小学奥数5-4-4 完全平方数及应用（一）.学生版

5-4-4.完全平方数及应用（一） 教学目标 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 知识点拨 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 2a ，则 p 能被 a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数  自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 2 1 |np N ，则 2 |np N ． 性质4：完全平方数的个位是6  它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 2 2 ( )( )a b a b a b    例题精讲 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【例 2】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1)             是 的平方． 【例 3】 已知自然数 n 满足：12!除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是 。 【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【例 5】 A 是由 2002 个“4”组成的多位数，即 2002 4 444 4 个 ，A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B； 如果不是，请说明理由． 【巩固】【巩固】 A 是由 2008 个“4”组成的多位数，即 44 4 2008个4 ， A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B ；如 果不是，请说明理由． 【例 6】 计算111 1 2004个1 － 222 2 1002个2 =A×A，求 A． 【例 7】 ① 2 2004 4 2003 8 444 4888 89 A  个 个 ，求 A 为多少? ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？ 模块二、平方数特征 （1） 平方数的尾数特征 【例 8】 下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6                    ，这个算式的得数 能否是某个数的平方？ 【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位 数共有________个． 【例 10】用 1～9 这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方 数．那么，其中的四位完全平方数最小是 ． 【例 11】称能表示成 1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数 N，它既是三角数，又是完全 平方数，N= 。 （2） 奇数个约数——指数是偶数 【例 12】在 2 2 4  ，3 3 9  ，4 4 16  ，5 5 25  ，6 6 36  ，……等这些算是中，4，9，16，25，36，…… 叫做完全平方数。那么，不超过 2007 的最大的完全平方数是_________。 【例 13】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数． 【例 14】1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是________． 【巩固】【巩固】已知 3528a 恰是自然数 b 的平方数，a 的最小值是 。 【例 15】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？ 【例 16】已知自然数 n 满足：12!除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是 。 【例 17】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最 小值为 ． 【例 18】求一个最小的自然数，它乘以 2 后是完全平方数，乘以 3 后是完全立方数，乘以 5 后是 5 次方数． 【例 19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所 有小于 2008 的美妙数的最大公约数是多少？ 【例 20】考虑下列 32 个数：1!， 2!， 3!，……， 32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一 个完全平方数，划去的那个数是 ． 【例 21】一个数的完全平方有 39 个约数，求该数的约数个数是多少？ 【例 22】有一个不等于 0 的自然数，它的 1 2 是一个立方数，它的 1 3 是一个平方数，则这个数最小 是 ． （3） 平方数的整除特性 【例 23】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有 的小于 2008 的“美妙数”的最大公约数是多少？ 【例 24】证明：形如 11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。 【例 25】记 (1 2 3 ) (4 3)S n k       ，这里 3n  ．当 k 在 1 至 100 之间取正整数值时，有 个不 同的 k，使得 S 是一个正整数的平方． 【例 26】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与 2002 的和都是完全平方数吗？若能够， 请举出一例；若不能够，请说明理由． 【例 27】 1 3 5 1991    的末三位数是多少？ 【例 28】求所有的质数 P，使得 24 1p  与 26 1p  也是质数． 【例 29】古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他 们把所得的钱买回了一群羊，每只羊 10 文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结 果第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人____ 文钱。