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两类动力学模型：“板块模型”和“传送带模型”
[A级－基础练]
1．(2019·湖南衡阳联考)如图甲所示，将一物块P轻轻放在水平足够长的传送带上，取向右为速度的正方向，物块P最初一段时间的速度－时间图象如图乙所示，关于传送带的运动情况描述正确的是( )
A．一定是向右的匀加速运动
B．可能是向右的匀速运动
C．一定是向左的匀加速运动
D．可能是向左的匀速运动
解析：A [由题意可知：物块P向右做加速运动，初始做加速度为μg的加速运动，然后与传送带相对静止一起向右做匀加速运动，故A正确．]
2.带式传送机是在一定的线路上连续输送物料的搬运机械，又称连续输送机．如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行．现将一个木炭包无初速度地放在传送带上，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径迹．下列说法正确的是( )
A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧
B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短
C．木炭包与传送带间动摩擦因数越大，径迹的长度越短
D．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短
解析：C [刚放上木炭包时，木炭包的速度慢，传送带的速度快，木炭包相对传送带向后滑动，所以黑色的径迹将出现在木炭包的右侧，所以A错误．木炭包在传送带上运动靠的是与传送带之间的摩擦力，摩擦力作为它的合力产生加速度，所以由牛顿第二定律知，μmg＝ma，所以a＝μg，当达到共同速度时，不再有相对滑动，由v2＝2ax得，木炭包位移x木＝，设相对滑动时间为t，由v＝at得t＝，此时传送带的位移为x传＝vt＝，所以相对滑动的位移是Δx＝x传－x木＝，由此可知，黑色的径迹与木炭包的质量无关，所以B错误．木炭包与传送带间的动摩擦因数越大，径迹的长度越短，所以C正确．传送带运动的速度越大，径迹的长度越长，所以D错误．]
3.一皮带传送装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端连接一个质量为m
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的滑块，已知滑块与皮带之间存在摩擦．现将滑块轻放在皮带上，弹簧恰好处于自然长度且轴线水平．若在弹簧从自然长度到第一次达到最长的过程中，滑块始终未与皮带达到共速，则在此过程中滑块的速度和加速度变化情况是( )
A．速度增大，加速度增大
B．速度增大，加速度减小
C．速度先增大后减小，加速度先增大后减小
D．速度先增大后减小，加速度先减小后增大
解析：D [因滑块始终未与皮带达到共速，故滑块始终受到水平向左的滑动摩擦力，由μmg－kx＝ma可知，滑块的加速度先减小后反向增大，而滑块的速度先增大后减小，直到速度为零，故只有D项正确．]
4.如图所示，在光滑平面上有一静止小车，小车上静止地放置着一小物块，物块和小车间的动摩擦因数为μ＝0.3，用水平恒力F拉动小车，物块的加速度为a1，小车的加速度为a2，当水平恒力F取不同值时，a1与a2的值可能为(当地重力加速度g取10 m/s2)( )
A．a1＝2 m/s2，a2＝3 m/s2
B．a1＝3 m/s2，a2＝2 m/s2
C．a1＝5 m/s2，a2＝3 m/s2
D．a1＝3 m/s2，a2＝5 m/s2
解析：D [当F＜μmg＝3 m/s2·m时，物块与小车一起运动，且加速度相等，最大共同加速度为amax＝μg＝3 m/s2，故A、B错误；当F≥3 m/s2·m时，小车的加速度大于物块的加速度，此时物块与小车发生相对运动，此时物块的加速度最大，由牛顿第二定律得：a1＝＝μg＝3 m/s2，小车的加速度a2＞3 m/s2，故C错误，D正确．]
5．(2019·江西南昌三中模拟)如图1所示，水平地面上有一静止平板车，车上放一质量为m的物块，物块与平板车的动摩擦因数为0.2，t＝0时，车开始沿水平面做直线运动，其v－t图象如图2所示．g取10 m/s2，平板车足够长，则物块运动的v－t图象为( )
