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12＋4满分练
12＋4满分练(1)
1.已知P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝，则P∩Q等于( )
A.[0，1) B.[0，2) C.(1，2) D.[1，2)
答案 C
解析 解x2－5x＋4＜0，即(x－1)(x－4)＜0，得1＜x＜4，故P＝(1，4).Q表示函数y＝的值域，因为2x＞0，所以t＝4－2x＜4，所以y∈[0，2)，即Q＝[0，2).故P∩Q＝(1，2).故选C.
2.已知a∈R，i是虚数单位.若与3i－互为共轭复数，则a等于( )
A. B.－ C.－3 D.3
答案 D
解析 ＝＝＝－i，
3i－＝3i－＝3i－＝1＋i，
∵与3i－互为共轭复数，
∴＝1，－＝－1，解得a＝3.故选D.
3.命题：∀x∈R，ln(ex－1)＜0的否定是( )
A.∀x∈R，ln(ex－1)>0
B.∀x∈R，ln(ex－1)≥0
C.∃x0∈R，ln(－1)＜0
D.∃x0∈R，ln(－1)≥0
答案 D
4.(2017·四川双流中学月考)已知函数f(x)＝Asin的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
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A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
答案 A
解析 由题图可得，f(x)的振幅A＝2，
周期T＝4×＝π，则ω＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又2×＋φ＝＋2kπ，|φ|＜，
解得φ＝，
所以f(x)＝2sin，
平移后得g(x)＝2sin＝2sin，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
故选A.
5.已知抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点记为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为的直线，则F到直线l的距离为( )
A.1 B.
C.2 D.2
答案 B
解析 由题意，得A(－1，0)，F(1，0)，
则过点A且倾斜角为的直线l的方程为y＝(x＋1)，
∴点F到直线l的距离d＝＝.故选B.
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6.(2017·云南师范大学附中月考)已知三棱锥A－BCD内接于半径为的球O中，AB＝CD＝4，则三棱锥A－BCD的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，过CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，
交AB于点E，设点E到CD的距离为EF，
当球心在EF上时，EF最大，此时E，F分别为AB，CD的中点，且球心O为EF的中点，所以EF＝2，
所以Vmax＝××4×2×4＝，故选C.
7.(2017·武邑检测)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
答案 B
解析 化简圆M：x2＋(y－a)2＝a2⇒M(0，a)，r1＝a⇒M到直线x＋y＝0的距离d＝⇒2＋2＝a2⇒a＝2⇒M(0，2)，r1＝2，又N(1，1)，r2＝1⇒|MN|＝⇒|r1－r2|＜|MN|＜|r1＋r2|⇒两圆相交.
8.(2017·资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
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答案 A
解析 由题意得几何体为一个三棱柱，底面是腰为10的等腰直角三角形，高为10，得到的最大球的半径为等腰直角三角形的内切圆的半径，其半径为＝10－5≈2.93，最接近3 cm，故选A.
9.已知两组样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为h，{y1，y2，…，ym}的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为h，
{y1，y2，…，ym}的平均数为k，
所以第一组数据和为nh，第二组数据和为mk，
因此把两组数据合并成一组以后，
这组样本的平均数为，故选B.
10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}.若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a－b|≤1的有：当a＝0时，b＝0，1；当a＝1时，b＝0，1，2；当a＝2时，b＝1，2，3；当a＝3时，b＝2，3，4；当a＝4时，b＝3，4，5；当a＝5时，b＝4，5，6；当a＝6时，b＝5，6，7；当a＝7时，b＝6，7，8；当a＝8时，b＝7，8，9；当a＝9时，b＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P＝＝，故选A.
11.(2017·曲靖月考)已知函数f(x)＝x2－kx－2在区间(1，5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A.[10，＋∞)
B.(－∞，2]
C.(－∞，2]∪[10，＋∞)
D.(－∞，1]∪[5，＋∞)
答案 C
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解析 由已知可得≤1或≥5⇒k∈(－∞，2]∪[10，＋∞)，故选C.
12.若存在m，使得关于x的方程x＋a(2x＋2m－4ex)·[ln(x＋m)－ln x]＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，0) B.
C.(－∞，0)∪ D.
答案 C
解析 由题意得－＝ln＝(t－2e)ln t，
令f(t)＝(t－2e)ln t(t＞0)，则f′(t)＝ln t＋1－，
(f′(t))′＝＋＞0，∴f′(t)为增函数.
当x＞e时，f′(t)＞f′(e)＝0，当0＜x＜e时，f′(t)＜f′(e)＝0，
∴f(t)≥f(e)＝－e，∴－≥－e，解得a＜0或a≥，故选C.
13.(2017·山西临汾五校联考)若tan α－＝，α∈，则sin＝_______.
答案
解析 ∵tan α－＝，α∈，
∴－＝，∴＝－，
∵＜α＜，
∴＜2α＜π，
故cos 2α＝－，sin 2α＝，
∴sin＝sin 2α×＋cos 2α×＝.
14.已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则(＋)·(＋)＝________.
答案 －
解析 如图所示，因为O是边长为1的正三角形ABC的中心，
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所以∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，
OA＝2OD＝×＝，
由于AD平分∠BAC，∠BOC，
所以＋＝2＝－，
同理＋＝－，＋＝－，
所以(＋)·(＋)＝(－)·(－)＝·
＝||2cos120°＝||2cos120°＝2×＝－.
15.已知(x＋a)2(x－1)3的展开式中x4的系数为1，则a＝________.
答案 2
解析 (x＋a)2(x－1)3的展开式中x4的系数为1×(－3)＋2a×1＝2a－3＝1， 所以a＝2.
16.(2017·福建福州外国语学校模拟)在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A，B，C做了一项预测：
A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.
B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.
C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.
比赛结果出来后，发现A，B，C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________.
答案 甲
解析 由题意知，B，C的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B，C谁对，A必是一对一错，假设B的预测是对的，则丙是冠军，那么A说冠军也不会是甲，也不会是乙，即丙是冠军也对，这与题目中“一人的两个判断都对”相矛盾，即假设不成立，所以B的预测是错误的，则C的预测是对的，所以甲是冠军.
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