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12＋4满分练(4)
1.(2017·湖北部分重点中学联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，集合B＝{x|0＜x＜4}，则(∁RA)∩B等于( )
A.(0，3] B.[－1，0) C.[－1，3] D.(3，4)
答案 A
解析 因为A＝{x|x＜－1或x＞3}，
故∁RA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|0＜x＜4}，
所以(∁RA)∩B＝{x|0＜x≤3}，故选A.
2.(2017·安阳模拟)设i为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数a的值为( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
答案 C
解析 由题意，得＝＋i，
则⇒a＝－2，故选C.
3.(2017·绵阳中学实验学校模拟)将函数f(x)＝sin·(cos x－2sin x)＋sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )
A.在上单调递增，为奇函数
B.周期为π，图象关于对称
C.最大值为，图象关于直线x＝对称
D.在上单调递增，为偶函数
答案 A
解析 函数的解析式为f(x)＝sin(cos x－2sin x)＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＝sin，
将其图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，
则g(x)为奇函数，且在上单调递增，故A正确.
4.(2017·宝鸡检测)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象
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( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 A
解析 y＝cos＝sin＝sin，
所以函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，故选A.
5.过点M(2，－2p)引抛物线x2＝2py(p＞0)的切线，切点分别为A，B，若|AB|＝4，则p的值是( )
A.1或2 B.或2
C.1 D.2
答案 A
解析 设切点为，因为y′＝x，
则切线斜率k＝＝t，
整理可得t2－4t－4p2＝0，
由根与系数的关系可得t1＋t2＝4，t1t2＝－4p2，
则(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝16(1＋p2).
设切点A，B，
则|AB|＝＝，
即|AB|＝4，
所以(1＋p2)＝10，
即p4－5p2＋4＝0，
解得p2＝1或p2＝4，
即p＝1或p＝2，故选A.
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6.(2017·云南大理检测)已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC＝4，BD＝，∠CBD＝90°，则球O的表面积为( )
A.11π B.20π C.23π D.35π
答案 C
解析 设棱锥的高为h，
因为S△BCD＝×BC×BD＝2，
所以VA－BCD＝S△BCD×h＝，
所以h＝2，
因此点O到平面BCD的距离为1，
因为△BCD外接圆的直径为，
所以OB＝＝，
所以球O的表面积为S＝4πr2＝23π，故选C.
7.(2017·湖北部分重点中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.36π B.8π C. D.
答案 B
解析 从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，，的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l＝＝2，故球的半径为R＝，所以该外接球的表面积S＝4π()2＝8π，故选B.
8.已知点P为不等式组所表示的平面区域内的一点，点Q是圆M：(x＋1)2＋y2＝1上的一个动点，则|PQ|的最大值是( )
A. B.
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C. D.
答案 A
解析 由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A到圆心(－1，0)的距离最远，由解得A，最远距离为d＝＝，所以|PQ|的最大值为＋1＝，故选A.
9.(2017·湖南师大附中月考)阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )
A.k≤3? B.k≤4? C.k≤5? D.k≤6?
答案 B
解析 第一次循环，S＝12＝1，k＝2；
第二次循环，S＝2×1＋22＝6，k＝3；
第三次循环，S＝2×6＋32＝21，k＝4；
第四次循环，S＝2×21＋42＝58，k＝5，
最后输出的数据为58，
所以判断框中应填入k≤4？，故选B.
10.(2017·云南大理检测)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜a＜b D.a＜c＜b
答案 D
解析 由题意知f(x)，g(x)，h(x)均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点，
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因为f(－1)＝－1＝－＜0，
f(0)＝1>0，所以－1＜a＜0，
由g(x)＝0可得x＝1，所以b＝1，
h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1>0，
所以＜c＜1，
所以a＜c＜b，故选D.
11.(2017·安阳模拟)已知当x＝θ时，函数f(x)＝2sin x－cos x取得最大值，则sin等于( )
A. B. C.－ D.－
答案 D
解析 因为f(x)＝sin(x－φ)，
所以f(x)max＝，
其中cos φ＝，sin φ＝，
当x－φ＝2kπ＋，k∈Z时，
函数取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ，k∈Z时函数取得最大值.
由于sin 2θ＝－sin 2φ＝－2××＝－，
cos 2θ＝－cos 2φ＝－(2cos2φ－1)＝－，
故sin＝(sin 2θ＋cos 2θ)＝－×＝－，故选D.
12.(2017·贵州贵阳市适应性考试)已知M是函数f(x)＝e－2|x－1|＋2sin在x∈[－3，5]上的所有零点之和，则M的值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
答案 C
解析 因为f(x)＝e－2|x－1|＋2sin＝e－2|x－1|－2cos πx，
所以f(x)＝f(2－x)，
因为f(1)≠0，
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所以函数零点有偶数个，两两关于x＝1对称.
当x∈[1，5]时，y＝e－2(x－1)∈(0，1]，且单调递减；
y＝2cos πx∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期，
因此当x∈[1，5]时，y＝e－2(x－1)与y＝2cos πx有4个不同的交点，
从而所有零点之和为4×2＝8，故选C.
13.(2017·宁夏银川二模)我们把满足：xn＋1＝xn－的数列{xn}叫做牛顿数列.已知函数f(x)＝x2－1，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln，已知a1＝2，则a3＝________.
答案 8
解析 由f(x)＝x2－1，得f′(x)＝2x，则xn＋1＝xn－＝，所以xn＋1－1＝，
xn＋1＋1＝，所以＝，
所以ln＝ln＝2ln，
即an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a3＝2×22＝8.
14.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，点P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.
答案 5
解析 方法一 以点D为原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5，3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
方法二 设＝x(0＜x＜1)，
∴＝(1－x)，＝－＝－x，
＝＋＝(1－x)＋，
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∴＋3＝＋(3－4x)，
|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2＝25＋(3－4x)22≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
15.点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的渐近线的斜率为________.
答案 ±
解析 如图，A是切点，B是PF1的中点，因为|OA|＝|a|，所以|BF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝2b，|PF1|＝4b，又|PF2|＝|F1F2|＝2c，根据双曲线的定义，有|PF1|－|PF2|＝2a，即4b－2c＝2a，两边平方并化简得3c2－2ac－5a2＝0，所以＝，因此＝＝.
16.已知数列的前n项和为Sn，Sn＝，则的最小值为______.
答案 4
解析 ∵Sn＝，
∴Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝，
∴an＝4an－1.
又a1＝S1＝，
∴a1＝4，
∴是首项为4，公比为4的等比数列，
∴an＝4n，
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∴＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当n＝2时取“＝”.
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