小学奥数4-2-1 基本图形的面积计算.教师版

4-2-1.基本图形的面积计算 知识点拨 小学数学平面图形计算公式： 1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长 2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长 3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽 4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高 7 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2 例题精讲 模块一、基本公式的应用 【例 1】 如图，两个正方形边长分别是 5 厘米和 4 厘米，图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形的空白部 分的面积相差多少平方厘米？ 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 9 题，10 分 【解析】5×5－4×4=9（平方厘米），两个正方形的空白部分的面积相差 9 平方厘米。 【答案】 9 平方厘米 【巩固】如图 12，边长为 4cm 的正方形将边长为 3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等 于 2cm 。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，19 题 【解析】空白部分的面积差等于两个正方形的面积差，即    4 4 3 3 7 （平方厘米）。 【答案】 7 平方厘米 【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽 2 米的路(如图)，这条路的面积是 120 平方米，那么水池 的面积是______ 平方米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，19 题 【解析】四个边角的面积和为 2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169 平 方米。 【答案】169 平方米 【例 3】 每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽 1 厘米的方框。把五个 这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图所示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是 多少平方厘米? 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 2 题 【解析】方框的面积是 2 210 8 。每个重叠部分占的面积是一个边长为 1 厘米的正方形。重叠部分共有 8 个  2 210 8 5 1 8 36 5 8 172        (平方厘米)。故被盖住的面积是 172 平方厘米。 【答案】172 平方厘米 【例 4】 如图 4 所示，长方形 ABCD 的长为 25，宽为 15。四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图 上标出，且横向的两组平行线都与 BC 平行。求阴影部分的面积。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 17 题，10 分 【解析】方法一、先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分． S阴影 =3×25+1×25+2×15+3×15-2×l-2×3-3×1-3×3=155. 方法二、可将四组平行线分别移至端线处，如图所示，移动后阴影部分面积不变。 长方形 ABCD 面积为：25×15=375；中间空白的长方形面积为：(25-2-3)×(15-1-3)=220。 所以： S阴影 =375-220=155。 【答案】155 【例 5】 如图，长方形被分成面积相等的 4 部分。X=（ ）厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 2 题 【解析】根据图形知道上面的长方形的面积为16 2 32  （平方厘米），所以四部分的面积分别为 32 平方厘 米，因为三角形的面积和右边的长方形面积相等 x 分别是长方形的宽和三角形的直角边，所以三角 形的另一条直角边和长方形的长之间是 2 倍关系为 1 1616 1 2 3   ，所以 x 值为： 1632 63   （厘米） 【答案】 6 厘米 【例 6】 如图，长 9 厘米，宽 8 厘米的长方形的中间有一个由两个长方形构成的十字形的阴影．如果阴影 部分的面积恰好等于空白部分的面积，那么 x= 厘米． 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 7 题 【解析】直线形汁算，首先单独看竖直的阴影正好将长方形分为相等的三份，要使阴影部分与空白部分面积 相等，那么水平的阴影与竖直阴影不重合的部分应该等于半份， 3 8 2 (9 3) 2x       【答案】 2 【例 7】 如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小正方形的边长是 6 厘米．问：这 块布中白色的面积占总面积的百分之几？ 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 5 题 【解析】格子布的面积是下图面积的 9 倍，格子布白色部分的面积也是图上白色面积的 9 倍，下图中白色部 分所占面积的百分比是： 14 14 6 6 20 20     ＝0.58＝58％，格子布中白色部分的面积是总面积的 58％. 【答案】 58% 【例 8】 如图，周长为 52 厘米的“L”形纸片可沿虚线分成两个完全相同的长方形．