单元测试(四) 圆
(满分：120分 考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)
A．2.5 B．3 C．5 D．10
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于(C)
A. B. C．2 D．2
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC.若OB＝BC，则∠BAC等于(C)
A．60° B．45° C．30° D．20°
4．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝.若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是(D)
A．32° B．60° C．68° D．64°
5．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点．若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝(B)
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长(B)
A．2π B．Π C. D.
7．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm，则这块扇形铁皮的半径是(A)
A．40 cm B．50 cm C．60 cm D．80 cm
8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为(D)
A. B．2 C．3 D．4
9．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6 cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长是(B)
A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm
10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是(D)
A．Π B. C．3＋π D．8－π
二、填空题(每大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.若以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点A，点B，点C，点D四点中在⊙A外的是点C．
12．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC外接圆的直径是10．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为3．
14.如图，AP为⊙O的切线，P为切点．若∠A＝20°，C，D为圆周上的两点，且∠PDC＝60°，则∠OBC等于65°．
15．如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2.若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为3．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
(1)如图，在△AOC中，∠AOC＝90°，以点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点B，且OB＝BC，求∠A的度数．
解：∵OA＝OB，OB＝BC，∴∠A＝∠OBA，∠BOC＝∠C，
又∵∠OBA＝∠BOC＋∠C，∴∠A＝2∠C.
∵△AOC中，∠AOC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，即3∠C＝90°.
∴∠C＝30°，∠A＝60°.
(2)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°，
∴∠B＝25°.
∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.
17．(本题6分)如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE.
证明：连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
在△COD和△COE中，
∴△COD≌△COE(AAS)．
∴OD＝OE.
∵AO＝BO，
∴AD＝BE.
18．(本题7分)“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如果CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，那么直径CD的长为多少寸？”请你求出CD的长．
解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，OE＝x－1.
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5.
连接OB，则OB＝x，根据勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26(寸)．
19．(本题9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2)．
(1)请在图中作出经过A，B，C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；
(2)若D(1，4)，则直线BD与⊙M的位置关系是相切．
解：如图所示，圆心M的坐标为(2，1)．
20．(本题9分)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
(1)尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；
(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC＝3，∠A＝30°，求的长．
解：(1)如图，⊙C为所求．
(2)∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB.∴∠ADC＝90°.
∴∠DCE＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝90°－∠ACD＝30°.
在Rt△BCD中，BC＝3，
∴BD＝BC＝，CD＝＝.
∴的长为＝π.
21．(本题9分)如图，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
(1)求证：点P为的中点；
(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
解：(1)证明：连接OP，交BD于E.
∵CP与⊙O相切于点P，∴PC⊥OP.∴∠OPC＝90°.
∵BD∥CP，∴∠OEB＝∠OPC＝90°.
∴BD⊥OP.∴点P为的中点．
(2)∵∠C＝∠D，∠POB＝2∠D，∴∠POB＝2∠C.
∵∠CPO＝90°，∴∠C＝30°.
∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA.∴∠D＝∠DBA.
∴BC∥PD.∴四边形BCPD是平行四边形．
∵PO＝AB＝6，∴PC＝6.
∵∠ABD＝∠C＝30°，∴OE＝OB＝3.∴PE＝3.
∴四边形BCPD的面积为PC·PE＝6×3＝18(cm2)．
22．(本题12分)如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
解：(1)证明：连接OB，
∵E是弦BD的中点，∴BE＝DE，OE⊥BD, ＝＝.
∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.
∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC.∴∠OBE＋∠DBC＝90°.∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB.
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝＝10.
∵△OBC的面积为OC·BE＝OB·BC，∴BE＝＝＝4.8.
∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6.
23．(本题13分)先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图，点A，B，C，D均为⊙O上的点，则有∠C＝∠D.小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，则有∠D>∠E.
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：
(1)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，7)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)．
①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为(7，0)；
(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，其中m>n>0，点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．
解：(1)①如图．
(2)当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CD⊥y轴，连接CP，CB.
∵点A的坐标为(0，m)，点B的坐标为(0，n)，
∴点D的坐标是(0，)，即BC＝PC＝.
在Rt△BCD中，BC＝，BD＝，
∴则CD＝＝.
∴OP＝CD＝.
∴点P的坐标是(，0)．
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