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解析：C [小车先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，匀加速运动和匀减速运动的加速度大小相等，a＝＝4 m/s2，根据物块与车的动摩擦因数可知，物块与车的滑动摩擦力产生的加速度为2 m/s2，因此当车的速度大于物块的速度时，物块受到滑动摩擦动力，相反则受到滑动摩擦阻力．根据受力分析，结合牛顿第二定律，则有：当0～8 s时，车的速度大于物块，因此物块受到滑动摩擦动力，则其加速度为2 m/s2，同理，可得：当8～16 s时，车的速度小于物块，因此物块受到滑动摩擦阻力，则其加速度为2 m/s2，故C正确，A、B、D错误．]
6．(2019·盐城1月检测)(多选)如图甲所示，以速度v逆时针匀速转动的足够长的传送带与水平面的夹角为θ.现将一个质量为m的小木块轻轻地放在传送带的上端，小木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则乙图中能够正确地描述小木块的速度随时间变化关系的图线可能是( )
解析：CD [木块放上后一定先向下加速，由于传送带足够长，所以一定有木块速度大小等于传送带速度大小的机会，此时若重力沿传送带向下的分力大小大于最大静摩擦力，则之后木块继续加速，但加速度变小了；而若重力沿传送带向下的分力大小小于或等于最大静摩擦力，则木块将随传送带匀速运动，故C、D项正确，A、B项错误．]
7．(多选)如图甲所示，足够长的木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A.木板B受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出木板B的加速度a，得到如图乙所示的a－F图象，已知g取10 m/s2，则( )
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A．滑块A的质量为4 kg
B．木板B的质量为1 kg
C．当F＝10 N时木板B的加速度为4 m/s2
D．滑块A与木板B间的动摩擦因数为0.1
解析：BC [当F＝8 N时，加速度为a＝2 m/s2，对整体分析，由牛顿第二定律有F＝(M＋m)a，代入数据解得M＋m＝4 kg，当F＞8 N时，对B根据牛顿第二定律得a＝＝F－，由题图图象可知，图线的斜率k＝＝＝ kg－1＝1 kg－1，解得M＝1 kg，滑块的质量为m＝3 kg，故A错误，B正确；根据F大于8 N时的图线知，F＝6 N时a＝0，即0＝×6－，代入数据解得μ＝0.2，故选项D错误；由图示图象可知，当F＝10 N时，滑块与木板相对滑动，B滑动的加速度为a＝×10 m/s2－m/s2＝4 m/s2，故C正确．]
8．(多选)如图所示，三角形传送带以1 m/s的速度逆时针匀速转动，两边倾斜的传送带长都是2 m且与水平方向的夹角均为37°.现有两个小物块A、B从传送带顶端都以1 m/s的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.下列判断正确的是( )
A．物块A先到达传送带底端
B．物块A、B同时到达传送带底端
C．传送带对物块A、B的摩擦力都沿传送带向上
D．物块A下滑过程中相对传送带的路程小于物块B下滑过程中相对传送带的路程
解析：BCD [A、B都以1m/s的初速度沿传送带下滑，故传送带对两物块的滑动摩擦力均沿传送带向上，大小也相等，故两物块沿传送带向下的加速度大小相同，滑到底端时位移大小相同，故时间相同，故A错误，B、C正确；A物块与传送带运动方向相同，相对路程较小，故D正确．]
[B级—能力练]
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9.(2019·河北唐山一中调研)(多选)如图所示，将小砝码放在桌面上的薄纸板上，若砝码和纸板的质量分别为M和m，各接触面间的动摩擦因数均为μ，砝码到纸板左端的距离和到桌面右端的距离均为d.现用水平向右的恒定拉力F拉动纸板，下列说法正确的是( )
A．纸板相对砝码运动时，纸板所受摩擦力的大小为μ(M＋m)g
B．要使纸板相对砝码运动，F一定大于2μ(M＋m)g
C．若砝码与纸板分离时的速度小于，砝码不会从桌面上掉下
D．当F＝μ(2M＋3m)g时，砝码恰好到达桌面边缘
解析：BC [对纸板分析，当纸板相对砝码运动时，所受的摩擦力为μ(M＋m)g＋μMg，故A错误．设砝码的加速度为a1，纸板的加速度为a2，则有：f1＝Ma1，F－f1－f2＝ma2，发生相对运动需要a2＞a1，代入数据解得：F＞2μ(M＋m)g，故B正确．若砝码与纸板分离时的速度小于，砝码匀加速运动的位移小于＝＝，匀减速运动的位移小于＝＝，则总位移小于d，不会从桌面上掉下，故C正确．当F＝μ(2M＋3m)g时，砝码未脱离纸板时的加速度a1＝μg，纸板的加速度a2＝＝2μg，根据a2t2－a1t2＝d，解得t＝ ，则此时砝码的速度v＝a1t＝，砝码脱离纸板后做匀减速运动，匀减速运动的加速度大小a′＝μg，则匀减速运动的位移x＝＝＝d，而匀加速运动的位移x′＝a1t2＝d，可知砝码离开桌面，D错误．]
