1
第一章 特殊平行四边形
中考考点综述：
特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注
重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、
菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平
行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标
掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的
教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：
1.矩形、菱形性质及判定的应用
2. 相关知识的综合应用
教学过程
知识点归纳
矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等
角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角性
质 对
角
线
互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对
角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平
分一组对角
判定
·有三个角是直角;
·是平行四边形且
有一个角是直角;
·是平行四边形且
两条对角线相等.
·四边相等的四边形；
·是平行四边形且有一
组邻边相等；
·是平行四边形且两条
对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：2
一．菱形
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质 1 菱形的四条边都相等；
性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形．
例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E．
求证：∠AFD=∠CBE． 3
例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F．
求证：四边形 AFCE 是菱形．
例 3、如图，在 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、
F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4、已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于 M，
若 AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。
例 5． 如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°, =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E．
求线段 的长．
AB
BE
A
B C
DE
F
O
1
2
B M
A
D
CE
D
A B
C
O
E
604
例 6、如图，四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥BC，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE
与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想
例 7、如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；
（3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.
二．矩形
矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】 矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质 1 矩形的四个角都是直角；
性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；
矩形的判定
矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等
矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形．
矩形判定方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为
例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补
例 3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，5
求证：四边形 EFGH 是矩形．
三．正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是
对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；
因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如
下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45°；
正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
• 注意：1、正方形概念的三个要点：
• （1）是平行四边形；
• （2）有一个角是直角；
• （3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正
方形.
例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O，E 是 OB 上的一点，DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于
F．
求证：OE=OF．6
例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1∥l2，作 BM⊥l1 于 M，DN⊥l1 于 N，直
线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点．
求证：四边形 PQMN 是正方形．
例 3、如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且
PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.
实战演练：
1.对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形
2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形
3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当 AB=BC 时，它是菱形 B．当 AC⊥BD 时，它是菱形
C．当∠ABC=900 时，它是矩形 D．当 AC=BD 时，它是正方形
A
B C
P
D
E
D
CB
A
Ａ
Ｆ
ＣＤＢ
Ｅ7
4.如图，在 中，点 分别在边 ， ， 上，且 ， ．下列四
个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形 是平行四边形 B．如果 ，那么四边形 是矩形
C．如果 平分 ，那么四边形 是菱形
D．如果 且 ，那么四边形 是菱形
5.如图，四边形 为矩形纸片．把纸片 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，折痕为
．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
6.如图，矩形 的周长为 ，两条对角线相交于 点，过点 作 的垂线 ，分别交
于 点，连结 ，则 的周长为（ ）
A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm
7.在右图的方格纸中有一个菱形 ABCD（A、B、C、D 四点均为格点），
若方格纸中每个最小正方形的边长为 1，则该菱形的面积为
8.如图，在矩形 中，对角线 交于点 ，已知 ，则 的长为 ．
9.边长为５cm 的菱形，一条对角线长是 6cm，则另一条对角线的长是 .
10.如图所示，菱形 中，对角线 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形 成为正
方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．
11.如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP = BC，则∠ACP 度数是 ．
ABC△ E D F， ， AB BC CA DE CA∥ DF BA∥
AEDF 90BAC∠ = AEDF
AD BAC∠ AEDF
AD BC⊥ AB AC= AEDF
ABCD ABCD B CD E
AF 6CD = AF
4 3 3 3 4 2 8
ABCD 20cm O O AC EF
AD BC， E F， CE CDE△
ABCD AC BD， O 120 2.5AOD AB∠ = =， AC
ABCD AC BD， O ABCD
Ｂ Ｆ Ｃ
Ｅ
ＤＡ
A
O
B C
DE
F
A
B
C
D
A
B C
D
A D
CB
O
B C
DA
P8
12.如图，矩形 中， 是 与 的交点，过 点的直线 与 的延长线分别交于
．
（1）求证： ；
（2）当 与 满足什么关系时，以 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
13.将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1．
(1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．
(2)如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt△B1C1D1 的位置，四边形 ABC1D1 是平行四边形吗？说出
你的结论和理由：_________________________________________．
ABCD O AC BD O EF AB CD，
E F，
BOE DOF△ ≌△
EF AC A E C F， ， ，
图 1
30°
30°B D
A
C 图 2
D1
C1
B1
C
A
DB
图 3
C
A
DB
图 4
C
A
DB
F
D
O
CB
E
A
第 12 题
图9
(3)在 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为______时，四边形 ABC1D1 为矩形，其
理由是_____________________________________；当点 B 的移动距离为______时，四边形 ABC1D1 为菱
形，其理由是_______________________________．(图 3、图 4 用于探究)
应用探究：
1. 如 图 ， 将 矩 形 纸 片 沿 对 角 线 折 叠 ， 使 点 落 在 处 ， 交 于 ， 若
，则在不添加任何辅助线的情况下，图中 的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
2.如图，正方形 的面积为 1， 是 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3.已知 为矩形 的对角线，则图中 与 一定不相等的是（ ）
A． B． C． D．
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为 的红丝带交叉成 60°角重叠在一起（如图），则
重叠四边形的面积为_______
5.如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH＝3 厘米，EF
＝4 厘米，则边 AD 的长是___________厘米.
ABCD BD C C′ BC′ AD E
22.5DBC∠ = ° 45°
ABCD M AB
3
10
1
3
2
5
4
9
AC ABCD 1∠ 2∠
1cm
2.cm
AB
E
C′
DC
22.5
D
A
C
BM
BA 1
D C
2
1 1
2
BA
D C
BA
C
1
2
D
1
2
BA
D C
B F C
A H D
E G10
6.如图，已知 ，点 在 边上，四边形 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图
中画出 的平分线（请保留画图痕迹）．
7.如图：矩形纸片 ABCD，AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC．若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 AC 上，则 AC
的长是 ．
AOB OA OB∠ =， E OB AEBF
AOB∠
A
B
F
EO
A
B C
D
E
微信/支付宝扫码支付