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第4讲 万有引力与航天
[A级－基础练]
1．下列说法正确的是( )
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
解析：D [由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星，选项D正确．]
2．关于地球同步卫星，下列说法中正确的是( )
A．卫星的轨道半径可以不同
B．卫星的速率可以不同
C．卫星的质量可以不同
D．卫星的周期可以不同
解析：C [地球同步卫星的运行与地球自转同步，故同步卫星的周期与地球自转周期相同，故选项D错误；由＝m＝mr可知，同步卫星的线速度大小相同，半径相同，但质量不一定相同，故选项A、B错误，C正确．]
3．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚定的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该圆周运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
解析：D [火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，＝m，又M＝πR3·ρ，可得：ρ＝＝，故选项D正确．]
4．(2018·江苏卷)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000
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km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
解析：A [设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为R，卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即G＝，结合v＝ωR，ω＝，a＝，解得v＝，ω＝，T＝，a＝，可知v∝，ω∝，T∝，a∝，由题知R四＞R五，结合上面式子得v五＞v四，ω五＞ω四，a五＞a四，T五＜T四，故B、C、D三项均错，A项正确．]
5．某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F.则( )
A．每颗小星受到的万有引力为(＋9)F
B．每颗小星受到的万有引力为F
C．母星的质量是每颗小星质量的2倍
D．母星的质量是每颗小星质量的3倍
解析：A [每颗小星受到的万有引力的合力为9F＋2Fcos 30°＝(＋9)F，选项A正确，B错误．由F＝G和9F＝G得＝3，选项C、D错误．]
6．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )
A. B．4倍
C．16倍 D．64倍
解析：D [天体表面的重力mg＝，又知ρ＝，所以M＝，故＝3＝64，故选项D正确．]
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7．(2019·日照模拟)2017年6月15日，中国空间科学卫星“慧眼”被成功送入轨道，卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气．“慧眼”是我国首颗大型X射线天文卫星，这意味着我国在X射线空间观测方面具有国际先进的暗弱变源巡天能力、独特的多波段快速光观测能力等．下列关于“慧眼”卫星的说法正确的是( )
A．如果不加干预，“慧眼”卫星的动能可能会缓慢减小
B．如果不加干预，“慧眼”卫星的轨道高度可能会缓慢降低
C．“慧眼”卫星在轨道上处于失重状态，所以不受地球的引力作用
D．由于技术的进步，“慧眼”卫星在轨道上运行的线速度可能会大于第一宇宙速度
解析：B [卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，如果不加干预，卫星的机械能减小，卫星的轨道高度会缓慢降低，据G＝m可得v＝，卫星的轨道高度降低，卫星的线速度增大，卫星的动能增大，故A错误，B正确；卫星在轨道上，受到的地球引力产生向心加速度，处于失重状态，故C错误；据G＝m可得v＝，卫星在轨道上运行的线速度小于第一宇宙速度，故D错误．]
8．(2018·天津卷)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
解析：CD [设卫星离地面的高度为h，则有G＝m2(R＋h)，结合m0g＝，得h＝－R＝－R，又v＝(R＋h)，可见C、D项均正确．因为卫星的质量未知，故无法算出卫星向心力的大小和卫星的密度，故A、B错误．]
9．(2019·沧州模拟)如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿设想，抛出速度很大时，物体就不会落回地面．已知地球半径为R，月球绕地球公转的轨道半径为n2R，周期为T，不计空气阻力，为实现牛顿设想，抛出速度至少为( )
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A. B.
C. D.
解析：D [根据万有引力提供向心力，
即＝m，r＝n2R，
在地球表面附近，万有引力等于重力得：
G＝m，联立解得，v＝.]
10．(2019·洛阳模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
解析：B [由G＝m，G＝，联立解得星球的第一宇宙速度v1＝，星球的第二宇宙速度v2＝v1＝＝，选项B正确．]
11．(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知卡戎绕O点运动的( )
A．角速度约为冥王星的7倍
B．向心力大小约为冥王星的
C．轨道半径约为冥王星的7倍
D．周期与冥王星周期相同
解析：CD [双星的角速度相等、周期相等，故A错误，D正确；双星做圆周运动，向心力大小相等，根据G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，解得＝＝
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，即轨道半径约为冥王星的7倍，故B错误，C正确．]
12．某人造地球卫星在离地面高为h的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g.引力常量为G.则卫星的( )
A．线速度v＝
B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π
D．向心加速度a＝
解析：B [根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力＝m，r＝R＋h，得v＝，又因为万有引力等于重力＝mg，得GM＝gR2，所以v＝，故A错误；根据ω＝，得ω＝，故B正确；根据T＝，得T＝2π，故C错误；根据万有引力提供向心力，＝ma，所以a＝＝，故D错误．]
[B级—能力练]
13．(多选)如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB＝1∶9，两星球半径远小于L.从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器．只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是( )
A．探测器的速度一直减小
B．探测器在距星球A为处加速度为零
C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D．若探测器能到达星球B，其速度一定大于发射时的初速度
解析：BD [探测器从A向B运动，所受的万有引力的合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，故选项A错误；当探测器所受合力为零时，加速度为零，则有：G＝G
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，因为mA∶mB＝1∶9，则rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球A的距离为x＝，故选项B正确；探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B万有引力的总功为正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的速度，故C错误，D正确．]
14．(2019·贵阳模拟)(多选)宇宙空间有一种由三颗星体A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA＜rB＜rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体( )
A．线速度大小关系是vA＜vB＜vC
B．加速度大小关系是aA＞aB＞aC
C．质量大小关系是mA＞mB＞mC
D．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC
解析：AC [三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA＜rB＜rC，由v＝rω可知vA＜vB＜vC，由a＝rω2可知aA＜aB＜aC，故A正确，B错误；设等边三角形ABC的边长为a，由题意可知三颗星受到万有引力的合力指向圆心O，有G＞G，mA＞mB，同理可知mB＞mC，所以mA＞mB＞mC，故C正确；根据两个分力的角度一定时，两个力的大小越大，合力越大可知，FA＞FB＞FC，D错误．]
15．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
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解析：ACD [其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，T＝2πa，故D正确．]
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