小专题(四) 活用等腰三角形“三线合一”解题
等腰三角形“顶角平分线,底边上的高,底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等,线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.
类型1 利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋檐AB=AC.求顶架上的∠B,∠C,∠BAD,∠CAD的度数.
解:在△ABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=40°.
又AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD=×100°=50°.
类型2 利用“三线合一”求线段
2.在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,且AB+AC+BC=50 cm,而AB+BD+AD=40 cm,则AD= 15 cm.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB于点E,若CD=4,且△BDC的周长为24,求AE的长.
解:∵BD+BC+CD=24,CD=4,
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∴BD+BC=20,
∴AD=BD=BC=10.
又∵AB=AC=AD+CD=14,DE⊥AB,
∴AE=BE=7.
类型3 利用“三线合一”证角(线段)相等
4.如图,已知点D,E,F在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE,DF=FE.求证:∠CAE=∠BAD.
证明:∵AD=AE,DF=FE,∴∠DAF=∠EAF,AF⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠BAF=∠CAF,
∴∠BAF-∠DAF=∠CAF-∠EAF,即∠CAE=∠BAD.
5.如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,DB交AC于点F,且AF平分BD,CE交AD于点G,求证:CG=GE.
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证明:∵AB=AD,AF平分BD,∴BF=DF.
在△BAF和△DAF中,
∴△BAF≌△DAF(SSS),∴∠BAF=∠DAF.
∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,
∴∠BAC=∠DAE,∴∠CAD=∠EAG.
又∵AC=AE,∴CG=GE.
类型4 利用“三线合一”证垂直
6.如图,在△ABC中,D是BC上一点,P是AD上一点,若∠1=∠2,PB=PC.
求证:AD⊥BC.
证明:作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.
∵∠1=∠2,∴PM=PN.
在Rt△BPM和Rt△CPN中,
∴Rt△BPM≌Rt△CPN(HL),
∴∠ABP=∠ACP.
∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
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∵∠1=∠2,∴AD⊥BC.
类型5 利用“三线合一”证线段(或角)的倍数关
系(构造三线法)
7.已知:如图,△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D.求证:∠BAC=2∠DCB.
解:过点A作AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠B=90°.
∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠B=90°,∴∠DCB=∠BAE.
∵AB=AC,AE⊥BC,∴∠BAC=2∠BAE,
∴∠BAC=2∠DCB.
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8.如图,已知等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延长线于点D.试说明:BF=2CD.
解:延长BA,CD交于点E.
∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,BD=BD,
∴△BDC≌△BDE,∴BC=BE.
又∵BD⊥CE,∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠DCF.
又∵AB=AC,∠BAF=∠CAE=90°,
∴△ABF≌△ACE,∴BF=CE.
∴BF=2CD.
类型6 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造
三线法)
9.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.试说明:CD=AB+BD.
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解:在线段DC上取一点E,使DE=BD,连接AE.
∵AD⊥BC,∴AB=AE,∴∠ABC=∠AEB.
又∵∠ABC=2∠C,∴∠AEB=2∠C.
而∠AEB=∠CAE+∠C,
∴∠CAE=∠C.
∴CE=AE=AB,∴CD=CE+DE=AB+BD.
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