1
第 2 课时 正方形的判定
教学目标:
1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主 动探究的学习习惯，逐步掌握说
理的基本方法.
3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
教学重点：掌握正方形的判定条件.
教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
教学过程：
一、创设问题情景，引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、 正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入
下图中.
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正
方形 、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
1、怎样判断一个四边形是矩形？
2、怎样判断一个四边形是菱形？
3、怎样判断一个四边形是平行四边形？
4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1．探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师
生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.2
（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直
角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方
法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、
矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可
作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断
2．正方形判定条件的应用
【例 1】判 断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.
（1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
（2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
师生共析：
（1） 是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每
个角为 90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.
（2） 真命题，由.四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形
是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.
（3） 假命题，对角线 平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定
是正方形.如下图，满足 A O=CO，BO=D O 且 AC⊥BD 但四边形 ABCD 不是正方形.
（4） 假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC⊥BD 且 AC=BD，但四边形 ABCD 不是正方形.
（5） 真命题。
方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角
线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.
方法二：对角线平分 平行四边形
对角线垂直
平行四边形
对角线相等
方法三：由对 角线互 相 垂直平分可知是菱 形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形
又是矩形的四边形就是正方形.
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成
立的判定依据，以便灵活应用.
【补充例题】如下图，E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，且∠
EAF=45°，试说明 EF=BE+DF.
师生共析：要证 EF=BE+DF，如果能将 DF 移到 EB 延长线或将 BE 移到 FD
菱 形
矩 形
正方形3
延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.
像这种在 EB 上补上 DF 或在 FD 补上 BE 的方法叫做补短法.
解：将△ADF 旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°，
∴∠GAB﹢∠BAE=45°，
即∠GAE=45°，
∴△A EF≌△AEG（SAS），
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF。
讨论：你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗？说出你的做法.
你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下.
三、随堂练习
教材 P24
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.
四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图 ，通过直观感受进一步加深理解正方形
判定方法的应用.
五、课后作业
习题 1.8 的 1-3 题.
六、板书设计：
（课题）
复习： 判定方法： 讨论：
例 1.
正方形与矩形 例 2. 补例.
正方形与菱形
微信/支付宝扫码支付