如果最长的边是 16 厘 米． 那么该“L”形纸片的面积是____平方厘米． 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 11 题 【解析】120 ，如图，周长 52 厘米- 2 最长边 16 厘米=2 个长．所以长=10 厘米，宽=6 厘米，“L”形纸片面 积是 2 10 6 120   平方厘米． 【答案】120 平方厘米 【例 9】 如图，正方形 ABCD 的边长是 l2 厘米， E 点在 CD 上， BO AE 于 O , OB 长 9 厘米，则 AE 长 _________厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 10 题，6 分 【解析】方法一：连结 BE 三角形 ABE 的面积是正方形面积的一半，根据三角形的面积公式算出 12 12 2 2 9 16AE       厘米。 方法二：在四边形 OECB 中，∠2+∠OEC=180°，因为∠3+∠OEC=180°，所以∠2=∠3，∠1=∠DAC, 所以, AB OB AE AD  ,即 12 9 12AE  ,所以 16AE  【答案】16 厘米 【例 10】如图 3，边长为 4 的正方形 ABCD 和边长为 6 的正方形 BEFG 并排放在一起， 1O 和 2O 分别是两个 正方形的中心(正方形对角线的交点)，则阴影部分的面积是______. 【考点】基本图形的面积计算 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 10 题，6 分 【解析】等于一个直角梯形减去两个直角梯形的面积,(2+3)×5÷2-2×2÷2-3×3÷2=6. 【答案】 6 【例 11】如图所示，长方形 AEGH 与正方形 BFGH 的面积比为 3：2，则正方形 ABCD 的面积是正方形 BFGH 的面积的______ 倍(结果写成小数) 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】第三届，五年级，复赛，第 15 题，6 分 【解析】由于长方形 AEGH 的面积与正方形 BFGH 的面积之比为 3：2.，则 EG:GF=3:2，令正方形 ABCD 的 边长为 5，则 AH=3，BH=2,所以正方形 GHFB 的面积为 4 而正方形 ABCD 的面积为 25，所以正方形 ABCD 的面积是 BFGH 的面积的 25÷4=6.25 倍。 【答案】 6.25 倍 模块二、简单的割补 【例 12】图中“风车”（阴影部分）的面积等于 2cm 。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，18 题 【解析】由割补法知：这个风车可以拼成一个长为 2 厘米的正方形，所以它的面积是 4 平方厘米。 【答案】 4 平方厘米 【例 13】如图，正方形硬纸片 ABCD 的每边长 20 厘米，点 E、F 分别是 AB、BC 的中点，现沿图 a 中的虚 线剪开，拼成图 b 所示的一座“小别墅”，则图 b 中阴影部分的面积是 平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7 题，5 分 【解析】20×20× 1 2 × 1 2 =100（平方厘米）。 【答案】100 平方厘米 【例 14】下列各图中，阴影部分的面积与整个图形面积的比值最大的是图 。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 9 题，6 分 【解析】4 个图比值分别为 1/3,3/8,1/4,1/4，比值最大的是图 B 【答案】 B 【例 15】在半径为 7 厘米的圆形场地边缘等距离地插 6 面彩旗，则相邻的两面彩旗的距离等于 米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 8 题，5 分 【解析】在圆上等距离的插 6 面彩旗相当于将圆六等分，这样 6 面旗刚好围成一个正六边形，变长为半径， 所以相邻两面旗的距离等于 7 米。 【答案】 7 米 【例 16】如图所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线 l 将原图形分为面积相等的两部分。l 与 AB 的交点为 E，与 CD 的交点为 F。若线段 CF 与线段 AE 的长度之和为 91 厘米，那么小正方形 的边长是 厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 4 题，10 分 【解析】因为 l 将图形分成面积相等的两部分，所以 AE CF 恰好是 3.5 个边长，所以，正方形的周长为 91 3.5 26  厘米 【答案】 26 厘米 【例 17】如图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ). （A） 1 2 （B） 2 3 （C） 2 5 （D） 5 12 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 1 题 【解析】A，每个空白正六边形能分成六个相同的正三角形，所以空白部分总共包含 12 个这样的正三角形； 而整个大平行四边形能分成 24 个这样的正三角形，所以空白部分占整个平行四边形的一半，那么阴 影部分也占整个平行四边形的一半。所以选 A。 【答案】 A 【例 18】如图 3，正六边形（各边相等，各内角相等）ABCDEF 的面积是 24，M，N 分别是 AF，CD 的中 点，若 MP∥AB，MO∥EF，PN∥BC，ON∥ED，那么，菱形（四条边相等）MPNO 的面积是 。 O P N M F E D C B A 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 6 题，5 分 【解析】根据图形分割思想，知道正六边形的面积是里面菱形面积的 3倍，所以菱形面积是 24 3 8  【答案】 8 【例 19】如图所示的四边形的面积等于 。 