小学奥数4-2-2 巧求周长.学生版

4-2-2.巧求周长 知识点拨 一、基本概念 ①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长． ②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积． 二、基本公式： ①长方形的周长 2  (长  宽)，面积  长 宽． ②正方形的周长 4  边长，正方形的面积  边长 边长． 三、常用方法： （1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂 的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公 式求解． （2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状 变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转 化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形． （3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时， 思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找 到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若 干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法． （4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则 图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种 几何变换就是解决这类面积问题的手段． 四、几个重要的解题思想 （1）平移 在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一 个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利 用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意． （2）割补 割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确 地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的 新图形，它的面积不变． （3）旋转 在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在 转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题． （4）对称 平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也 就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积 计算会有很大帮助． （5）代换 在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧． 小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形 的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生 的观察能力、动手操作能力、综合运用能力． 例题精讲 模块一、图形的周长和面积——割补法 【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米) 【例 2】 如图所示，点 B 是线段 AD 的中点，由 A 、 B 、C 、 D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数， 若这些线段的长度之积为 10500，则线段 AB 的长度是 。 【例 3】 三只猴子走得一样快，所走的路线如下图。哪只猴子先吃到桃子，就在它旁边的( )里画勾。 【例 4】 在一个长方形的面积为 169 平方厘米。在这个长方形内任取一点 P，则点 P 到长方形四边的距离之 和最小值为_______厘米。 【例 5】 边长是15 厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？ 【巩固】用一块长 8分米，宽 4 分米的长方形纸板与两块边长 4 分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正 方形的周长是多少分米？ 【例 6】 用 7 个长 4 厘米，宽 3 厘米的长方形拼成一个大长方形，在所有可能的拼法中，大长方形周长的最 小值是 厘米。 【巩固】用 6 张边长为 2 厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是________厘米． 【巩固】用 6 张边长为 3 厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是_______厘米。 【例 7】 用若干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行 四边形的周长是 244 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？ 【巩固】用若干个边长都是 2 厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行 四边形的周长是 236 厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？ 【例 8】 将一个边长为 4 厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周 长之和比原来正方形的周长多几厘米？ 【巩固】把一个边长为 a 的正方形分成两个完全相同的长方形，则这两个长方形的周长的和是 。 【巩固】如图，两个长方形拼成了一个正方形。如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少 6 厘米，则正 方形面积是________平方厘米。 【巩固】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了 6 厘 米，原来一个正方形的周长是多少厘米？ 【例 9】 长方形 ABCD 长为 l0 厘米，宽为 4 厘米．E 是 BC 中点，四边形 ADCE 的周长比三角形 ABE 的 周长多（ ）厘米． 【例 10】（第六届走美四年级初赛第 15 题）E 是正方形 ABCD 的边 CD 上的三等分点(如图)，BE 把正方形 分成一个梯形和一个三角形．梯形的周长比三角形的周长大 8 厘米．正方形 ABCD 的面积是 ． E D C B A 【例 11】如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求： 图中所有长方形的周长之和． 【例 12】如图，从长方形纸片 ABCD 上剪去正方形 ADFE，剩下的长方形 EFCB 的周长是 100 厘米，则 AB 的长是 厘米。 【例 13】如图，正方形 ABCD 的边长是 6 厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成 9 个小长 方形。这 9 个小长方形的周长之和是 厘米。 【巩固】如图，正方形的边长为 4 ，被分割成如下12 个小长方形，求这12 个小长方形的所有周长之和． 【巩固】有一个长方形纸片，长比宽多 2 厘米，周长是 36 厘米，用剪刀剪 3下（如图），这 6 个长方形的周长 之和是 。 【例 14】如图，一个正方形被分割成 24 个互不重叠的小长方形，这 24 个小长方形的周长总和为 24 ，原正方 形的面积是 。 