第
２
课时
弧长及扇形的面积(２)
１．掌握弧长和扇形面积公式的变形．
２．在求阴影部 分 面 积 时,应 学 会 转 化 成 规 则 的 图 形 (如 扇 形、三 角
形)的面积．
开心预习梳理,轻松搞定基础.
１．若正方形与圆的周长相等,则正方形与圆的面积之比为( )．
A．４∶π B．π∶ ２ C．π∶４ D． ２∶π
２．已知扇形的圆心角为
１２０°,弧长为
２０πcm,则扇形的面积为
cm
２．
３．已知某段弧长为
２πcm,它所对的圆心角为
６０°,则此弧的半径为
．
(第
４
题)
４．如图,“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为
半径的三段等 弧 组 成．已 知 正 三 角 形 的 边 长 为
１,则 凸 轮 的 周 长 等 于
．
重难疑点,一网打尽.
５．如图,两个同心圆被两条半径截得的AB︵的长为
１０πcm,CD︵ 的长为
６π
cm,且 AC＝１２cm,则图中阴影部分的面积为( )．
(第
５
题)
A．９６πcm
２
B．１４４πcm
２
C．２０πcm
２
D．１９２πcm
２
６．在下列命题中,真命题有( )．
①
若圆周长为C,圆面积为S,则S＝
C２
４π;
②
圆心角相等的两个扇形的面积比等于半径比;
③
若
☉O 的面积为
☉A 面积的一半,则
☉O 的半径是
☉A 的半径的一半．
A．３
个
B．２
个
C．１
个
D．０
个
７．在平面内,将长度为
４
的线段 AB 绕它的中点M ,按逆时针方向旋转
３０°,则线段 AB 扫
过的面积为
．
８．如图,在小正方形的边长都为
１
的方格纸中,△ABO 的顶点都在小正方形的顶点上,将
△ABO 绕点O 顺时针方向旋转
９０°
得到
△A１B１O,则点 A 运动的路径长为
．
(第
８
题) ９．如图,在扇形OAB 中,∠AOB＝９０°,半径 OA＝６．将扇形 OAB 沿过点B 的直线折叠．
点O 恰好落在弧AB 上点D 处,折痕交OA 于点C,求整个阴影部分的周长和面积．
(第
９
题)
１０．某种商品的商标图案如图所示(阴影部分),已知菱形 ABCD 的边长为
４,∠A＝６０°,
BD︵是以点A 为圆心,AB 长为半径的弧,CD是以点B 为圆心,BC 为半径的弧,则该商
标图案的面积是多少?
(第
１０
题)
源于教材,宽于教材,举一反三显身手.
１１．如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”,则半径为
２
的“等边
扇形”的面积为( )．
A．π B．１ C．２ D．２π
１２．如图,一根
５m
长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊 A(羊只
能在草地上活动),那么小羊 A 在草地上的最大活动区域面积是( )．
A．１７
１２πm
２
B．１７
６πm
２
C．２５
４πm
２
D．７７
１２πm
２
(第
１２
题)
(第
１３
题)
１３．兰州市某中学的铅球场如图所示,已知扇形 AOB 的面积是
３６m
２,弧 AB 的长为
９m,
那么半径OA＝ m． １４．如图,在矩形ABCD 中,BC＝２AB,以点B 为圆心,BC 长为半径的圆交AD 于点E,交
BA 的延长线于点F,设 AB＝１．求阴影部分的面积．
(第
１４
题)
１５．用
４８m
长的篱笆材料,在空地上围成一个绿化场地,现有两种设计方案:一种是围成
正方形的场地;另一种是围成圆形场地．试问选用哪一种方案,围成的场地面积较大?
并说明理由．
瞧,中考曾经这么考!
１６．(２０１２Ű四川广安)如图,Rt△ABC 的边BC 位于直线l 上,AC＝ ３,∠ACB＝９０°,∠A＝
３０°,若
△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转,当点 A 第
３
次落在直线上l时,点
A 所经过的路线的长为
(结果用含
π
的式子表示)．
(第
１６
题)
１７．(２０１２Ű江苏 南 京)某 玩 具 由 一 个 圆 形 区 域 和 一 个 扇 形 区 域 组 成,如 图,在
☉O１
和 扇 形
O２CD 中,☉O１
与O２C、O２D 分别相切于点A、B,已知
∠CO２D＝６０°,E、F 是直线O１O２
与
☉O１、扇形O２CD 的两个交点,且EF＝２４
厘米,设
☉O１
的半径为x 厘米．
(１)用含x 的代数式表示扇形O２CD 的半径;
(２)若
☉O１、扇形O２CD 两个区域的制作成本分别为
０．４５
元/厘米２ 和
０．０６
元/厘米２,
当
☉O１
的半径为多少时,该玩具的制作成本最小?
(第
１７
题)第
２
课时
弧长及扇形的面积(２)
１．C ２．３００π ３．６cm ４．π ５．A
６．C ７．２
３π ８． ５π
９．连接OD．
(第
９
题)
∵ OB＝OD,OB＝BD,
∴ △ODB 是等边三角形,∠DBO＝６０°．
∴ ∠OBC＝∠CBD＝３０°．
在
Rt△OCB 中,OC＝OBtan３０°＝２ ３．
∴ S△OCB ＝ １
２
OCŰOB＝ １
２ ×２ ３× ６＝６ ３．
∴ S阴影部分
＝S扇形AOB －２S△OBC ＝ １
４π
Ű
３６－２×６ ３＝
９π－１２ ３．
由图可知,CD＝OC,DB＝OB,
L阴影部分
＝
弧 AB＋AC＋CD＋DB＝２×６＋３π＝１２＋３π．
１０．４ ３ １１．C １２．D １３．８
１４．连接BE,
S阴影
＝S扇形BCF ＋S矩形ABCD －２(S△ABE ＋S扇形BCE )
＝ π
３ － ３＋２．
１５．应选圆形场地的方案,理由略．
１６． ３π＋３π
１７．(１)连接 AO１,
∵ ☉O１
与O２C、O２D 分别相切于点A、B,
∴ O１A⊥O２A,∠AO２E＝∠DO２E．
∵ ∠CO２D＝６０°,
∴ ∠AO２O１＝３０°．
在
Rt△AO１O２
中,O１E＝O１A＝x,
∴ O１O２＝２４－３x．
(２)费用y总
＝y圆
＋y扇
y总
＝０．４５πx２＋０．０６×(３６０－６０)π(２４－３x２)
３６０
＝０．９πx２－７．２πx＋２８．８π．
∴
当x＝－ －７．２π
２×０．９π＝４
时,该玩具的制作成本最小,最
小值y＝１４．４π．
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