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12＋4满分练(7)
1.(2017·绵阳中学模拟)已知集合M＝{x|y＝x2＋1}，N＝{y|y＝}，则M∩N等于( )
A.{(0，1)} B.{x|x≥－1}
C.{x|x≥0} D.{x|x≥1}
答案 C
解析 由题意可得M＝{x|x∈R}，N＝{y|y≥0}，则M∩N＝{x|x≥0}.
2.(2017·湖南十三校联考)复数z＝(1－i)2＋(i为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 因为z＝－2i＋＝－2i＋1－i＝1－3i，
所以点P(1，－3)在第四象限，故选D.
3.(2017·江门一模)将函数f(x)＝sin ωx(ω是正整数)的图象向右平移个单位长度，所得曲线在区间内单调递增，则ω的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 A
解析 将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度，可得f(x)＝sin ω的图象，所得曲线在内单调递增，可得2kπ－≤ω＜ω≤2kπ＋，
求得－≤ω≤＋，令k＝2，可得正整数ω的最大值为3.
4.已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，2)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为( )
A.y＝－x＋2 B.y＝x＋2
C.y＝－x＋2 D.y＝x＋2
答案 D
解析 椭圆＋＝1中a＝3，b＝，c＝＝2，
由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|
＝4＋6＋|PA|－|PF′|≤10＋|AF′|
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(A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时，取等号)，
直线AP的方程为＋＝1，
即y＝x＋2，故选D.
5.(2017·南昌模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cos∠AOB等于( )
A. B.－ C. D.－
答案 D
解析 圆心O到直线y＝2x＋1的距离为，
所以cos ＝＝，
cos∠AOB＝2×2－1＝－.故选D.
6.(2017·石家庄检测)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A.6 B.5 C. D.
答案 D
解析 由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，
球的球心O在四棱锥的高PH上，
过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：
其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点.
设PH＝h，易知Rt△PAO∽Rt△PHF，
所以＝，即＝，
解得h＝，故选D.
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7.(2017·广州测试)如图， 网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某几何体的正(主)视图和侧(左)视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
答案 D
解析 由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：
且棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，
∴几何体的体积V＝×22×2＝，故选D.
8.在半径为1的圆O内任取一点M，过点M且垂直于OM作直线l与圆O交于圆A，B两点，则AB长度大于的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意知，M为弦AB的中点，由|AB|＞，可得|OM|＜，即M在以O为圆心，以为半径的圆内，根据几何概型概率公式可得，AB长度大于的概率为P＝＝.
9.执行如图所示的程序框图，若x∈[a，b]，y∈[0，4]，则b－a的最小值为( )
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A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
解析 程序框图的功能为求分段函数y＝的函数值，
如图可知2∈[a，b]，
当a＝0，b＝2或a＝2，b＝4时符合题意，
∴b－a≥2.故选A.
10.(2017·安阳模拟)函数f(x)＝的图象大致是( )
答案 C
解析 由题意，因为f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除A，D，
当x→0时，分子cos x→1，分母x＋→∞，
所以f(x)→0，故选C.
11.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设AC∩BD＝O，连接OC1，
过C点作CH⊥OC1于H，连接DH.
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∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∴BD⊥CH，又CH⊥OC1，
∴CH⊥平面C1BD，
则∠CDH为CD与平面BDC1所成的角，设AA1＝2AB＝2，OC1＝＝＝，
由等面积法有OC1·CH＝OC·CC1，
代入算出CH＝，sin ∠CDH＝＝，
故选A.
12.(2017·焦作模拟)已知函数f(x)＝F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0] B.(－∞，1)
C.[1，＋∞) D.(0，＋∞)
答案 B
解析 因为F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，
即f(x)－x－1＝0有2个实数根，
所以当x≤0时，令ex－x－1＝0，解得x＝0，
此时只有一个实数根，
当x＞0时，令f(x)－x－1＝0，
即x2＋(a－1)x＝0，
即x[x－(1－a)]＝0，
此时解得x＝1－a，
要使得函数F(x)有2个零点，则1－a＞0，
所以a＜1，故选B.
13.已知平面向量a，b满足(a＋b)·(2a－b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角为_____.
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答案
解析 由题意可得(a＋b)·(2a－b)＝2a2－b2＋a·b＝8－16＋a·b＝－4，解得a·b＝4，
所以cos θ＝＝，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
14.(2017·深圳调研)若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝________.
答案 3
解析 作出可行域如图，目标函数y＝kx－z，
当k≤0时，显然最小值不可能为0，
当k>0时，当y＝kx－z过点(1，3)时z取最小值，
解得k＝3，
此时y＝kx－z过点(4，0)时有最大值，符合题意，
故k＝3.
15.已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝________.
答案
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以S△MFN＝×p×|y1－y2|＝×2×|y1－y2|＝|y1－y2|，直线方程是y＝(x－1)，与抛物线方程联立，得y＝，整理得y2－4y－4＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4，
所以|y1－y2|＝＝＝.
16.在正方形ABCD中，AB＝AD＝2，M，N分别是边BC，CD上的动点，当·＝4时，的取值范围为________.
答案
解析 如图所示，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，
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设M，N，
则·＝2x＋2y＝4，
∴x＋y＝2，
＝，
可以看做线段x＋y＝2上的点到定点的距离，
其最小值为，最大值为2，
故的取值范围为.
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