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12＋4满分练(6)
1.(2017·长郡中学模拟)设集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
答案 B
解析 结合图象(图略)可知函数y＝3x与椭圆有两个不同的交点，即集合A∩B中有两个元素，则其所有子集的个数是22＝4，故选B.
2.(2017·山东省实验中学二诊)函数y＝ln(1－x)的定义域为( )
A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1]
答案 B
解析 由题意，得自变量满足解得0≤x＜1，
即函数y＝ln(1－x)的定义域为[0，1)，故选B.
3.(2017·湖南省长郡中学模拟)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝ B.＝2 C.＝3 D.2＝
答案 A
解析 如图，＋＝2，又＋＝－2＝2，故＝.
4.已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x0∈R，x＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
答案 D
解析 “a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以p为假命题；“∃x0∈R，x＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以q为假命题，因此(綈p)∧(綈q)为真命题.故选D.
5.给出40个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入( )
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A.i≤40？；p＝p＋i－1
B.i≤41？；p＝p＋i－1
C.i≤41？；p＝p＋i
D.i≤40？；p＝p＋i
答案 D
解析 由于要计算40个数的和，故循环要执行40次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为40，即①中应填写i≤40？；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；…故②中应填写p＝p＋i.综上可知选D.
6.已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为( )
A.150° B.135° C.120° D.30°
答案 A
解析 由题意可画图如下：
由面积公式S＝OA·OB·sin∠AOB可知当∠AOB＝时，S△OAB取最大值.由于圆的半径为，所以点O到直线AB的距离为1，由直线过点P(2，0)易知其倾斜角为150°.
7.(2017·山东肥城统考)若α∈，且sin2α＋cos＝，则tan α等于( )
A. B. C.3 D.7
答案 C
解析 因为sin2α＋cos＝，
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所以sin2α－sin 2α＝，
所以＝，
因为α∈，所以cos α≠0，
所以＝，
解得tan α＝3或tan α＝－(舍去)，故选C.
8.(2017·永州模拟)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，a＝2b，cos A＝，则sin B等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由cos A＝，得sin A＝，
又a＝2b，
由正弦定理可得sin B＝＝.故选A.
9.(2017·广东珠海测试)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
解析 由三视图的性质和定义知，三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1高为2的三角形，其面积都是×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A.
10.(2017·河北衡水中学调研)已知等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋等于( )
A. B. C. D.
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答案 A
解析 ＋＝＋＝＝＝＝＝，
故选A.
11.(2017届福建闽侯县三中期中)已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值为( )
A.－ B. C.－ D.不能确定
答案 A
解析 方法一 设P，则－n2＝1，
即m2－3n2＝3，
由双曲线－y2＝1得其渐近线方程为y＝±x，
由
解得交点A，
由
解得交点B，
所以＝，
＝，
则·＝×＋×＝－＝－＝－，故选A.
方法二 此题可用特殊值法解决：令P为双曲线右顶点，可求得||＝||＝，与的夹角为，所以·＝××cos＝－.
12.(2017·湖北荆州中学模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(x＜0)，g(x)＝ln x(x>0)，其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为( )
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A.(－1＋ln 2，＋∞)
B.(－1－ln 2，＋∞)
C.
D.(ln 2－ln 3，＋∞)
答案 A
解析 f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y－＝·(x－x1)，
即y＝x－x＋a.
g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为y－ln x2＝·(x－x2)，
即y＝·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0，
由①②得a＝x＋ln x2－1＝x＋ln－1＝x＋ln 2－ln(x1＋1)－1，
设h(t)＝t2＋ln 2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)，
则h′(t)＝t－＝＜0，
所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数，
则h(t)＞h(0)＝－1＋ln 2，
所以a＞－1＋ln 2，
而当t∈(－1，0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大，
所以a的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞).
13.A，B，C三点与D，E，F，G四点分别在一个以O为顶点的角的不同的两边上，则在A，B，C，D，E，F，G，O这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________.
答案 42
解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C－C－C＝42.
14.(2017·湖北省荆、荆、襄、宜七校联考)有一长、宽分别为50 m、30 m的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________.
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答案
解析 所求概率为几何概型，测度为长度，
如图AB＝CD＝50，BC＝DA＝30，
因为OE＝15，
OS＝15⇒ES＝＝15⇒EF＝MN＝30，
因此概率为＝＝.
15.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，
8 128可表示为________.
答案 26＋27＋…＋212
解析 因为8 128＝26×127，
又由＝127，解得n＝7.
所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.
16.(2017·长郡中学模拟)已知抛物线y2＝4x，其焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|－的最小值为________.
答案 2－2
解析 因为F(1，0)，当直线l与x轴不垂直时，设直线AB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝1，不妨设x1＜1，x2＞1，
由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
所以|AF|－＝x1＋1－＝＝＝＝，令x2－1＝t，则x2＝t＋1，所以|AF|－＝＝≥＝＝＝2(－1)
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，当且仅当t＝时取“＝”.
当直线l与x轴垂直时，可求得|AF|＝2，|BF|＝2，所以|AF|－＝1，综上，|AF|－的最小值为2－2.
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