小学奥数4-4-3 圆与扇形（三）.学生版

圆与扇形 例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积 2πr ；扇形的面积 2π 360 nr  ； 圆的周长 2πr ；扇形的弧长 2π 360 nr  ． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说 的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n ． 比如：扇形的面积  所在圆的面积 360 n ； 扇形中的弧长部分  所在圆的周长 360 n 扇形的周长  所在圆的周长 360 n  2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积  扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积  正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积  弓形面积 2 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块、曲线型旋转问题 【例 1】 正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条直线上，那么 A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚 动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留 π ) A B B C A 【巩固】直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长10 厘米．如下图所示，三角形 由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B ，C 点分别到达 1B ， 1C 点；再绕 1B 点转动，到达位置Ⅲ， 此时 A ， 1C 点分别到达 2A ， 2C 点．求 C 点经 1C 到 2C 走过的路径的长． 60 30 B 1 C 1 C 2 A 2 C B A Ⅲ Ⅱ Ⅰ 【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是 5cm ．让这 个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位 置．求点 A 走过的路程的长． Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ E D C B A 【例 2】 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如 图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 ) 【巩固】一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m ，求狗所能到的地方 的总面积．(圆周率按 3.14 计算) 3 3 【例 3】 如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60 ，此时 B 点移动到 'B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3计算)． 【例 4】 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米， 60ABC   ，此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为 中心，将 ABC 顺时针旋转120 ，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图 中阴影部分的面积．( π 取 3) 【巩固】如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋 转 90 ，问：三角形扫过的面积是多少？( π 取 3) 【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形 ABC 中， B 为直角，且 2BC  厘米， 4AC  厘米， 则在将 ABC 绕 C 点顺时针旋转120 的过程中， AB 边扫过图形的面积为 ．( π 3.14 ) C B A B' A' C B A 【例 5】 如下图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米。现在以 C 点为圆点，顺时针旋转 90 度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米 。（ =3.14） 【例 6】 如图 30-14，将长方形 ABCD 绕顶点 C 顺时针旋转 90 度，若 AB=4，BC=3，AC=5，求 AD 边扫 过部分的面积．( 取 3.14) 【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图， ABCD 是一个长为 4 ，宽为 3，对角线长为 5 的正方形，它绕 C 点按顺 时针方向旋转 90 ，分别求出四边扫过图形的面积． C B D A 【例 8】 (华杯赛初赛)半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小 铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【巩固】如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁 环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的 n ( 1n  )倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又 回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？ 【例 9】 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位 置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？ 【巩固】12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形(圆心的连线)． 用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬 币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？ 【例 10】一枚半径为 1 cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到 原来的位置，那么与原 A 点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长 为_______． F E D C B A F E D C B A 【例 11】先做一个边长为 2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲边三角形(如 左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那 样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？( π 3.14 ) C B A 2 2 2 【例 12】下图为半径 20 厘米、圆心角为 1440 的扇形图.点 C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的 B、K 弧线 分为 8 等份的点.求阴影部分面积之和． 【例 13】10 个一样大的圆摆成如图所示的形状．过图中所示两个圆心 A，B 作直线，那么直线右上方圆内 图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少? 【例 14】在图中，一个圆的圆心是 0，半径 r=9 厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取 3.14) 【例 15】图是由正方形和半圆形组成的图形．其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知 正方形的边长为 10，那么阴影部分的面积是多少?( 取 3.14)