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《第 12 章 全等三角形》
一、填空题.
1．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′= ．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D 点，E、F 分别为 DB、DC 的中点，则图中共有全等三角形
对．
3．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC 的面积为 10cm2，则△A′B′C′的面积为 cm2；若△A′B′C′
的周长为 16cm，则△ABC 的周长为 cm．
4．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是 （只添一个条件即可）．
5．如图，点 F、C 在线段 BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件 ，
依据是 ．
6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线 一点，且该点在三角形 部．
7．如图，两平面镜α、β的夹角为 θ，入射光线 AO 平行于 β 入射到口上，经两次反射后的出射光线O′B
平行于 α，则角 θ 等于 度．
8．如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE=4，BD=8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 ．第 2 页（共 16 页）
二、选择题
9．如图，AE=AF，AB=AC，EC 与 BF 交于点 O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB 的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
10．△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为 100cm，A、B 分别与 D、E 对应，且 AB=35cm，DF=30cm，则 EF 的长
为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
11．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列
有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（ ）两点上的木条．
A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F
12．要测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂
线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得 ED=AB，因此测得 ED 的长就
是 AB 的长，判定△EDC≌△ABC 最恰当的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角第 3 页（共 16 页）
13．如图，N，C，A 三点在同一直线上，在△ABC 中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，
则∠BCM：∠BCN 等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
14．如图，P 是∠AOB 平分线上一点，CD⊥OP 于 F，并分别交 OA、OB 于 CD，则 CD（ ）P 点到∠AOB 两
边距离之和．
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
三、解答题
15．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，延长 BC 至 B′，使 C B′=BC，连接 A B′．
求证：△ABB′是等腰三角形．
16．已知如图，AC 交 BD 于点 O，AB=DC，∠A=∠D．
（1）请写出符合上述条件的五个结论（并且不再添加辅助线，对顶角除外）；
（2）从你写出的 5 个结论中，任选一个加以证明．第 4 页（共 16 页）
17．如图，画出一个两条直角边相等的 Rt△ABC，并过斜边 BC 上一点 D 作射线 AD，再分别过 B，C 作射线 AD
的垂线 BE 和 CF，垂足分别为 E，F，量出 BE，CF，EF 的长，改变 D 的位置，再重复上面的操作，你是否
发现 BE，CF，EF 的长度之间有某种关系？并证明你的结论．
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《第 12 章 全等三角形》
参考答案与试题解析
一、填空题.
1．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′= 70° ．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠C′=∠C，代入求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，
∴∠C′=∠C=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D 点，E、F 分别为 DB、DC 的中点，则图中共有全等三角形 4
对．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】本题重点是根据已知条件“AB=AC，AD⊥BC 交 D 点，E、F 分别是 DB、DC 的中点”，得出△ABD≌△
ACD，然后再由结论推出 AB=AC，BE=DE，CF=DF，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由
易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AD⊥BC，AB=AC
∴D 是 BC 中点
∴BD=DC，
∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
E、F 分别是 DB、DC 的中点
∴BE=ED=DF=FC第 6 页（共 16 页）
∵AD⊥BC，AD=AD，ED=DF
∴△ADF≌△ADE（HL）；
∵∠B=∠C，BE=FC，AB=AC
∴△ABE≌△ACF（SAS）
∵EC=BF，AB=AC，AE=AF
∴△ABF≌△ACE（SSS）．
∴全等三角形共 4 对，分别是：△ABD≌△ACD（HL），△ABE≌△ACF（SAS），△ADF≌△ADE（SSS），△
ABF≌△ACE（SAS）．
故答案为 4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．题目是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABE≌△ACD，此类题可
以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证
．其中△ABE≌△ACD 常被忽略．
3．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC 的面积为 10cm2，则△A′B′C′的面积为 10 cm2；若△A′B′C′
的周长为 16cm，则△ABC 的周长为 16 cm．
