 9 次