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万有引力与航天
[A级－基础练]
1．有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为l的细绳系有质量m的小球．要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面高度h最小为( )
A. B．ω2g
C. D.
解析：A [当小球对水平面的压力为零时，有
Tcos θ＝mg，Tsin θ＝mlsin θω2，
解得cos θ＝，
A点到水平面高度h最小为h＝lcos θ＝
故A项正确，B、C、D三项错误．]
2.(2019·湖南株洲二中月考)用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图乙中的( )
解析：B [设绳长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力N和绳的拉力T而平衡，T＝mgcos θ≠0，A错误；ω增大时，T增大，N减小，当N＝0时，角速度为ω0，当ωω0
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时，小球离开锥面，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得Tsin β＝mω2Lsin β，所以T＝mLω2，可知T－ω2图线的斜率变大，所以B正确，C、D错误．]
3．水平转台上有质量相等的A、B两小物块，两小物块间用沿半径方向的细线相连，两物块始终相对转台静止，其位置如图所示(俯视图)，两小物块与转台间的最大静摩擦力均为f0，则两小物块所受摩擦力FA、FB随转台角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )
解析：B [设A、B到圆心O的距离分别为r1、r2，若细线不存在，则由f0＝mω2r及r1＜r2可知A、B两物体相对转台滑动的临界角速度满足ωA＞ωB，即物体B所受摩擦力先达到最大值，随后在一段时间内保持不变，C、D错误；当ω＞ωB时，细线中出现拉力T，对物体A：T＝0时，FA＝mω2r1，T＞0后，FA－T＝mω2r1，而对物体B满足T＋f0＝mω2r2，联立得FA＝mω2(r1＋r2)－f0，所以T＞0后直线斜率比T＝0时大，当转台对A的摩擦力达到最大静摩擦力后，若转台角速度再增大，则A、B相对转台将出现滑动，所以A错误，B正确．]
4.(多选)如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为ω，则( )
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
解析：ABC [ω较小时，绳子AP处于松弛状态，只有ω超过某一值，才产生拉力，A正确；当AP、BP都产生张力之后，受力如图，
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FBPsin α＝mg＋FAPsin α ①
FBPcos α＋FAPcos α＝mω2r ②
由①②可知FBP＞FAP，随ω的增大FBP、FAP都变大，B、C正确，D错误．]
5.(多选)(2019·山东临沂质检)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b沿水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，a、b两绳均伸直，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．a绳张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> ，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变
解析：AD [小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳张力在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确．根据竖直方向上小球受力平衡得，Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的张力不变，故B错误．当b绳拉力为零时，有＝mlω2，解得ω＝ ，可知当角速度ω>时，b绳出现弹力，故C错误．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D正确．]
[B级—能力练]
6.(多选)(2019·辽宁抚顺一中一模)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．A受到的静摩擦力一直增大
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B．B受到的静摩擦力先增大后保持不变
C．A受到的静摩擦力先增大后减小再增大
D．B受到的合外力先增大后保持不变
解析：BC [根据fm＝mrω2得ω＝ ，知当角速度逐渐增大时，B物块先达到最大静摩擦力，角速度增大，B物块所受绳子的拉力和最大静摩擦力的合力提供向心力；角速度继续增大，拉力增大，则A物块所受静摩擦力减小，当拉力增大到一定程度，A物块所受的摩擦力减小到零后反向；角速度继续增大，A物块的摩擦力反向增大．所以A物块所受的摩擦力先增大后减小，又反向增大，B物块所受的静摩擦力一直增大，达到最大静摩擦力后不变，A错误，B、C正确；在转动过程中，B物块运动需要向心力来维持，一开始是静摩擦力作为向心力，当摩擦力不足以提供向心力时，绳子的拉力作为补充，速度再增大，当这两个力的合力不足以提供向心力时，物块将会发生相对滑动，根据向心力公式，F向＝m可知，在发生相对滑动前B物块运动的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力等于物块所受的合外力，故D错误．故选B、C.]
7．(多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
解析：BC [要使A能够与B一起以角速度ω转动，根据牛顿第二定律可知，B对A的摩擦力一定等于A物体所需向心力，即Ff＝3mω2r，A错误，B正确；要使A、B两物体同时随转台一起以角速度ω匀速转动，则对于A有：3μmg≥3mω2r，对A、B有：5μmg≥5mω2r，对于C有：μmg≥mω2r，综合以上可得：ω≤，C正确，D错误．]
8.如图所示，细绳一端系着质量M＝8
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kg的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝2 kg的物体，M与圆孔的距离r＝0.5 m，已知M与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围时m会处于静止状态(g＝10 m/s2)．
解析：设角速度的最小值为ω1，此时M有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径向外，由牛顿第二定律得：FT－μMg＝Mωr，设角速度的最大值为ω2，此时M有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：FT＋μMg＝Mωr，要使m静止，应有FT＝mg，
联立得ω1＝1 rad/s，ω2＝3 rad/s，
则1 rad/s≤ω≤3 rad/s.
答案：1 rad/s≤ω≤3 rad/s
9．在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为k的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ.开始时弹簧未发生形变，长度为R，设最大静摩擦等于滑动摩擦，求：
(1)盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？
解析：(1)若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．
圆盘开始转动时，A所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg＝m(2πn0)2R
得：n0＝＝ .
(2)当转速达到2n0时，由牛顿第二定律
得：μmg＋kΔx＝m(2π·2n0)2(R＋Δx)
得：Δx＝.
答案：(1) (2)
10．如图所示，光滑圆杆MN段竖直，OC段水平且与MN相接于O点，两杆分别套有质量为m的环A和2m的环B，两环的内径比杆的直径稍大，A、B用长为2L的轻绳连接，A、O用长为L的轻绳连接，现让装置绕竖直杆MN做匀速圆周运动，当ω＝时，OA
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段绳刚好要断，AB段绳能承受的拉力足够大，求：
(1)OA段绳刚刚拉直时转动的角速度多大；
(2)OA段绳能承受的最大的拉力；
(3)当ω＝2且转动稳定时，A向外侧移动的距离多大．
解析：(1)当OA绳刚好拉直时，由几何关系知，
cos θ＝，sin θ＝，
对B分析：TABcos θ＝2mg，
对A分析：TABsin θ＝mLω，
解得ω1＝.
(2)根据牛顿第二定律得，
Tm＋TABsin θ＝mLω2，
解得Tm＝mg，
(3)当ω＝2 ，且转动稳定时，设绳子与竖直方向的夹角为α，则TABcos α＝2mg，
TABsin α＝m·2Lsin αω2，
代入数据，有cos α＝，sin α＝，
则A向外侧移动的距离为Δx＝2Lsin α－L＝L.
答案：(1) (2)mg (3)L
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