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名师点金：本章学习的主要知识有三角形和多边形，其中三角形中主要学习了与三角形有关的线段和三角形内角、外角相关的知识，多边形中主要学习了多边形的内角和与外角和，一般考查的题型包括三角形的计数，三角形的三边关系，三角形的中线、高、角平分线，三角形内角和及外角性质，多边形的内角和与外角和等．www.21-cn-jy.com
两个概念
与三角形有关的概念
(第1题)
1．如图，在△ABC中， D是BC边上一点，E是AD边上一点．
(1)以AC为边的三角形共有____个，它们是____________________________；
(2)∠1是△________和△________的内角；
(3)在△ACE中，∠CAE的对边是________．
与多边形有关的概念
2．下列说法正确的是( )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
三种线段
三角形的高
3．如图，D为△ABC中AC边上一点，AD＝1，DC＝2，AB＝4，E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC面积的一半，求EB的长．21·世纪*教育网
(第3题)
三角形的中线
(第4题)
4．如图，在△ABC中，E是边BC上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．连接AE，BD交于点F.已知S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝( )www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2
C．3 D．4
三角形的角平分线
5．如图，在△ABC中，AF是中线，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝90°，FC＝6，则根据图形填空：21cnjy.com
(1)BF＝________，BC＝________；
(2)∠BAE＝________°，∠CAE＝________°；
(3)∠ADB＝________°，∠ADC＝________°.
(第5题)
(第6题)
三个关系
三角形的三边关系
6．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交于点O.试说明：AC＋BD＞(AB＋BC＋CD＋DA)．【来源：21cnj*y.co*m】
解：在△OAB中有OA＋OB＞AB，
在△OAD中有____________，
在△ODC中有____________，
在△________中有____________，
∴OA＋OB＋OA＋OD＋OD＋OC＋OC＋OB＞AB＋BC＋CD＋DA，
即________________________．
∴AC＋BD＞(AB＋BC＋CD＋DA)．
三角形内角、外角的关系
7．已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
(2)∠DAE与∠C－∠B有何关系？
(第7题)
(第8题)
多边形内角、外角的关系
8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．
两种计算
三角形中的边角计算
9．【2015·资阳)等腰三角形的两边长a，b满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．21·cn·jy·com
多边形中的边角计算
10．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63.求(n－m)t的值．
两个技巧
巧用面积法解决问题
11．如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，且AB＝3，BC＝6，则CE与AD有怎样的数量关系？【来源：21·世纪·教育·网】
(第11题)
(第12题)
巧用整体法解决问题
12．如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝________．
四种思想
转化思想
13．如图所示的模板按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在板上，不便测量，但工人师傅测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°，此时，AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？【版权所有：21教育】
(第13题)
分类讨论思想
14．阅读两名同学对下题的解答过程．一个等腰三角形的周长为28 cm，其中一边长为8 cm，则这个三角形另外两边的长分别是多少？21*cnjy*com
李明说应这样解：设腰长为x cm，则2x＋8＝28，解得x＝10，所以这个三角形的另外两边的长均为10 cm.张钢说应这样解：设底边长为x cm，则2×8＋x＝28，解得x＝12，所以这个三角形的另外两边的长分别为8 cm，12 cm.
试判断李明与张钢两人的解答过程是否正确，若正确，请写出判断的依据；若不正确，请你写出正确的解答过程．21*cnjy*com
方程思想
15．在△ABC中，∠B＝20°＋∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数．
从特殊到一般的思想
16．三角形没有对角线，四边形ABCD有2条对角线AC和BD(如图①)，五边形ABCDE有5条对角线AC，AD，BE，BD，CE(如图②)．想一想：六边形(如图③)有几条对角线？n边形有几条对角线？【出处：21教育名师】
(第16题)
答案
1．(1)3； △ACE，△ACD，△ACB
(2)BCE； CDE
(3)CE
2．C
3．解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，则＝＝＝.
过点C作CG⊥AB于点G，则＝＝＝.
∴·＝×，即＝.
又∵＝，∴＝，∴AE＝3，
∴BE＝AB－AE＝1，即BE的长为1.
(第3题)
点拨：同(等)高的两个三角形的面积比等于底边长的比．
4．B 点拨：连接CF.设S△BEF＝x，因为EC＝2BE，点D是AC的中点，所以S△ADF＝S△CDF，S△ABD＝S△BCD＝S△ABC＝6，S△CEF＝2S△BEF＝2x，所以S△ABF＝S△BCF＝3x. S△ADF＝S△CDF＝6－3x.由图形，得S△AEC＝2S△ABE，即2x＋(6－3x)＋(6－3x)＝2(x＋3x)，解得x＝1，所以6－3x＝6－3×1＝3，所以S△ADF－S△BEF＝2.故选B.2·1·c·n·j·y
5．(1)6；12 (2)45；45 (3)90；90
6．OA＋OD＞AD；OD＋OC＞CD；
OBC；OB＋OC＞BC；2(AC＋BD)＞AB＋BC＋CD＋DA
7．解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－30°－50°＝100°.
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝50°.
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝30°＋50°＝80°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝90°.
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－80°＝10°.
(2)由(1)知，∠DAE＝90°－∠AEC＝90°－.
又∵∠BAC＝180°－∠B－∠C.
∴∠DAE＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝(∠C－∠B)．
8．300°
9．解：∵|a－4|＋(b－9)2＝0，
∴|a－4|＝0，(b－9)2＝0.
∴a＝4，b＝9.
若腰长为4，则4＋4＜9，不能构成三角形．
若腰长为9，则9＋4＞9，能构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为9＋9＋4＝22.
10．解：由题意知n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，
t＝63÷7＝9，所以(n－m)t＝(7－8)9＝(－1)9＝－1.
11．解：根据△ABC的面积＝AB·CE＝BC·AD，得×3·CE＝×6·AD，
所以CE＝2AD.
12．540° 点拨：连接AG，GD.在△MAG与△MHK中，
∵∠MAG＋∠MGA＋∠AMG＝180°，∠H＋∠K＋∠HMK＝180°，∠AMG＝∠HMK，
∴∠MAG＋∠MGA＝∠H＋∠K.
同理，∠NGD＋∠NDG＝∠E＋∠F.
∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠MGN＋∠E＋∠F＋∠H＋∠K＝∠BAK＋∠MAG＋∠MGA＋∠MGN＋∠NGD＋∠NDG＋∠CDE＋∠C＋∠B＝∠BAG＋∠AGD＋∠GDC＋∠C＋∠B＝540°.21世纪教育网版权所有
13．解：不符合规定，理由如下：延长AB，CD相交于G，∵多边形AEFCG为五边形，∴∠G＝540°－90°－90°－122°－155°＝83°≠80°，∴不符合规定．21教育网
(第13题)
14．解：李明、张钢两人的解法均不全面. 正确的解答过程如下：
当该等腰三角形的底边长为8 cm时，腰长为(28－8)×＝10(cm)．
当该等腰三角形的腰长为8 cm时，底边长为28－2×8＝12(cm)．
根据三角形三边关系可验证这两种情况均成立．
所以这个三角形的另外两边的长是10 cm，10 cm或8 cm，12 cm.
点拨：本题中没有明确8 cm是等腰三角形的底边长还是腰长，需对其进行分情况讨论，并用三角形的三边关系进行验证．2-1-c-n-j-y
15．解：∠C＝∠B－10°＝20°＋∠A－10°＝10°＋∠A，
所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋20°＋∠A＋10°＋∠A＝3∠A＋30°＝180°，所以∠A＝50°.
16．解：六边形有9条对角线，由四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，推断n边形有条对角线．
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