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第六章 反比例函数
【中考知识点】
1.反比例函数意义;
2.反比例函数 反比例函数图象;
3.反比例函数性质;
4.待定系数法确定函数解析式.
【中考课标要求】
知识与技能目标考点 课标要求
了解 理解 掌握 灵活应用
理解反比例函数意义 ∨
会画反比例函数的图象 ∨
理解反比例函数的性质 ∨
反比例
函数
能根据实际问题中的反比例关系用待定
系数法确定反比例函数的解析式
∨ ∨
【基础知识梳理】
1.反比例函数的概念
反比例函数 y= 中的 是一个分式,自变量 x≠0,函数与 x 轴、y 轴无交点,y= 也可写成 y=kx-1(k≠
0),注意自变量 x 的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0 这一限制条件.
2.反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数 y= 的图象时,应注意自变量 x 的取值不能为 0,应从 1 或-1 开始对称取点.
3.反比例函数 y= 中 k 的意义
注意:反比例函数 y= (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y= (k≠0)上任意一点引 x 轴、
y 轴垂线,所得矩形面积为│k│.
4.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.
【例题解析】
1．反比例函数的图象
例 1 函数 y= (x>0)的图象大致是( )
解析:函数 y= 的图象是双曲线,当 k0)表明
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
1
x
−
k
x
y
O x
A
y
O x
B
y
O x
C
y
O x
D2
横坐标为正,故双曲线位于第四象限.
答案:D.
点评:本题主要考查反比例函数的图象.但需注意的是 y= 中的限制条件(x>0), 即双曲线的横坐标
为正.
例 2 函数 y=kx+1 与函数 y= 在同一坐标系中的大致图象是( )
分析:明确一次函数 y=kx+1 中的 k 的含义与函数 y= 中 k 的含义是解题的关键.
解:可用排除法,假设 y= 中 k>0,双曲线过第一、三象限,则直线 y=kx+1 也应过第一、第三象限且与 y
轴交于正半轴,故排除 B、D.同理可排除 C,故答案为 A.
点评:解决同一坐标系中两种函数共存问题,首先明确同一字母系数在不同函数解析式中的含义,切勿
出现“张冠李戴”的错误.
2.待定系数法确定函数解析式
例 3 已知 y 与 x2 成反比例,并且当 x=-1 时,y=2,那么当 x=4 时,y 等于( )
A.-2 B.2 C. D.-4
分析:已知 y 与 x2 成反比例,∴y= (k≠0).将 x=-2,y=2 代入 y= 可求得 k,从而确定双曲线解析
式.
解:∵y 与 x2 成反比例,∴y= (k≠0).
当 x=-2 时,y=2,∴2= ,k=8
∴y= ,把 x=4 代入 y= 得 y= .
故答案为 C.
点评:此题主要考查反比例函数概念及待定系数法确定函数解析式.
3.反比例函数的应用
例 4 如图所示,已知一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象 与 x 轴、y 轴分
别交于 A、B 两点,且与反比例函数 y= (m≠0)的图象在 第一象限交于
C 点, CD 垂直于 x 轴,垂足为 D.若 OA=OB=OD=1,
(1)求点 A、B、D 的坐标;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
分析:(1)由 OA=OB=OD=1 可确定 A、B、D 三点坐标.
(2)将 A、B 两点坐标分别代入 y=kx+b,可用待定系数法 确定一次函数
的解析式, 由 C 点在一次函数的图象上可确定 C 点坐标, 将 C 点坐标代
1
x
−
k
x
k
x
k
x
1
2
2
k
x 2
k
x
2
k
x
2( 2)
k
−
2
8
x 2
8
x
1
2
m
x
y
O x
A
y
O x
B
y
O x
C
y
O x
D
y
O xD
C
B
A3
入 y= 可确定反比例函数的解析式.
解:(1)∵OA=OB=OD=1,∴点 A、B、D 的坐标分别为 A(-1,0),B(0,1),C(1,0).
(2)∵点 A、B 在一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象上,
∴ ,解得 ,
∴一次函数的解析式为 y=x+1.
∵点 C 在一次函数 y=x+1 的图象上,且 CD⊥x 轴,
∴点 C 的坐标为(1,2) .
又∵点 C 在反比例函数 y= (m≠0)的图象上,m=2.
∴反比例函数的解析式为 y= .
【历年考点解析】
考点 1：反比例函数的概念
例 1 近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25 ，
则 与 的函数关系式为 ________.
【方法导引】:形如 ( )的函数叫反比例函数.确定反比例函数的解析式,关键是确定反比例
系数 .
