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12＋4满分练(10)
1.已知集合A＝{x|1＜x2＜4}， B＝{x|x≥1}，则A∩B等于( )
A.{x|1＜x＜2} B.{x|1≤x＜2}
C.{x|－1＜x＜2} D.{x|－1≤x＜2}
答案 A
解析 由题意，得 A＝∪，故A∩B＝.
2.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 1>－2不能推出>，反过来，若x>，则x>y成立，故为必要不充分条件.
3.i是虚数单位，若复数z满足zi＝－1＋i，则复数z的实部与虚部的和是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ∵zi＝－1＋i，
∴－z＝－i－1，z＝1＋i，
故复数z的实部与虚部的和是2，故选C.
4.将函数f(x)＝cos 2x图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则实数a的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 将函数f(x)＝cos 2x图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到g(x)＝sin 2x的图象，因为g(x)＝sin 2x的增区间为，所以实数a的最大值为.
5.5支篮球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛)，任两支球队之间获胜率都是.单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同.有下列四个命题：
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p1：恰有四支球队并列第一名为不可能事件；
p2：有可能出现恰有两支球队并列第一名；
p3：每支球队都既有胜又有败的概率为；
p4：五支球队成绩并列第一名的概率为.
其中真命题是( )
A.p1，p2，p3 B.p1，p2，p4 C.p1，p3，p4 D.p2，p3，p4
答案 A
解析 5支球队单循环，共举行C＝10(场)比赛，共有10次胜10次负.由于以获胜场次数作为球队的成绩，就算四支球队都胜1场，则第五支球队也无法胜6场，若四支球队都胜2场，则第五支球队也胜2场，五支球队并列第一，除此不会再有四支球队胜场次数相同，故p1是真命题；会出现两支球队胜3场，剩下三支球队中两支球队各胜1场，另一支球队胜2场的情况，此时两支球队并列第一名，故p2为真命题；由题意可知球队成绩并列第一名，各胜一场的概率为小于，排除p4.故选A.
6.(2017届巴蜀中学期末)如图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y值为3，那么应输入x等于( )
A.1 B.2 C.3 D.6
答案 B
解析 运行程序，若x＞6，则输出y＝x－3，求得x＝6，不符合题意；若x∈，则输出y＝6，不符合题意；若x≤2，则输出y＝5－x，求得x＝2.
7.若O为坐标原点，已知实数x，y满足条件在可行域内任取一点P，则OP的最小值为( )
A.1 B. C. D.
答案 C
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解析 OP表示原点到可行域的距离，画出可行域如图所示，由图可知，原点到直线x＋y－1＝0的距离最小，最小距离d＝＝.
8.如图所示为某物体的三视图，则该物体的体积为( )
A.8－ B.8－ C.8－ D.8－
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体是由一个正方体在左下角截去一个底面半径为1，高为1的圆柱的，在右上角截去一个半径为1的球的，故体积为23－·π·12·1－·π·13·＝8－.
9.(2017·泉州模拟)设函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)，若f ＝f ＝－f ，且f(x)在区间上单调，则f(x)的最小正周期是( )
A. B. C. D.π
答案 D
解析 由正弦函数中f ＝－f 且在上单调，得f ＝0，所以－≤⇒函数周期T≥，
又f ＝f ，则函数关于x＝对称，
则函数最小正周期为T＝4×＝π.故选D.
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10.已知双曲线－＝1上有不共线三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若满足OD，OE，OF的斜率之和为－1，则＋＋等于( )
A.2 B.－ C.－2 D.3
答案 C
解析 设A，B，C，
将A，B两点的坐标代入双曲线方程，
作差并化简得＝·，即kOD＝，
同理可得kOE＝，kOF＝，
依题意有kOD＋kOE＋kOF＝＋＋＝－1，
即＋＋＝－2.
11.如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行.点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图建立平面直角坐标系：
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令正三角形边长为3，
则＝i，＝－i＋j，
可得i＝，j＝＋，
由图知当P在C点时有，＝j＝2＋3，
此时x＋y有最大值5，
同理在与C相对的下顶点时有＝－j＝－2－3，
此时x＋y有最小值－5.
12.已知实数a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f[－f(x)]＝e－a＋有三个不等的实根，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 当x＜0时， f(x)为增函数，
当x≥0时， f′(x)＝ex－1＋ax－a－1， f′(x)为增函数，
令f′(x)＝0，解得x＝1，
故函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为f＝0.
由此画出函数图象如图所示：
令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，
则有⇒－a＝t－1，
所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1，
要有三个不同的实数根，
则需＜a－1＜＋，解得2＜a＜＋2.
13.在△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝_____.
答案
解析 如图：
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设∠CAD＝α，∠BAD＝β，则∠CAB＝α＋β，
由正弦定理得＝，
＝，又sin∠ADC＝sin∠ADB，AB＝2AC，∴sin α＝2sin β，
由题意知tan∠CAD＝sin∠BAC，即tan α＝sin(α＋β)，即＝sin(α＋β)，
故sin α＝sin(α＋β)·cos α，
从而可得2sin β＝sin(α＋β)·cos α.
变形得2sin＝sin(α＋β)·cos α，
展开得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，
又cos α≠0，两边同除以cos α，
得sin(α＋β)＝2cos(α＋β)·tan α，
又tan α＝sin(α＋β)，
∴2cos(α＋β)＝1，∴cos(α＋β)＝，
即cos∠BAC＝.
由余弦定理，得BC＝＝＝.
14.已知三棱锥P－ABC内接于球O， PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________.
答案 12π
解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA，PB，PC可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR2＝12π.
15.(2017·巴蜀中学三模)已知P为函数y＝的图象上任一点，过点P作直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝1相切于A，B两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，则△OMN的面积为________.
答案
解析 设P，则2＝x＋，
2＝2＝2－12＝x＋－1，
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故以P为圆心， PA为半径的圆的方程为2＋2＝x＋－1，
联立x2＋y2＝1，
两圆方程作差可得直线AB的方程为x0x＋y－1＝0，
故M，N，
所以△OMN的面积为··＝.
16.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.
答案
解析 令直线l：x＝my＋1，
与椭圆方程联立消去x，得y2＋6my－9＝0，
可设P，Q，
则y1＋y2＝－， y1y2＝－.
可知＝＝＝12，
又＝≤，
故≤3.
三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，
则内切圆半径r＝≤，其面积的最大值为.
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