【例 15】如图，有一张长为 12 厘米，宽为 10 厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部 分的周长之和是_____________厘米． 【例 16】将若干个边长为1的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得到一个拼接图形，如图： 那么，要拼接成周长等于18 的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形． 模块二、图形的周长和面积——平移 【例 17】一个周长是 20 厘米的正方形，剪下一个周长是 6 厘米的正方形，剩下的图形的周长是______（写 出所有可能的结果） 【巩固】如图 3 所示，这是三个边长为 10 厘米的正方形纸片。从（1）和（2）中各剪去一个面积是 4 平方厘 米的小正方形，从（3）中剪去一个面积是 4 平方厘米的长方形。比较（1），（2），（3），剩下部分周 长最小的是_________（填图形编号），它的周长是_________厘米。 【例 18】一个长为12 厘米，宽为10 厘米的长方形，挖去一个边长为 4 厘米的正方形补在另一边上（如图）。 所得图形的周长为 厘米。 【巩固】一 个 周 长 是 20 厘 米 的 正 方 形 ， 剪 下 一 个 周 长 是 6 厘 米 的 正 方 形 ， 剩 下 的 图 形 的 周 长 是 ． (写出所有可能的结果) 【例 19】下边这个图形的周长等于_________厘米。 【巩固】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米？ 【巩固】求右图所示图形的周长(单位：分米) 【巩固】如下图是某校的平面图，已知线段 a＝120 米，b＝130 米，c＝70 米，d＝60 米，l＝250 米．杨老师 每天早晨绕学校跑 3 圈，问每天跑多少米？ 【例 20】下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17 米，南边篱笆长 23 米．四周篱笆长多少米？ 【巩固】右图的周长是 分米． 【巩固】计算右边图形的周长(单位：厘米)。 【巩固】下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长． 【例 21】将边长为 10 厘米的五张正方形纸片如图那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的 正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为___________ 厘米。 【例 22】下图是一面砖墙的平面图，每块砖长 20 厘米，高 8 厘米，像图中那样一层、二层…一共摆十层， 求摆好后这十层砖墙的周长是多少？ 【巩固】 “走美商场”开业了！每口如图有规律地放了一些同样的礼品盒供顾客免费领取。每一礼品盒宽 9 厘米，长18 厘米（取“永久发达”的吉祥寓意）。摆好后其上面四层的正面图如下图所示，共摆十 层，则一共有 个礼品盒，整个图形周长为 厘米。 【例 23】下图由 25 个边长为 3 厘米的小正方形拼成，它的周长为 厘米。 【例 24】如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是 52 个平方单位，试求这个图形的外沿周长是 多少个长度单位？ 【例 25】把长 2 厘米、宽 1 厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？ 【例 26】两只小蚂蚁同时从图中的 A 点出发开始爬向 B 点，红蚂蚁沿图中的实线爬行，黑蚂蚁沿图中虚线 爬行，如果两只蚂蚁的爬行速度相同，则最先到达 B 点的是 ． B A 【巩固】如下图，正方形操场边长 100 米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的 路长？ 它们各走了多少米？ 【例 27】求下图的周长． 【巩固】求右图的周长． 【巩固】右图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长？ 【例 28】下图的小正方形边长为 1 厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？ 【例 29】(第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是 ．(在横线上填写表示 图名的字母) 【例 30】如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长 5 厘米，这个零件高 30 厘米，求这个零件 侧面的周长是多少厘米？ 【例 31】图中是由周长都是 20 厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米？ 【巩固】下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成的“土”字图形．试求出其周长． 【例 32】右图是由16 个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是 400 平方厘米，那么它的周长是 多少厘米？ 【例 33】图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是 22 厘米，那么图⑵的周长是多少 厘米？ 【例 34】图中共有 16 条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量 出多少条线段的长度? 【例 35】如图，每个小格的边长都是 1 个单位长度，一只甲虫在水平方向上每爬行 1 个单位长度需要 5 秒， 在竖直方向上每爬行 1 个单位长度需要 6 秒，每拐弯一次需要 1 秒。它从 A 点爬到 B 点，最少需 要 秒。 【例 36】右图中的每个拐弯处的角都是直角，且它的八条边的边长分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 厘米。 这个图形的面积最大是_____________平方厘米；最小是__________平方厘米． 【例 37】如图，一个长方形被分成 A、B、C 三块，其中 B 和 C 都是长方形，A 的八条边的边长分别是 l、2、 3、4、5、6、7、8 厘米。那么 B 和 C 的面积和最多是 平方厘米。(示意图不成比例) 模块三、整体看问题 【例 38】下图中的阴影部分 BCGF 是正方形，线段 FH 长18 厘米，线段 AC 长 24 厘米，则长方形 ADHE 的 周长是 厘米． 【巩固】如图，在长方形 ABCD 中， EFGH 是正方形．已知 10cmAF  ， 7cmHC  ，求长方形 ABCD 的周 长． H G F E D C B A 【巩固】如图，长方形 ABCD 中有一个正方形 EFGH,且 AF=16 厘米，HC=13 厘米，长方形 ABCD 的周长 为 厘米。 【例 39】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形 被分割成了正方形区域甲，和 L 形区域乙和丙．甲的边长为 4 厘米，乙的边长是甲的周长的1.5 倍， 丙的周长是乙的周长的1.5 倍，那么丙的周长为多少厘米？ EF 长多少厘米？ 【例 40】图内 9 个相同的小长方形构成大长方形，大长方形周长为 90，则每个小长方形周长为 。 【例 41】有 9 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 9 个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是 45 平 方厘米，求这个大长方形的周长． 【例 42】右图的长方形被分割成 5 个正方形，已知原长方形的面积为120 平方厘米，求原长方形的长与宽． 【例 43】小明骑车到 A、B 和 C 三个景点旅游，如果从 A 地出发经过 B 地到 C 地，共行 10 千米；如果从 B 地出发经过 C 地到 A 地，共行 13 千米；如果从 C 地出发经过 A 地到 B 地，共行 11 千米，则距离 最短的两个景点之间相距 千米。