第24章 《圆》 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3.5
3．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
4．⊙O的半径r=5cm，直线l到圆心O的距离d=4，则直线l与圆的位置关系（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．重合
5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则的长度为（ ）
A．π B．π C．π D．π
6．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，BC 是直径，D在圆上，连接AD、CD，若∠ADC=35°，则∠ACB=（ ）
A．70°o B．55°o C．40°o D．45°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（ ）
A．5 B． C．5 D．5
9．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6m，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P．若∠BCD=32°，则∠CPD的度数是（ ）
A．64° B．62° C．58° D．52°
二．填空题（共8小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，BC=4，点E是△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，则DE= ．
13．如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC=12，则线段CE、BD的长度差是 ．
14．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为 ．
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 ．
16．△ABC中，AB=CB，AC=10，S△ABC=60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是 ．
17．如图，等边三角形△ABC内接于半径为1的⊙O，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图，已知线段AB=6，C为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到AD，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到BE，⊙O外接于△CDE，则⊙O的半径最小值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．十一期间，小明一家一起去旅游，如图是小明设计的某旅游景点的图纸（网格是由相同的小正方形组成的，且小正方形的边长代表实际长度100m，在该图纸上可看到两个标志性景点A，B．若建立适当的平面直角坐标系，则点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三个景点C（1，3）的位置已破损．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并标出景点C的位置；
（2）平面直角坐标系的坐标原点为点O，△ACO是直角三角形吗？请判断并说明理由．
20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
21．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
22．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．
（1）求证：∠ACB+∠BAD=90°；
（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB，AC=4，求DE的长．
23．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点E．
（1）求证：DI=DB；
（2）若AE=6cm，ED=4cm，求线段DI的长．
24．如图，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB．点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AF⊥DE交ED的延长线于F，如果正方形的边长为1，求阴影部分M、N的面积和．
25．如图：△ABC是圆的内接三角形，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交圆于点D，连接BD、DC，且∠BCA=60°．
（1）求证：△BED为等边三角形；
（2）若∠ADC=30°，⊙O的半径为，求BD长．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵d=3＜半径=4
∴直线与圆相交
∴直线m与⊙O公共点的个数为2个
故选：C．
2．【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OB=AB=5；
又∵AB⊥CD于E，CD=8，[来源:Zxxk.Com]
∴CE=CD=4（垂径定理）；
在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；
故选：A．
3．【解答】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．
故选：D．
4．【解答】解：∴⊙O的半径为5cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm，
∴5＞4，
即d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：C．
5．【解答】解：连接OE、OC，如图，
∵DE=OB=OE，
∴∠D=∠EOD=20°，
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°，
∵OE=OC，
∴∠C=∠CEO=40°，
∴∠BOC=∠C+∠D=60°，
∴的长度==π，
故选：A．
6．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=∠D=35°，
∴∠ACB=55°，
故选：B．
7．【解答】解：连接OD、AD，
∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是Rt△BAC，
∵BC=4，[来源:学科网]
∴AC=AB=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，BO=DO=2，
∵OD=OB，∠B=45°，
∴∠B=∠BDO=45°，
∴∠DOA=∠BOD=90°，
∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=+=π+2．
故选：B．
8．【解答】解：连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，
∴∠APB=∠C=30°，
∵PB=AB，
∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，
∵PB=AB，
∴OB⊥AP，AD=PD，
∴∠OBP=∠OBA=60°，
∵OB=OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=×5=，
∴AP=2PD=5，
故选：D．
9．【解答】解：连接OD，
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，
∴OC=OA=×6=3米，[来源:学科网ZXXK]
∵∠AOB=90°，CD∥OB，
∴CD⊥OA，
在Rt△OCD中，
∵OD=6，OC=3，
∴CD===3米，
∵sin∠DOC===，
∴∠DOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△DOC=﹣×3×3 =（6π﹣）平方米．
