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12＋4满分练(11)
1.与复数z的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z的共轭复数，并记作，若z＝i(3－2i)(其中i为虚数单位)，则等于( )
A.3－2i B.3＋2i C.2＋3i D.2－3i
答案 D
解析 复数z＝i＝3i－2i2＝3i＋2，
∴＝2－3i，故选D.
2.已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，sin x，则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∨(綈q) C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)
答案 C
解析 根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，綈p是真命题；
∵x∈，且tan x＝，00，
故g(x)＝ex＋2x在上单调递增，
则g(x)≤g(1)＝e＋2，故选B.
13.(2017·葫芦岛二模)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)， P，Q是C上任意两点，点M满足·≥0，则p的取值范围是________.
答案 (0，2]
解析 当直线MQ，MP 与抛物线相切时，
两向量夹角最大，
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设直线MQ 的斜率为k，
则当k≥1 时，恒有·≥0成立，
直线MQ 的方程为y＝kx－1，
与x2＝2py联立，得 x2－2pkx＋2p＝0，
由Δ＝0 ，得 k2＝≥1，可得p≤2，
所以p的取值范围是(0，2].
14.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝sin2C－sin Asin B，则sin 2A·tan2B的最大值是_____.
答案 3－2
解析 由正弦定理，得a2＋b2＝c2－ab，
由余弦定理，得cos C＝＝－，
∵0＜C＜π，∴C＝，A＝－B，2A＝－2B，
∴sin 2A·tan2B＝cos 2B·＝
＝3－≤3－2
＝3－2，当且仅当cos2B＝时取等号，
即sin 2A·tan2B的最大值是3－2.
15.若x，y满足约束条件等差数列满足a1＝x， a5＝y，其前n项和为Sn，则S5－S2的最大值为________.
答案
解析 由约束条件作出可行域如图，
联立解得B，
因为a1＝x，a5＝y，
所以公差d＝，
a3＋a4＋a5＝S5－S2＝3a4＝3＝3×＝，
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设z＝＋，
当直线过点B时，有最大值，
即S5－S2 的最大值为.
16.在下列命题中：
①函数f(x)＝在定义域内为单调递减函数；
②函数f(x)＝x＋(x>0)的最小值为2；
③已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)一定为偶函数；
④已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则a＋b＋c＝0是f(x)有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数f(x)＝x－sin x，若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>0.
其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号)
答案 ③⑤
解析 ①错，因为函数f(x)＝在定义域内不具有单调性；
当a>0时，函数f(x)＝x＋(x>0)的最小值为2，
当a≤0时，函数f(x)＝x＋(x>0)无最小值，故②错；
由周期为4及f(2－x)＝f(2＋x)⇒f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，③正确；
函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值，
则f′(x)＝0有不相等的实数根，则b2>3ac，故④不正确；
函数f(x)＝x－sin x是奇函数且在R上单调递增，
所以a＋b>0⇒a>－b⇒f(a)>f(－b)＝－f(b)⇒f(a)＋f(b)>0，故⑤正确.
故正确命题的序号为③⑤.
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