13 12 12 13 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 18 题，4 分 【解析】割补，面积为 12×12=144 【答案】144 【例 20】如图，四边形 ABCD 内有一点 P 到四条边 AB BC CD DA、 、 、 的距离 PE PF PM PN、 、 、 都等于 6 厘米。如果四边形 ABCD 的周长是 57 厘米，那么四边形 ABCD 的面积是___________平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，16 题 【解析】57×6  2＝171 平方厘米。 【答案】171 平方厘米 【例 21】 如图 5 所示阴影部分的面积是 66 平方厘米，则图中正方形的面积是_____平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 20 题，5 分 【解析】边长为 a，则有 5a+2a+5×2=66，a=8，所以正方形面积为 8×8=64 平方厘米 【答案】 64 平方厘米 【例 22】如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池，水池长 8 米、宽 3 米，水池周围用边长 为 1 米的方砖一圈一圈的向外铺.恰好铺了若干圈，共用了 152 块方砖，那么共铺了 圈. 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复赛，第 7 题 【解析】由于水池的四周均铺上方砖，那么铺上方砖后得到的大长方形的长与宽之差等于水池的长与宽之差， 为8 3 5  ．如果水池中也铺上方砖，需要 8 3 24  块，那么整个大长方形需要152 24 176  块， 而176 16 11  ，16 与 11 的差恰好为 5，所以大长方形的长为 16 米，共铺了 (16 8) 2 4   圈． 【答案】 4 圈 模块三、简单的旋转 【例 23】如图 ，最外面的正方形的面积是 60 平方厘米，则最里面的正方形的面积是 平方厘米。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，15 题 【解析】将中间的正方形旋转 45 度，则中间的正方形的面积为 60÷2=30 平方厘米，最里面的正方形的面积等 于 30÷2=15 平方厘米. 【答案】15 平方厘米 【例 24】如图，桌面上有 A、B、C 三个正方形，边长分别为 6，8，10。B 的一个顶点在 A 的中心处，C 的 一个顶点在 B 的中心处，这三个正方形最多能盖住的面积是________。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 14 题，5 分 【解析】可以证明，无论这个图形形状如何，正方形两两之间重叠的部分面积都是固定的，正方形 A、B 重 叠 的 部 分 为 6×6÷4=9 ， 正 方 形 B 、 C 重 叠 的 部 分 为 8×8÷4=16 ， 它 们 能 盖 住 的 面 积 为 100+64+36-16-9=175。 【答案】175 模块四、七巧板 【例 25】在七巧板中（如下图），所有三角形面积的和是大正方形面积的 倍。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初试，5 题 【解析】算出所有三角形的面积，包括组合的三角形，面积是正方形的 1.75 倍 【答案】1.75 倍 【例 26】如图是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为 1 的七巧板拼成（如图 b）。那么这个长方形的面 积是（ ） 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 2 题，10 分 【解析】 15 8 【答案】 15 8 【例 27】如图（a），ABCD 是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为 10 平方厘米的七巧板（图（b）） 拼成。那么，长方形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 14 题，15 分 【解析】设右边的正方形的对角线长为 a ，根据勾股定理， 2 2 210 10 200a    。左边的长方形 ABCD ，宽 AD 等于右边的图形中正方形④的边长和三角形①的直角边长之和，长 AB 等于右边的图形中正方形④ 的边长与三角形①的直角边长及三角形③的直角边长的 2 倍之和。从右图中可以看出，三角形①的 直角边长为 2 a ，正方形④的边长和三角形③的直角边长均为 4 a ，所以， 3 2 4 4 a a aAD    ， 522 4 4 4 a a a aAB      ，长方形 ABCD 的面积为： 23 5 15 15 200 187.54 4 16 16 a a a     （平方厘米）。 【答案】187.5 平方厘米 【例 28】如果左图是常见的一副七巧板的图，右图是用这副七巧板的 7 块板拼成的小房子图，那么，第 2 块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第 4 块板与第 7 块板面积的和等于整幅图的面积的几分 之几? 【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，3 题 【解析】如下图，我们在图中标出图 6-4 中各块图形的位置． 设整个七巧板组成的正方形的边长为 1，显然整幅图形的面积为 1， 且有第 2 块的面积为 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 ．有 3S = 4S ， 2S = 5S = 7S =2 3S ， 有 2、3、4、5、7 五块图形的面积之和为 1 2 ，所以 4S = IGFBS长方形 ， 7S = 1 8 ． 所以第 2 块板的面积等于整幅图面积的 1 8 ，第 4 块板与第 7 块板面积和为整幅图面积的 1 16 + 1 8 = 3 16 ． 【答案】 3 16