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的面积相等，全等三角形的周长相等解答．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，△ABC 的面积为 10cm2，
∴△A′B′C′的面积为 10cm2；
∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周长为 16cm，
∴△ABC 的周长为 16cm．
故答案为：10，16．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，需熟记．
4．如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是 CD=BD （只添一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加 DB=DC，利用 SAS 判定其全等．
【解答】解：需添加的一个条件是：CD=BD，第 7 页（共 16 页）
理由：∵∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ADB，
在△ABD 和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
故答案为：CD=BD．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是
正确解答本题的关健．
5．如图，点 F、C 在线段 BE 上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件 AC=DF
，依据是 SAS ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要使△ABC≌△DEF，已知∠1=∠2，AC=EF，添加边的话应添加对应边，符合 SAS 来判定．
【解答】解：AC=DF．
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AC=DF，SAS．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应
相等时，角必须是两边的夹角．
6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线 相交于 一点，且该点在三角形 外 部．第 8 页（共 16 页）
【考点】角平分线的性质．
【分析】首先根据题意作图，然后根据角平分线的性质与判定，即可得三角形两外角平分线和第三个角的
内角平分线相交于一点，且该点在三角形外部．
【解答】解：如图：AP 与 CP 是△ABC 两外角平分线，
过点 P 作 PE⊥AB 于 E，作 PD⊥BC 于 D，PF⊥AC 于 F，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PD，
∴PB 是△ABC 第三个角∠ABC 的内角平分线．
∴三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线相交于一点，且该点在三角形外部．
故答案为：相交于，外．
【点评】此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注
意辅助线的作法．
7．如图，两平面镜α、β的夹角为 θ，入射光线 AO 平行于 β 入射到口上，经两次反射后的出射光线O′B
平行于 α，则角 θ 等于 60 度．
【考点】镜面对称．
【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质
把相应的角转移到一个三角形中求解．
【解答】解：
∵AO∥β，
∴∠1=∠θ（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠COO′
∴∠θ=∠COO′第 9 页（共 16 页）
同理∠θ=∠CO′O，
∵∠θ+∠COO′+∠CO′O=180°
∴∠θ=60°．
故填 60．
【点评】本题考查了镜面对称问题；需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中
求解是正确解答本题的关键．
8．如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE=4，BD=8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 8 ．
【考点】平行线之间的距离；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD 的面积可求出高，然后
求△ACE 的面积即可．
【解答】解：在△ABD 中，当 BD 为底时，设高为 h，
在△AEC 中，当 AE 为底时，设高为 h′，
∵AE∥BD，
∴h=h′，
∵△ABD 的面积为 16，BD=8，
∴h=4．
则△ACE 的面积= ×4×4=8．
【点评】主要是根据两平行线间的距离相等求出高再求三角形的面积．
二、选择题第 10 页（共 16 页）
9．如图，AE=AF，AB=AC，EC 与 BF 交于点 O，∠A=60°，∠B=25°，则∠EOB 的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理．
【分析】已知可得△ABF≌△ACE，结合三角形内角和可得∠AFB=∠AEC=95°，在由外角性质可得，∠
EOB=95°﹣25°=70°
【解答】解：∵AE=AF，AB=AC，∠A=60°
∴△ABF≌△ACE
∴∠C=∠B=25°
∴∠AEC=180°﹣60°﹣25°=95°，
∴∠EOB=95°﹣25°=70°
故选 B．
【点评】主要考查了三角形中内角与外角之间的关系和全等三角形的判断和性质．此题主要运用了外角等
于两个不相邻的内角和、全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理．
10．△ABC≌△DEF，且△ABC 的周长为 100cm，A、B 分别与 D、E 对应，且 AB=35cm，DF=30cm，则 EF 的长
为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质得出 AC=DF=30cm，EF=BC，求出 BC，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，A、B 分别与 D、E 对应，且 AB=35cm，DF=30cm，
∴AC=DF=30cm，EF=BC，
∵△ABC 的周长为 100cm，
∴EF=BC=100cm﹣35cm﹣30cm=35cm，
故选 A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
第 11 页（共 16 页）
11．如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列
有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（ ）两点上的木条．
A．A、F B．C、E C．C、A D．E、F
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性选择不能构成三角形的即可．
【解答】解：A、A、F 与 D 能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；
B、C、E 与 B 能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；