【解答】： 设 与 的函数关系式为 ,
把 ， 代入上式，得
，解得 ．
因此， 与 的函数关系式为 ．
【练习 1】：已知点（1，2）在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为_________.(答案:
)
考点 2:反比例函数的图象
例 2 如图 1,双曲线 的一个分支为( )
A. ① B.② C.③ D.④
图 1
k
x
0
1
k b
b
− + =
=
1
1
k
b
=
=
m
x
2
x
y ( )x m m
y x
ky x
= 0k ≠
k
y x ky x
=
0.25x = 400y =
400 0.25
k= 1000k =
y x 1000y x
=
2y x
=
8y x
=4
【方法导引】:对于双曲线 ：当 时,图象的两个分支在第一、三象限;当 时, 图象的两
个分支在第二、四象限.同时要注意,当 越大,变化的趋势越快,反之越慢.
【解答】:因为 ,所以双曲线 的一个分支应在第一象限, 又知 在双曲线 上,
故选 D.
【练习 2】函数 与 在同一坐标系中的图象可能是( ).
A B C D
(答案: A )
考点 3 .反比例函数的性质
例 3 若 、 、 三点都在函数 的图象上，则 的大小关系
是（ ）
A. B. C. D. ．
【方法导引】：对于反比例函数 ：当 时，在每一个象限内， 随 的增大而减小；
当 时，在每一个象限内， 随 的增大而增大．
【解答】：因为，A、B、C 三点在同一个象限内，且
所以， ．故选 B.
想一想：此题还可以怎样解答？
【练习 3】：若 ， ）三点都在函数 的图象上，则
的大小关系为（ ）
A. ； B. ； C. D.
（答案：B）
考点 4：反比例函数的应用
例 4 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 与可变电阻 之间的函数关系如图 2 所
示，当用电器的电流为 10A 时，用电器的可变电阻为_____ .
【方法导引】:先据函数图象,利用待定系数法求出 (A)与电阻 )的函数关系式,再将 代入
所求的关系式求出电阻 的值.
ky x
= 0k > 0k <
k
8 0k = > 8y x
= (4,2) 8y x
=
( 0)y kx b k= + ≠ ( 0)ky kx
= ≠
1( 3, )A y− 2( 2, )B y− 3( 1, )C y− 1y x
= − 1 2 3, ,y y y
1 2 3y y y> > 1 2 3y y y< < 1 2 3y y y= = 1 3 2y y y< <
( 0)ky kx
= ≠ 0k > y x
0k < y x
3 2 1− < − < −
1 2 3y y y< <
1
1( , ),2M y− 2
1( , )4N y− 3
1( ,2P y ( 0)ky kx
= <
1 2 3, ,y y y
2 3 1y y y> > 2 1 3y y y> > 3 1 2y y y> > 3 2 1y y y> >
I ( )A ( )R Ω
Ω
I (R Ω 10I A=
R5
图 2 图 3
【解答】:观察图象可知,电流 与电阻 成反比例函数关系,于是,设 ,
把 代入上式得: 即 .
所以,当 A 时, .
【练习 4】在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量 的某种气体,当改变容积 时,气体的
密度 ρ 也随之改变.ρ 与 在一定范围内满足 ρ ,它的图象如图 3 所示,则该气体的质量 为( )
A. B. C. D. 7 .
(答案:D)
考点 5.以反比例函数和一次函数为基架的综合题.
例 5．如图 4，一次函数 的图象与反比例函数 图象交于 A（－2，1）、B（1，n）两
点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围．
【方法导引】:先将交点 A 的坐标代入反比例函数 中，求出反比例函数解析式;再将点 B 的坐标
代入反比例函数关系式中,可求出 B 点的纵坐标,最后将 A、B 的坐标代入一次函数 中求出 ，
也即是求出一次函数解析式．
求“使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围”，也就是求直线上的纵坐标大于双曲线上的
纵坐标的横坐标的取值范围．
图 4 图 5
【解答】：（1）将点 A（－2，1）代入 中得： ， 所以
因此，反比例函数解析式为
I R UI R
=
9, 4R I= = 4 9 36U IR= = × = 36I R
=
10I = 36 3.6( )10R = = Ω
m V
V m
V
= m
1.4kg 5kg 6.4kg kg
bkxy +=
x
my =
x
my =
bkxy += ,k b
x
my = 1 2
m= − 2m = −
2y x
= −
O
A
B
x
y6
又将 B（1，n）代入 得 ，所以 B（1，-2）
将 A（－2，1），B（1，-2）分别代入 求得
因此，所求一次函数的解析式为 y＝－x－1
（2）x
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