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12＋4满分练(12)
1.已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{y|y＝2x，x≥0}，则A∩B等于( )
A.∅ B.{x|1＜x＜2}
C.{x|1≤x＜2} D.{x|1＜x≤2}
答案 C
解析 由已知可得A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥1}⇒A∩B＝{x|1≤x＜2}.
2.(2017·江门一模)i是虚数单位，(1－i)z＝2i，则复数z的模|z|等于( )
A.1 B. C. D.2
答案 B
解析 由题意知z＝＝＝－1＋i，则|z|＝＝.
3.(2017·四川联盟三诊)已知α为锐角，若cos＝，则sin α等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵α为锐角且cos＝，
∴sin＝，
则sin α＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝.
4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为( )
A. B.2 C.3 D.3
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答案 C
解析 三视图的直观图为三棱锥E－BCD，如图：
CD＝1，BC＝，BE＝，CE＝2，DE＝3，所以最长边为DE＝3.
5.已知ω为正整数，若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx在区间内单调递增，则函数f(x)的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
答案 D
解析 函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin在区间内单调递增，
∴
解得ω＝1，则函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，
故选D.
6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
解析 第一次循环得S＝0＋20＝1，k＝1；
第二次循环得S＝1＋21＝3，k＝2；
第三次循环得S＝3＋23＝11，k＝3；
第四次循环得S＝11＋211＝2 059，k＝4，
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但此时S不满足条件S＜100，输出k＝4，故选B.
7.已知函数f(x)＝若函数F(x)＝f 2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(2，8)
C. D.(0，8)
答案 C
解析 函数f(x)的图象如图所示：
要使方程f 2(x)－bf(x)＋1＝0有8个不同实数根，
令f(x)＝t，意味着00，
00，
∴函数f(x)为增函数，
由f＋f＜0，得
f＜－f＝f，
即m2＜3－2m，得－3＜m＜1，
即不等式f(m2)＋f(2m－3)＜0的解集是(－3，1)，
故选A.
9.(2017·湛江二模)底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝PB＝PC＝PD＝1的外接球的半径为R，过P作PO1⊥底面ABCD，垂足O1为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，设球心为O，连接AO，
由于AO＝PO＝R，AO1＝PO1＝，OO1＝－R，
在Rt△AOO1中，2＋2＝R2，
解得R＝，V球＝πR3＝π3＝.
10.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F(1，0)，离心率为，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P(t，0)使得∠APO＝∠BPO总成立(O为坐标原点)，则t等于( )
A.－2 B.2 C.－ D.
答案 B
解析 在椭圆中，由c＝1，e＝＝，得a＝，故b＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可知，当直线的斜率不存在时，t可以为任意实数，
当直线的斜率存在时，可设直线方程为y＝k(x－1)，
联立方程组
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得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
使得∠APO＝∠BPO总成立，即使得PF为∠APB的角平分线，
即直线PA和PB的斜率之和为0，
所以＋＝0，
由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，得
2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
由根与系数的关系，可得－(t＋1)＋2t＝0，
化简可得t＝2，故选B.
11.(2017·自贡一诊)已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，
∴基本事件总数n＝3×4＝12，
函数f(x)＝ax2－2bx在(1，＋∞)上为增函数，则
①当a＝0时，f(x)＝－2bx，情况为b＝－1，1，3，5，符合要求的只有一种b＝－1；
②当a≠0时，则讨论二次函数的对称轴x＝－＝，要满足题意，则≤1，则(a，b)有：
(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)共4种情况.综上所述得：使得函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为P＝.
12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动(如图).若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则6λ＋μ的取值范围是( )
A.[1，] B.[，2] C.[2，2] D.[1，2]
答案 C
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
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则A(0，0)，B(2，0)，E(2，1)，C(2，2)，D(0，1)，F.
设P(cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤，则
＝(cos θ，sin θ)，＝(2，1)，＝，
∵＝λ＋μ，
∴(cos θ，sin θ)＝λ(2，1)＋μ，
即
解得
∴6λ＋μ＝2sin θ＋2cos θ＝2sin，
∵0≤θ≤，
∴≤θ＋≤，
∴2≤2sin≤2，
即6λ＋μ的取值范围是[2，2]，故选C.
13.已知实数x，y满足不等式则x＋2y的最大值为________.
答案 7
解析 作出不等式组对应的平面区域如图所示：
由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
平移直线y＝－x＋，
由图象可知当直线y＝－x＋经过点A时，
直线的截距最大，此时z最大，
由得
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即A(1，3)，此时z的最大值为z＝1＋2×3＝7.
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin＝，且a＋c＝2，则△ABC的周长的取值范围是________.
答案 [3，4)
解析 ∵0＜B＜π，
∴0＜＜，＜＋＜，
又sin＝，
∴＋＝，B＝，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝4－3ac，
由a＋c＝2≥2，得0＜ac≤1，∴1≤4－3ac＜4，
即1≤b2＜4，
∴1≤b＜2，3≤a＋b＋c＜4，则△ABC的周长的取值范围是[3，4).
15.从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________.(结果用最简分数表示)
答案
解析 从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为＝.
16.已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2＋1(其中a∈R)有两个零点，则a的取值范围是__________.
答案 (－∞，－1)∪(－1，0)
解析 由题意，f′(x)＝x(ex＋a)，其中f(0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：
(1)当a≥0时，由f′(x)＜0，得x＜0，由f′(x)＞0，
得x＞0，此时函数仅有一个零点；
(2)当a＜0时，由f′(x)＝0可得，x1＝0，x2＝ln(－a)，
①当ln(－a)＜0，即－1＜a＜0时，
当x∈(－∞，ln(－a))∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(－ln(－a)，0)时，f′(x)＜0，
所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极大值，当x＝0时，函数取得极小值，
而f(ln(－a))＞f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.
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②当ln(－a)＝0，即a＝－1时，
当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件.
③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，
当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，
所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，
由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件.
综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，0).
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