小学奥数4-4-2 圆与扇形（二）.学生版

圆与扇形 例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积 2πr ；扇形的面积 2π 360 nr  ； 圆的周长 2πr ；扇形的弧长 2π 360 nr  ． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说 的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n ． 比如：扇形的面积  所在圆的面积 360 n ； 扇形中的弧长部分  所在圆的周长 360 n 扇形的周长  所在圆的周长 360 n  2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积  扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积  正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积  弓形面积 2 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块二 曲线型面积计算 【例 1】 如图，已知扇形 BAC 的面积是半圆 ADB 面积的 3 4 倍，则角CAB 的度数是________． D C B A 【例 2】 如下图，直角三角形 ABC 的两条直角边分别长 6 和 7 ，分别以 ,B C 为圆心， 2 为半径画圆，已知 图中阴影部分的面积是17 ，那么角 A 是多少度( π 3 ) 【例 3】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积的 3 5 ．如果量得小 圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 【例 4】 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少 厘米？( π 取 3) C B A 【例 5】 如图，边长为 12 厘米的正五边形，分别以正五边形的 5 个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧，请 问：中间阴影部分的周长是多少？( π 3.14 ) 【例 6】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色 部分面积． 【例 7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1S ，空白部分面积为 2S ，那么这两个部 分的面积之比是多少？(圆周率取3.14 ) 【例 8】 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：所余下的边 角料的总面积是多少平方厘米？ 【例 9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影部分的面积． 【例 10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10 厘米的小扇形．(圆周率取3.14 ) 【例 11】如下图所示， AB 是半圆的直径， O 是圆心，   AC CD DB  ， M 是 CD 的中点， H 是弦 CD 的中 点．若 N 是 OB 上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘 米． 【巩固】如图，C 、 D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为 6．求图中阴影部分的面积． 【例 12】如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部 分的面积之差．( π 取 3) 【例 13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取 3.14 ) 【巩固】如右图，两个正方形边长分别是 10 和 6，求阴影部分的面积．( π 取 3) 【例 14】如图， ABC 是等腰直角三角形， D 是半圆周的中点， BC 是半圆的直径．已知 10AB BC  ，那 么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14 ) 【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形， 按图中所给长度阴影部分面积为 ；( π 3.14 ) 【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分 的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？ 【例 17】(西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米 的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面 积是 77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．( π 3.14 ) 【例 18】已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆， 再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．( π 3.14 ) 【例 19】如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所 围成的阴影部分的面积．( π 取 3) 【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆．求阴 影部分面积．( π 取 3) 【例 20】 (四中考题)已知三角形 ABC 是直角三角形， 4cmAC  ， 2cmBC  ，求阴影部分的面积． 【例 21】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置 3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都 是100 平方厘米，盖住桌面的总面积是144 平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是 42 平方厘米. 那么图中 3个阴影部分的面积的和 是平方厘米. 【例 22】如图所示， ABCD 是一边长为 4cm 的正方形， E 是 AD 的中点，而 F 是 BC 的中点．以 C 为圆心、 半径为 4cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 G ，以 F 为圆心、半径为 2cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 H 点，若图中 1S 和 2S 两块面积之差为 2π (cm )m n (其中 m 、n 为正整数)，请问 m n 之值为何？ 第11题 S 2 S 1 G H F E D C B A S 图1 S 2 S 1 G H F E D C B A 【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14 ) 【例 23】如图，矩形 ABCD 中，AB  6 厘米，BC  4 厘米，扇形 ABE 半径 AE  6 厘米，扇形 CBF 的半径 CB  4 厘米，求阴影部分的面积．( π 取 3) 【巩固】求图中阴影部分的面积． 【巩固】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，( π 3.14 ) 【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取 3) B A 3 3 A 1.5 1.5 1.5 45 45 B 3 3 【巩固】图中阴影部分的面积是 ．( π 取 3.14 ) 【例 25】已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 1O 、 2O 、 3O 为圆心，求阴影部分的 面积．( π 3 ) 【例 26】一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法 运动到的部分，面积的和是_____．( π 取 3) 【例 27】已知半圆所在的圆的面积为 62.8 平方厘米，求阴影部分的面积．( π 3.14 ) 【例 28】如图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF；两个阴影部分 的面积相等．求扇形所在的圆面积． 【例 29】如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 20AB  ，阴影甲的面积比阴影乙的面积大 7，求 BC 长．( π 3.14 ) 【巩固】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 225cm ， 8cmAB  ，求 BC 的长度． II A B C I 【巩固】如图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小 28 平方厘米，AB 长 40 厘米．求 BC 的长度？( π 取 3.14 ) 【例 30】图中的长方形的长与宽的比为8:3 ，求阴影部分的面积． 【例 31】如图，求阴影部分的面积．( π 取 3) 【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为 6,8,10 ，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？ 【例 33】大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心 O 为顶点，半径 R 为边长作一个 正方形：再以 O 为顶点，以 r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为 50 平方厘米，求环 形面积．(圆周率取3.14 ) 【巩固】图中阴影部分的面积是 225cm ，求圆环的面积． 【例 34】已知图中正方形的面积是 20 平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．( π 取 3.14 ) 【巩固】图中小圆的面积是 30 平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．( π 取 3.14 ) 【巩固】(四中考题)图中大正方形边长为 a ，小正方形的面积是 ． 【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少 平方厘米？(取 22π 7  ) 【例 35】图中大正方形边长为 6 ，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形 (如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？( π 3.14 ) 【例 36】如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个圆．哪个图 中阴影部分的面积大？为什么？ 【例 37】如图，在 3 3 方格表中，分别以 A 、 E 、 F 为圆心，半径为 3、2、1，圆心角都是 90°的三段圆弧 与正方形 ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比 1 2: ?S S  S 2 S 1 F E D C B A 【例 38】如图中，正方形的边长是 5cm ，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取 3.14 ) 【例 39】如图，AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15，AEB 是以 C 为圆心，AC 为半径的圆弧． 求 阴影部分面积． 【例 40】如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆． RS 平行于 PQ ．如果大半圆的半径是 1 米，那么阴 影部分是多少平方米？( π 取 3.14 ) 【例 41】在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米．扇形 ADC 是以 D 为圆心，以 AD 为半径的 圆的一部分． 求阴影部分的面积． 3 2 1 A B C D 【例 42】某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在 桌面上能覆盖的面积为多少？ 4cm 【例 43】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米．每当太阳西下， 钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是 平方米． 【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？ 【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米．每当太阳西下， 钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？ 【巩固】如图，已知三角形 GHI 是边长为 26 厘米的正三角形，圆O 的半径为15 厘米． 90AOB COD EOF       ．求阴影部分的面积． 【例 44】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径， AB 弦约等于 17 厘米，半径为 10 厘米，求阴影部分的面积． O 2 O 1 B A 【例 45】下图中， 3AB  ，阴影部分的面积是 【例 46】如图， ABCD 是平行四边形， 8cmAD  ， 10cmAB  ， 30DAB   ，高 4cmCH  ，弧 BE 、 DF 分别以 AB 、 CD 为半径，弧 DM 、 BN 分别以 AD 、 CB 为半径，则阴影部分的面积为多少？(精 确到 0.01) 【例 47】如图所示，两条线段相互垂直，全长为 30 厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没 有滑动)．在圆周上设一个定点 P ，点 P 从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到 直线，而在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为 3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出) P 【例 48】将一块边长为12 厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方 形铁皮的面积的最大值. 图 1 图 2 图 3