第2课时 含30°角的直角三角形的性质
知识要点基础练
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,斜边AB的长为2 cm,则AC的长为(C)
A.4 cm B.2 cm C.1 cm D. cm
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则BC∶AB等于(B)
A.2∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.2∶3
3.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2 cm,则AB的长度是(C)
A.2 cm B.4 cm
C.8 cm D.16 cm
知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用
4.如图,一棵树在一次强台风中于离地面6米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为(D)
A.6米 B.9米
C.12米 D.18米
5.【教材母题变式】如图,是屋架设计图的一部分,其中BC⊥AC,DE⊥AC,D是AB的中点,∠A=30°,AB=7 m,则BC= m,DE= m.
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6.有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°有一灯塔P,继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是 10 海里.
综合能力提升练
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是(D)
A.3.5 B.4.2
C.5.8 D.7
8.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为(A)
A.10 B.8
C.5 D.2.5
9.某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境,已知∠A=150°,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮需要(B)
A.300a元 B.150a元
C.450a元 D.225a元
10.如图所示是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离h=6.5米,自动扶梯的倾角为30°,若自动扶梯运行速度为v=0.5米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 26 秒.
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11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D在BC上,且AD⊥AC.若AD=1,则BC的长为 3 .
12.如图,已知△ABC是等边三角形,过点B作BD⊥BC,过点A作AD⊥BD,垂足为D,若△ABC的周长为12,求AD的长.
解:∵BD⊥BC,∠ABC=60°,
∴∠ABD=90°-60°=30°.
又∵AD⊥BD,即△ABD是直角三角形,∴AD=AB.
∵AB=×12=4,∴AD=2.
13.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,M是AB上一点,CM=AB,D是BM的中点.求证:CD⊥AB.
证明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=AB,
∵CM=AB,∴CM=CB,
又∵D是BM的中点,∴CD⊥AB.
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14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,DE⊥AC于点E,AE=2,求CE的长.
解:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=120°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC,∠B=∠C=30°,
∴∠DAC=∠BAD=60°,
∵∠AED=90°,∴∠ADE=30°,
在Rt△ADE中,AD=2AE=4,
在Rt△ADC中,AC=2AD=8,
∴CE=AC-AE=6.
15.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)∵∠B=60°,DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴△EDC是等边三角形,∴ED=CD=2.
又∵EF⊥DE,∠F=30°,
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∴DF=2DE=4.
拓展探究突破练
16.如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,B,D分别在射线AN,AM上.
(1)若∠ABC=∠ADC=90°,如图1,求证:AD+AB=AC.
(2)若∠ABC+∠ADC=180°,如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
解:(1)∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠DAC=∠BAC=60°.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠DCA=∠BCA=30°,
∴AC=2AD,AC=2AB,
∴AD+AB=AC.
(2)结论AD+AB=AC成立.
理由如下:在AN上截取AE=AC,连接CE,
∵∠BAC=60°,∴△CAE为等边三角形,
∴AC=CE,∠AEC=60°,∴∠DAC=∠AEC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠ADC=∠EBC,
∴△ADC≌△EBC,
∴AD=BE,
∴AD+AB=AB+BE=AE,
∴AD+AB=AC.
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