13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
知识要点基础练
知识点1 等腰三角形的性质——等边对等角
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为(D)
A.40° B.50°
C.60° D.70°
2.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C= 24° .
3.【教材母题变式】如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠B= 70° .
知识点2 等腰三角形的性质——三线合一
4.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则下列结论中错误的是(A)
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A.∠BAC=∠B
B.∠BAD=∠CAD
C.∠B=∠C
D.AD⊥BC
5.(苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为(C)
A.35° B.45°
C.55° D.60°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是 20 .
综合能力提升练
7.如图,AB∥CD,点E在BC上,且CD=CE,∠D=74°,则∠B的度数为(B)
A.68° B.32°
C.22° D.16°
8.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是(A)
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A.100° B.80°
C.70° D.50°
9.(台州中考)如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(C)
A.AE=EC B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
10.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B= 36° .
11.如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,AE∥DC交BC的延长线于点E,已知∠E=36°,则∠B= 72° .
12.如图,在底角为75°的等腰△ABC中,AB=AC,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D= 15° .
13.已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,求这个等腰三角形各角的度数.
解:①当顶角为(2x-2)°时,即(2x-2)+2×(3x-5)=180,解得x=24,则这个三角形三个角的度数分别为46°,67°,67°;
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②当顶角为(3x-5)°时,即(3x-5)+2×(2x-2)=180,解得x=27,则这个三角形三个角的度数分别为52°,52°,76°;
③当题中两个角均为底角时,即2x-2=3x-5,解得x=3,则这个三角形三个角的度数分别为4°,4°,172°.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA到点E,使AE=AD,求证:ED⊥BC.
证明:延长ED交BC于点F.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
又∵AE=AD,∴∠E=∠ADE,
又∵∠ADE=∠BDF,
∴∠E+∠C=∠BDF+∠B,
∴∠EFC=∠EFB,
∴∠EFC=∠EFB=90°,∴ED⊥BC.
15.如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,F是CD的中点,你知道AF与CD之间具有怎样的位置关系吗?请说明理由.
解:AF⊥CD.理由如下:
连接AC,AD.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),
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∴AC=AD,∴△ACD为等腰三角形.
∵F为CD的中点,∴AF⊥CD.
拓展探究突破练
16.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?请给出证明.
(2)过C点作AB边上的高CG,请问DE,DF,CG的长度之间存在怎样的关系?并加以证明.
解:(1)当D为BC的中点时,DE=DF.
∵D为BC的中点,∴BD=CD,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF.
连接AD,∵S△ABC=S△ADB+S△ADC,
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,
又AB=AC,∴CG=DE+DF.
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