轴对称
章末小结与提升
类型1 轴对称及轴对称图形
典例1 有如图所示的四个图形,其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【解析】第一个图形是轴对称图形,有2条对称轴;第二个图形是轴对称图形,有2条对称轴;第三个图形是轴对称图形,有2条对称轴;第四个图形是轴对称图形,有3条对称轴.
【答案】 C
【针对训练】
1.(盐城中考)下列图形中,是轴对称图形的是(D)
2.把△ABC先向下平移3个单位,得△A1B1C1,再作△A1B1C1关于B1C1所在直线的对称图形后得到△A'B'C'(如图).则顶点A的坐标是 (3,7) .
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3.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.
(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形.
(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形.
解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.(2)如图所示,△D'E'F'即为所求.
类型2 线段的垂直平分线
典例2
如图所示,AB=AC,DB=DC,点E是AD延长线上的一点.求证:BE=CE.
【解析】连接BC.
∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上.
同理,点D也在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AD是线段BC的垂直平分线.
∴BE=CE.
【针对训练】
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如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,则下列结论错误的是(D)
A.BD平分∠ABC
B.△BCD的周长等于AB+BC
C.AD=BD=BC
D.点D是线段AC的中点
类型3 等腰三角形
典例3 如图,已知在△ABC中,∠B=∠C,AB=8 cm,BC=6 cm,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以a cm/s的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(s)(0≤t≤3).
(1)用含t的代数式表示PC的长度;
(2)若点P,Q的运动速度大小相等,经过1 s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
【解析】(1)BP=2t,则PC=BC-BP=6-2t.
(2)△BPD和△CQP全等.
理由:由题意,BP=CQ=2 cm,PC=4 cm.
∵AB=8 cm,点D为AB的中点,
∴BD=4 cm,∴PC=BD.
在△BPD和△CQP中,
∴△BPD≌△CQP(SAS).
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【针对训练】
1.等腰△ABC在平面直角坐标系中,底边的两端点坐标是(-2,0),(6,0),则其顶点的坐标,能确定的是(A)
A.横坐标 B.纵坐标
C.横坐标及纵坐标 D.横坐标或纵坐标
2.如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:AF=EF.
证明:延长AD到点G,使得AD=DG,连接BG.
∵AD是BC边上的中线,∴DC=DB,
在△ADC和△GDB中,
∴△ADC≌△GDB(SAS),
∴∠CAD=∠G,BG=AC.
又∵BE=AC,∴BE=BG,
∴∠BED=∠G,
∵∠BED=∠AEF,
∴∠AEF=∠CAD,
∴AF=EF.
类型4 等边三角形
典例4 如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,连接CO.求证:OC平分∠AOE.
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【解析】∵△ABC和△CDE是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE,S△ACD=S△BCE,
∴点C到AD,BE的距离相等.
∴OC平分∠AOE.
【针对训练】
如图,已知△ABC是等边三角形,D是边AC的中点,连接BD,EC⊥BC于点C,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,D为边AC的中点,∴BD⊥AC,即∠ADB=90°.
∵EC⊥BC,∴∠BCE=90°,
∴∠DBC+∠DCB=90°,∠ECD+∠BCD=90°,
∴∠ACE=∠DBC,
∵在△CBD和△ACE中,
∴△CBD≌△ACE(SAS),
∴CD=AE,∠AEC=∠BDC=90°,∠CAE=∠BCD=60°,
∵D为边AC的中点,∠AEC=90°,∴AD=CD=DE,
∴AD=AE=DE,
即△ADE是等边三角形.
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类型5 含30°角的直角三角形的性质
典例5 如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:AD=BE;
(2)求AD的长.
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC.
又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴AD=BE.
(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°,
∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=6,∴BE=BP+PE=7.
∴AD=BE=7.
【针对训练】
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=6 cm,则AC等于(D)
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A.6 cm B.5 cm
C.4 cm D.3 cm
2.如图,已知∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=12,点M,N在射线OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=(C)
A.3 B.4
C.5 D.6
类型6 最短路径问题
1.在直角坐标系内,已知A,B两点的坐标分别为A(-1,1),B(3,3),若M为x轴上一点,且MA+MB最小,则点M的坐标是 (0,0) .
2.如图所示,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A,B的距离之差最大.
解:如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,并延长交l于点C,则点C即为所求.
理由:在直线l上任取一点C'(异于点C),连接CA,C'A,C'A',C'B.因为点A,A'关于直线l对称,所以l为线段AA'的垂直平分线,则有CA=CA',所以CA-CB=CA'-CB=A'B.又因为点C'在l上,所以C'A=C'A'.在△A'BC'中,C'A-C'B=C'A'-C'B
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