C、C、A 与 B 能够组三角形，能固定形状，故本选项错误；
D、E、F 不能与 A、B、C、D 中的任意点构成三角形，不能固定形状，故本选项正确．
故选 D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，观察图形并熟记三角形的定义是解题的关键．
12．要测量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂
线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得 ED=AB，因此测得 ED 的长就
是 AB 的长，判定△EDC≌△ABC 最恰当的理由是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
【考点】全等三角形的应用．
【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又 CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．
【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD
∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA）第 12 页（共 16 页）
故选 B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，
观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
13．如图，N，C，A 三点在同一直线上，在△ABC 中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，
则∠BCM：∠BCN 等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
【考点】全等三角形的性质．
【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN 的度
数可求出结果．
【解答】解：在△ABC 中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10
设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°
3x+5x+10x=180
解得 x=10
则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°
∴∠BCN=180°﹣100°=80°
又△MNC≌△ABC
∴∠ACB=∠MCN=100°
∴∠BCM=∠NCM﹣∠BCN=100°﹣80°=20°
∴∠BCM：∠BCN=20°：80°=1：4
故选 D
【点评】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要
注意掌握．
14．如图，P 是∠AOB 平分线上一点，CD⊥OP 于 F，并分别交 OA、OB 于 CD，则 CD（ ）P 点到∠AOB 两
边距离之和．第 13 页（共 16 页）
A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】过 P 作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，则∠PED=∠PFD=90°，根据垂线段最短得出 PC＞PE，PD＞PF，
即可得出答案．
【解答】解：
过 P 作 PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，
则∠PED=∠PFD=90°，
所以 PC＞PE，PD＞PF，
∴PC+PD＞PE+PF，
即 CD 大于 P 点到∠AOB 两边距离之和，
故选 B．
【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解此题的关键是推出 PD＞PF，PC＞PE．
三、解答题
15．（12 分）（2015 秋•岱岳区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，延长 BC 至 B′，使 C B′=BC
，连接 A B′．
求证：△ABB′是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．第 14 页（共 16 页）
【分析】只要证明△ABC≌△AB′C 就可以证明三角形是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠ACB=90°
∴∠ACB′=90° （1 分）
在△ABC 和△AB′C 中，
∴△ABC≌△AB′C （SAS）
∴AB=AB′
∴△ABB′是等腰三角形． （6 分）
【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理和全等三角形的性质和判定定理．
16．（2014 秋•利通区校级期末）已知如图，AC 交 BD 于点 O，AB=DC，∠A=∠D．
（1）请写出符合上述条件的五个结论（并且不再添加辅助线，对顶角除外）；
（2）从你写出的 5 个结论中，任选一个加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】开放型．
【分析】首先证明△AOB≌△DOC，得出其对应边、对应角相等，再根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB．
【解答】解：（1）答：符合上述条件的五个结论为：△AOB≌△DOC，OA=OD，OB=OC，∠ABO=∠DCO，∠OBC=
∠OCB．
（2）证明如下：
∵AB=DC，∠A=∠D，
又有∠AOB=∠DOC
∴△AOB≌△DOC
∴OA=OD，OB=OC，∠ABO=∠DCO
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB．第 15 页（共 16 页）
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，要熟练掌握并灵活
应用这些知识．
17．（2015 秋•岱岳区校级月考）如图，画出一个两条直角边相等的 Rt△ABC，并过斜边 BC 上一点 D 作射
线 AD，再分别过 B，C 作射线 AD 的垂线 BE 和 CF，垂足分别为 E，F，量出 BE，CF，EF 的长，改变 D 的位
置，再重复上面的操作，你是否发现 BE，CF，EF 的长度之间有某种关系？并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】CF=BE+EF，理由为：由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及 AB=AC，利用 AAS
得到三角形 ABE 与三角形 CAF 全等，利用全等三角形对应边相等得到 BE=AF，AE=CF，由 AE=AF+EF，等量
代换即可得证．
【解答】解：CF=BE+EF，理由为：
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE 和△CAF 中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴CF=AE=AF+EF=BE+EF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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