10.(多选)在内蒙古的腾格里沙漠，有一项小孩很喜欢的滑沙项目．其运动过程可类比为如图所示的模型，倾角为37°的斜面上有长为1 m的滑板，滑板与沙间的动摩擦因数为.小孩(可视为质点)坐在滑板上端，与滑板一起由静止开始下滑．小孩与滑板之间的动摩擦因数取决于小孩的衣料，假设图中小孩与滑板间的动摩擦因数为0.5，小孩的质量与滑板的质量相等，斜坡足够长，g取10 ms2，则以下判断正确的是( )
A．小孩在滑板上下滑的加速度大小为2 ms2
B．小孩和滑板脱离前滑板的加速度大小为0.5 ms2
C．经过 s的时间，小孩离开滑板
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D．小孩离开滑板时的速度大小为 ms
解析：AC [A项，对小孩受力分析，小孩受到重力、支持力和滑板对小孩向上的摩擦力，根据牛顿第二定律，有mgsin 37°－μ1mgcos 37°＝ma1，得a1＝2 ms2，故A项正确；B项，小孩和滑板脱离前，对滑板运用牛顿第二定律，有mgsin 37°＋μ1mgcos 37°－2μ2mgcos 37°＝ma2，代入数据，解得a2＝1 ms2，故B项错误；C项，设经过时间t，小孩离开滑板a1t2－a2t2＝L，解得t＝ s，故C项正确；D项，小孩离开滑板时的速度为v＝a1t＝2 ms，D项错误．]
11．(2019·福建模拟)如图甲所示，一个以恒定速率逆时针转动的传送带AB，在其左侧边缘的B点有一个不计大小的滑块，若滑块以初速度v1＝3 ms冲上传送带，滑块运动的v－t图象如图乙中实线a所示；若滑块以初速度v2＝6 ms冲上传送带，滑块运动的v－t图象如图乙中实线b所示．重力加速度g取10 ms2，求：
(1)传送带的长度L和传送带与滑块间的动摩擦因数μ；
(2)滑块以初速度v1＝3 ms冲上传送带到返回B点所用的时间t′.
解析：(1)由v－t图象可知，滑块以初速度v2＝6 ms冲上传送带时，在t＝8 s时刻到达A点，故传送带的长度为：
L＝ t＝×(6＋2)×8 m＝32 m
根据图线a或b，可求得滑块的加速度为：
a＝＝－0.5 ms2
由牛顿第二定律可得：－μmg＝ma
解得：μ＝0.05
(2)滑块在前后两段时间的位移大小相等，方向相反，可得：×6×3 m＝×(10－6)×2 m＋(t′－10)×2 m
解得滑块回到B点的时间为：t′＝12.5 s
答案：(1)32 m 0.05 (2)12.5 s
12.(2019·孝义市模拟)如图所示，长为l的长木板A放在动摩擦因数为μ1的水平地面上，一滑块B(大小可不计)从A的左侧以初速度v0向右滑上木板，滑块与木板间的动摩擦因数为μ2(A与水平地面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相同)．已知A的质量为M
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＝2.0 kg，B的质量为m＝3.0 kg，A的长度为l＝3.0 m，μ1＝0.2，μ2＝0.4，(g取10 ms2)
(1)A、B刚开始运动时各自的加速度分别是多大？
(2)为保证B在滑动过程中不滑出A，初速度v0应满足什么条件？
(3)分别求A、B对地的最大位移．
解析：(1)分别对A、B进行受力分析，根据牛顿第二定律得：B物体的加速度：aB＝＝＝4 m/s2
A物体的加速度：
aA＝＝＝1 m/s2；
(2)当A、B速度相等时，恰好到木板末端，此时不滑出A物体，就不会滑出，设经过时间t，AB的速度相等，则有：v0－aBt＝aAt
根据位移关系，得v0t－aBt2－aAt2＝l
代入数据解，得t＝ s，v0＝ m/s
所以初速度应小于等于5.5 m/s
(3)A、B速度达到相等后，相对静止一起以v＝ m/s的初速度，a＝μ1g＝2 m/s2的加速度一起匀减速运动直到静止，发生的位移：s＝＝0.3 m
之前A发生的位移为sA＝aAt2＝0.6 m
B发生的位移sB＝v0t－aBt2＝3.6 m
所以A发生的位移为sA＋s＝0.5 m＋0.3 m＝0.8 m
B发生的位移为sB＋s＝3.6 m＋0.3 m＝3.9 m
答案：(1)aA＝1 m/s2 aB＝4 m/s2
(2)初速度应小于等于 m/s
(3)0.8 m 3.9 m
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