13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
知识要点基础练
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.已知直线AB是线段CD的垂直平分线,并且垂足为B,若AC=5 cm,则下列结论正确的是(D)
A.AB=5 cm B.BC=5 cm
C.BD=5 cm D.AD=5 cm
2.如图,CD是AB的垂直平分线,若AC=1.6 cm,BD=2.3 cm,则四边形ACBD的周长是(B)
A.3.9 cm B.7.8 cm
C.4 cm D.4.6 cm
3.【教材母题变式】如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.已知BD=3,AB=5,则DE= 8 .
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4.三角形纸片ABC上有一点P,量得PA=3 cm,PB=3 cm,则点P一定(D)
A.是边AB的中点
B.在边AB的中线上
C.在边AB的高上
5
D.在边AB的垂直平分线上
5.如图,在四边形ACBD中,AC=AD,BC=BD,则有(A)
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
6.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥BC.
证明:∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵OB=OC,∴点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线OA是线段BC的垂直平分线,
∴AO⊥BC.
综合能力提升练
7.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是(C)
5
A.AB=AD B.CA平分∠BCD
C.AB=BD D.△BEC≌△DEC
8.如图,在△ABC中,BC=8 cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于18 cm,则AC的长等于(C)
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
【变式拓展】如图所示,线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点M恰好在AC上,且AC=16 cm,则BM的长为 8 cm.
9.如图所示的解锁图案中不是轴对称图形的是(A)
10.已知A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个休闲广场,使广场到三个小区的距离相等,则广场应建在(D)
A.△ABC三条中线的交点处
B.△ABC三条高的交点处
C.线段AB上
5
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E,请写出图中所有相等的线段: BC=BE=AE,CD=DE,BD=AD .
12.如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线交于点P,且AP=5,那么PC= 5 .
13.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点,EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的周长为 15 .
14.如图,在△ABC中,DE,FG分别是AB,AC的垂直平分线,若△AEG的周长为8 cm,则BC的长度为 8 cm.
15.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,△BCE的周长为8 cm,且AC-BC=2 cm,求AB,BC的长.
解:∵DE⊥AB,D是AB的中点,∴AE=BE,
∵△BCE的周长为8 cm,即BE+CE+BC=8 cm,
5
∴AC+BC=8 cm,①
又∵AC-BC=2 cm,②
解得AB=AC=5 cm,BC=3 cm.
拓展探究突破练
16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADE=∠ECF,
∵E是CD的中点,∴DE=EC.
在△ADE与△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),∴FC=AD.
(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,
∴BE是线段AF的垂直平分线,
∴AB=BF=BC+CF,
∵AD=CF,∴AB=BC+AD.
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