第2课时 等腰三角形的判定
知识要点基础练
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,∠A的相邻外角是70°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为(B)
A.70° B.35°
C.110°或35° D.110°
2.下面几个三角形中,不可能是等腰三角形的是(B)
A.有两个内角分别为75°和75°的三角形
B.有两个内角分别为110°和40°的三角形
C.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
D.有一个外角为80°,一个内角为100°的三角形
3.如图,把一张对边平行的纸条如图折叠,重合部分是 等腰三角形 .
知识点2 等腰三角形的性质与判定的综合运用
4.如图,AD⊥BC,D为BC的中点,以下结论正确的有(D)
①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③∠B=∠C;④AD是△ABC的角平分线.
A.1个 B.2个
6
C.3个 D.4个
5.【教材母题变式】如图,△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠
ACB,MN经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MN∥BC.若AB=6,AC=9,求△AMN的周长.
解:∵BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,
∴∠MBO=∠OBC,∠OCN=∠OCB,
∵MN∥BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,
∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO,∴MO=MB,NO=NC.
∵AB=6,AC=9,
∴△AMN的周长=AM+MO+NO+AN=AB+AC=6+9=15.
知识点3 作等腰三角形
6.尺规作图,已知线段a,画一个底边长度为a,底边上的高也为a的等腰三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图所示.
综合能力提升练
7.如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形的个数为(D)
6
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图,在腰长为8的等腰△ABC中,AB=AC,E,M,F分别是AB,BC,AC上的点,并且ME∥AC,MF∥AB,则四边形MEAF的周长是(D)
A.8 B.10 C.12 D.16
9.如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(A)
A.①③④ B.①②③④
C.①②④ D.①③
10.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为 4 .
11.如图,在△ABC中,∠B=∠C,点E在CA延长线上,EP⊥BC于点P,交AB于点F,若AF=3,BF=5,则CE的长度为 11 .
6
12.(内江中考)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.
证明:∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD,
∴∠EAD=∠ADE.
∵AD⊥BD,∴∠BAD+∠B=90°,∠ADE+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,
∴△BDE是等腰三角形.
13.如图,AD是∠BAC的平分线,AB=AC+DC.求证:∠C=2∠B.
证明:在AB上截取AE=AC,连接DE.
∵AB=AC+DC,AE=AC,∴BE=DC,
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠CAD,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴DE=DC=BE,∠AED=∠C,∴∠B=∠EDB,
∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠AED=2∠B,
6
∴∠C=2∠B.
14.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的一点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件:①∠DBO=∠ECO;②∠BDO=∠CEO;③BD=CE;④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个可以判定△ABC是等腰三角形?
(2)选择(1)中的一种情形为条件,试说明△ABC是等腰三角形.
解:(1)①③,①④,②③,②④.
(2)以①④为条件(答案不唯一,合理即可),理由:
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠DBO=∠ECO,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
拓展探究突破练
15.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点.
(1)写出点D到△ABC的三个顶点A,B,C的距离关系(不要求证明);
(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论.
解:(1)DA=DB=DC.
6
(2)△DMN为等腰直角三角形.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°,
又∵D为BC的中点,∴AD平分∠CAB,
∴∠CAD=45°.
在△ADN和△BDM中,
∴△ADN≌△BDM(SAS),
∴DM=DN,∠NDA=∠BDM.
∵∠BAD=45°,∠B=45°,
∴∠ADB=90°.
∴∠NDM=∠NDA+∠ADM=∠BDM+∠ADM=∠ADB=90°,
∴△DMN是等腰直角三角形.
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