故选：A．
10．【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，∠BCD=32°，
∴∠OBC=58°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=58°，
∴∠COP=64°，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∴∠CPO=26°，
∵AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
∴PC=PD，
∴∠CPD=2∠CPO=52°
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD=50°，
∴∠BOD=180°﹣50°=130°，
故答案为：130°．
12．【解答】解：如图，连接BD，CD，EC．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB=∠DAC，∠ECA=∠ECD，
∵∠DCB=∠DAB，∠DEC=∠EAC+∠ECA，∠ECD=∠ECB+∠DCB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠DAB=∠DAC，
∴=，
∴BD=DC，
∵BC=4，
∴DC=DB=2，
∴DE=2，
故答案为2．
13．【解答】解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM⊥DE．
∵在Rt△AOB中，OA=20，AB=OC=12，
∴OB===16，
∴OM===，
在Rt△OCM中，
CM===，
∵BM=BC﹣CM=20﹣=，
∴CE﹣BD=（EM﹣CM）﹣（DM﹣BM）=BM﹣CM=﹣=．
故答案为：．
14．【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，
∵平移前圆O与AC相切于A点，
∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，
∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，
即A′D与A′A为圆O的两条切线，
∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，
∴△A′AD为等边三角形，
∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，
∴∠OAE=∠OAA′﹣∠DAA′=30°，
在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，
∴AE=AO•cos30°=，
∴AD=2AE=2，
∴AA′=2，
则该直角三角板平移的距离为2．
故答案为：2．
[来源:Z。xx。k.Com]
15．【解答】解：连接OA、OB，如下图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得：PA=PB，
同理可知：DA=DC，EC=EB；
∵OA⊥PA，OA=5，PO=13，
∴由勾股定理得：PA=12，
∴PA=PB=12；
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24，
故此题应该填24cm．
16．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
∵AB=BC，
∴AD=CD=AC=5，
∵S△ABC=60，
∴，即，
BD=12，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
∴F在以AC为直径的圆上，
∵BF+DF＞BD，且DF=DF'，
∴当F在BD上时，BF的值最小，
此时BF'=12﹣5=7，
则BF的最小值是7，
故答案为：7．
17．【解答】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，
则AH⊥BC，BH=CH．
∵△ABC是等边三角形，OB=OA=1，
∴BH=OB，
∴BH=CH=，
∴BC=，
∴S△ABC=•（）2=，
∴S阴=π•12﹣=π﹣，
故答案为π﹣．
18．【解答】解：如图，连接OD、OA、OC、OB、OE．
∵OA=OA，OD=OC，AD=AC，
∴△OAD≌△OAC，
∴∠OAC=∠OAD=∠CAD=60°，
同法可证：∠OBC=∠OBE=∠ABE=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴当OC⊥AB时，OC的长最短，此时OC=OA•sin60°=3，
故答案为3．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：（1）如图；
（2）△ACO是直角三角．
理由如下：
∵A（﹣3，1），C（1，3），
∴OA==，OC==，AC==2，
∵OA2+OC2=AC2，
∴△AOC是直角三角形，∠AOC=90°．
20．【解答】解：（1）AB=AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积=，阴影部分面积=．
21．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵∠P=35°，
∴∠AB=90°﹣35°=55°．
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACP=90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．
22．【解答】（1）证明：延长AD交⊙O于点F，连接BF．
∵AF为⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
∴∠AFB+∠BAD=90°，
∵∠AFB=∠ACB，
∴∠ACB+∠BAD=90°．
（2）证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．
∵∠AOB=2∠ACB，
∠ADC=2∠ACB，
∴∠AOB=∠ADC，
∴∠BOD=∠BDO，
∴BD=BO，
∴BD=OA，
∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，
∴△BDE≌△AOH，（AAS），
∴DE=AH，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH=AC，
∴AC=2DE=4，
∴DE=2．
23．【解答】（1）证明：连接BI．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI．
又∵∠DBI=∠CBI+∠DBC，∠DIB=∠ABI+∠BAI，[来源:学科网ZXXK]
∠DBC=∠DAC=∠BAI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DI=DB．
（2）∵∠DBC=∠DAC=∠BAI，∠ADB=∠BDA，
∴△BDE∽△ABD，
∴，
即BD2=DE•AD=DE•（AE+DE）=4×（6+4）=40，
DI=BD=（cm）．
24．【解答】解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC=CD=1，
∴OD=，
∴AC=OA﹣OC=﹣1，
∵DE=DC，BE=AC，弧BD=弧AD
∴S阴=长方形ACDF的面积=AC•CD=﹣1．
25．【解答】（1）证明：∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，
∴∠EAB=∠CAB，∠EBA=∠CBA，
∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣（180°﹣∠BCA）=120°，
∴∠DEB=60°，
由圆周角定理得，∠BDA=∠BCA=60°，
∴△BED为等边三角形；
（2）∵∠ADC=30°，∠BDA=60°，
∴∠BDC=90°，
∴BC是⊙O的直径，即BC=4，
∵AE平分∠BAC，
∴=，
∴BD=DC=4．
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