《第11章 三角形》
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形
3．如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（ ）
A．52° B．53° C．54° D．55°
4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
5．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一高线在三角形的内部
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
7．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
8．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
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D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
9．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35° B．55° C．60° D．70°
10．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 大于3小于9 ．
12．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有 6 个．
13．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 BE 是△ABC中AC边上的高．
14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
15．十边形的外角和是 360 °．
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16．若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为 15，20，25 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．求正六边形的每个外角的度数．
18．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．
19．观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有 13 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （2n﹣1） 个三角形（用n的代数式表示结论）．
20．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．
21．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
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23．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
24．（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
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《第11章 三角形》
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．至少有两边相等的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
【考点】三角形．
【分析】本题需要分类讨论：两边相等的三角形称为等腰三角形，该等腰三角形可以是等腰直角三角形，该等腰三角形有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形；
当有三边相等时，该三角形是等边三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形．
【解答】解：本题中三角形的分类是：．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的分类．此题属于易错题，同学们往往忽略了等边三角形是一特殊的等腰三角形，且等腰三角形也可以是锐角三角形、钝角三角形以及直角三角形．
2．下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形
【考点】三角形的稳定性；多边形．
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：直角三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
3．如图，∠1=55°，∠3=108°，则∠2的度数为（ ）
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A．52° B．53° C．54° D．55°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】直接根据三角形外角的性质进行解答即可．
【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=55°，∠3=108°，
∴∠2=∠3﹣∠1=108°﹣55°=53°．
故选B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
4．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
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C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一高线在三角形的内部
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误；
B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误；
C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确；
D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
【解答】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；
B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；
C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
7．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据已知条件和三角形的内角和是180度求得各角的度数，再判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A=20°，
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∴∠B=∠C=（180°﹣20°）=80°，
∴三角形△ABC是锐角三角形．
故选A．
【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
8．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【考点】三角形．
【分析】根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了三角形的分类方法，理解各类三角形的定义．
9．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ）
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A．35° B．55° C．60° D．70°
【考点】直角三角形的性质；角平分线的定义．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答．
【解答】解：∵CD⊥BD，∠C=55°，
∴∠CBD=90°﹣55°=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．10° D．15°
【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠B，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠ADC，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】解：∵∠BAC=60°，∠C=80°，
∴∠B=40°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴∠ADE=70°，
又∵OE⊥BC，
∴∠EOD=20°．
故选A．
【点评】此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长的取值范围是 大于3小于9 ．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边长的取值范围是：6﹣3=3＜第三边＜6+3=9．
故答案为：大于3小于9．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
12．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有 6 个．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
13．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段 BE 是△ABC中AC边上的高．
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【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴△ABC中AC边上的高是BE．
故答案为：BE
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
15．十边形的外角和是 360 °．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：十边形的外角和是360°．
故答案为：360．
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【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
16．若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为 15，20，25 ．
【考点】三角形；一元一次方程的应用．
【分析】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值即可．
【解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，
∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．
∵其周长为60cm，
∴3x+4x+5x=60，解得x=5，
∴三角形的三边长分别是15，20，25，
故答案为：15，20，25
【点评】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的三边关系解答．
三、解答题（共8题，共72分）
17．求正六边形的每个外角的度数．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由多边形的外角和为360°可求得每个外角的度数．
【解答】解：
∵正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，
∴正六边形的一个外角度数是：360÷6=60°．
【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，理解外角和是360度，且每个外角都相等是关键．
18．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．
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【考点】多边形；三角形的稳定性．
【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【解答】解：如图所示：
，
至少要定3根木条．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，过n边形的一个顶点作对角线，可以做（n﹣3）条．
19．观察以下图形，回答问题：
（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有 13 个三角形．
（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 （2n﹣1） 个三角形（用n的代数式表示结论）．
【考点】三角形．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形
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（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．
【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．
（2）∵图②有3个三角形，3=2×2﹣1；
图③有5个三角形，5=2×3﹣1；
图④有7个三角形，7=2×4﹣1；
∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．
故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．
【点评】本题考查了图形的变化类﹣规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
20．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，
∴∠A+∠1=138°，
又∵∠A+10°=∠1，
∴∠A+∠A+10°=138°，
解得：∠A=64°．
∴∠A=∠ACD=64°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
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【点评】本题首先利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，然后再利用平行线的判定方法得证．
21．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
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【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=11cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=11cm，
∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
23．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．
【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．
同理，∠ACF=30°，
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
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24．（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．
【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），
=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
第19页（共19页）
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．
【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
第19页（共19页）
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