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12＋4满分练(9)
1.(2017·江门一模)已知集合M＝{x|ln x＞0}，N＝{x|x2－3x－4＞0}，则M∩N等于( )
A.(－1，4) B.(1，＋∞) C.(1，4) D.(4，＋∞)
答案 D
解析 由题意得M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＜－1或x＞4}，则M∩N＝{x|x＞4}.
2.(2017·太原三模)已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则复数z在复平面内对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可得z＝i＝2i＋zi，
解得z＝＝－1＋i，
则复数z在复平面内对应的点的坐标是 .
3.(2017·四川遂宁等四市联考)如图是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 第一次循环，得k＝1，T＝2；
第二次循环，得k＝2，T＝6；
第三次循环，得k＝3，T＝14；
第四次循环，得k＝4，T＝30>29，
此时满足题意，退出循环，
所以正整数n的最小值是4，故选C.
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4.在△ABC中， AB＝3， AC＝2， ∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若＝＋λ，则||的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，
以靠近点B的三等分点为平行四边形的一个顶点，A，C为另外两个顶点构造平行四边形ADEC，DE与BC交于点F，则点P位于线段DF上，
所以当点P在点D处时，||最小，||min＝AD＝2；当点P在点F处时，||最大，因为＝＋λ，所以当λ＝时，||max＝，
则||的取值范围为 .
5.我国古代数学名著《九章算术》中论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类似上述过程，则等于( )
A.3 B. C.6 D.2
答案 A
解析 由题意结合所给的例子类比推理可得：＝x，
整理得 ＝0，则x＝3，
即＝3.
6.已知某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)具有线性相关关系，其统计数据如下表：
x
3
4
5
6
y
25
30
40
45
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由上表可得线性回归方程＝x＋，据此模型预报当广告费用为8万元时的销售额是( )
A.59.5万元 B.52.5万元
C.56万元 D.63.5万元
答案 A
解析 由题意可得，＝＝，
＝＝35，
则＝＝＝7，
＝－＝3.5，
所以线性回归方程为＝7x＋3.5，
据此模型预报当广告费用为8万元时的销售额是y＝7×8＋3.5＝59.5(万元).
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )
A.3 B.2 C. D.2
答案 B
解析 如图所示，在长、宽、高分别为3，4，2 的长方体中，三视图表示的是四棱锥P－ABCD，其最长的棱为BP＝＝2.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A.Sn＝2Tn B.Tn＝2bn＋1 C.Tn>an D.Tn＜bn＋1
答案 D
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解析 由题意可得，Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3，
由等比数列前n项和的特点可得数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式为an＝3×2n－1，
设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，
解得b1＝1，q＝2，
数列{bn}的通项公式bn＝2n－1，
由等比数列的求和公式得Tn＝2n－1，
考查所给的选项得，
Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn＜an，Tn＜bn＋1.
9.已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意的x1， x2∈[0，1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，设a＝f ， b＝－f ， c＝f ，则下列结论正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
答案 B
解析 由函数f(x)是偶函数，
f(x＋1)是奇函数，可得f(x)＝－f(x＋2)，即f(x)＝f(x＋4)，函数是周期为4的函数，
且a＝f ＝f ，
b＝－f ＝f ＝f ＝f ，
c＝f ＝f ＝f ，
由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，
可知函数是[0，1]上的减函数，
据此可得b>a>c.
10.已知实数x，y满足条件若x2＋2y2≥m恒成立，则实数m的最大值为( )
A.5 B. C. D.
答案 D
解析 令x′＝x，y′＝y，
不等式组即为
问题转化为求解目标函数z＝x′2＋y′2 的最小值，
作出不等式组对应的平面区域如图：
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则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O到直线2x′＋y′－4＝0的距离最小，此时原点到直线的距离d＝＝，则z＝d2＝，即m≤，
即实数m的最大值为.
11.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若＜k＜，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.∪
答案 C
解析 由题意可知|AF2|＝a＋c，|BF2|＝，所以直线AB的斜率k＝＝＝＝1－e∈，即＜1－e＜，解得＜e＜.
12.(2017·甘肃高台一中检测)已知函数f(x)＝在[－2，3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x＝6x，
在[－2，－1]上单调递增，在 [－1，0]上单调递减，
最大值为f(－1)＝2.
所以当x>0时，函数的最大值不超过2.
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因为ex为增函数，
故e3a≤2＝eln 2，a≤ln 2.
13.已知m＝3ʃsin xdx，则(a＋2b－3c)m的展开式中ab2cm－3的系数为________.
答案 －6 480
解析 由题意得m＝3ʃsin xdx＝－3cos x|＝6，
则二项式(a＋2b－3c)6＝[(2b－3c)＋a]6的展开式中ab2c3的项为Ca(2b－3c)5，
对于(2b－3c)5中含有b2c3的项为C(2b)2(－3c)3，
所以含有ab2cm－3的系数为C·22·C(－3)3＝－6 480.
14.在△ABC中， AB＝2， AC＝3， ∠BAC＝90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则DC＝________.
答案
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，
则tan∠ACB＝，tan∠BDC＝－tan(2∠ACB)＝－，
据此可知直线CD的斜率kCD＝－，
直线CD的方程为y－3＝－x，
则点D的坐标为，线段DC的长度DC＝＝.
15.给出如下命题：
① “在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B” 为真命题；
②若动点P到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段；
③若p∧q为假命题，则p，q都是假命题；
④设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的必要不充分条件；
⑤若实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为.
其中所有正确命题的序号是________.
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答案 ①②④
解析 ①中由正弦定理可由sin A＝sin B，得a＝b，所以A＝B.
②因为＋＝，
所以动点P的轨迹为线段.
③中p∧q为假命题，则p，q至少有一个是假命题.
④中由x>4可得x2－3x>0成立，但由x2－3x＞0可得x＞3或x＜0，
所以“x2－3x>0”是“x>4”的必要不充分条件.
⑤实数1，m，9成等比数列，所以m＝±3，
所以圆锥曲线＋y2＝1可能为椭圆或双曲线，故离心率为或2.
16.(2017·江苏南通联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极小值10，则的值为________.
答案 －
解析 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以3＋2a＋b＝0，1＋a＋b－a2－7a＝10，
解得或
又当时f′(x)＝3x2－12x＋9.
函数f(x)在x＝1处取得极大值10，不符合题意，舍去.
当时f′(x)＝3x2－4x＋1，
函数f(x)在x＝1处取得极小值10，
所以的值为－.
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